公司用人最优化方案

A题:公司用人最优化方案（第八组辜贤杰马启平李宁）（指导老师张胜祥）摘要：本文首先对题目中一些较模糊的概念进行了符合实际的假设，然后利用线形规划的原理对公司的用人方案进行最优化处理，包括确定（1）招工（2）人员再培训（3）解雇和超员雇用（4）设半日工的方案，分别以解雇人数最少和付出的费用最少为目标建立各自的目标函数和其约束条件，进而利用数学软件lingo对所建立的模型进行计算，得出最优解，从而确定公司的用人方案，并算出节省费用，包括每年每类岗位所节省的费用。最后本文利用此软件对模型求解，得出了目标1最少解雇人数为870人，最少费用为704000元，比目标1下的方案的费用减少了755400元。并且对模型的稳定性和灵敏度进行了检验。一、问题的重述：工人可分为不熟练工人、半熟练工人、熟练工人，其中各熟练级别之间可以通过降级使用和再培训进行转化，某公司由于装备了新机器，对此三种工人的需求有所变化，具体内容如题目表1：分类不熟练半熟练熟练现有人数200015001000第一年需求100014001000第二年需求50020001500第三年需求025002000表1为此，公司希望在以下四个方面的用人方案上得到确定：招工、人员再培训、解雇和超员雇用、设半日工的方案。其中，由于各种原因不满一年和一年后自动离职的人员情况如表2：分类不熟练半熟练熟练工作不满一年25%20%10%工作一年以上10%5%5%表2同时公司可以招收一定数量的半日工。从而建立模型以达到以下两个目标：（1）解雇人数最少的情况下，应该怎样运转？（2）费用的最少消耗量以及节省费用，并导出每年每类岗位所节省的费用。二、问题的分析：本题属于一定约束条件下的的最优化问题，初步分析题意，我们按照题目要求拟建立解雇人数和总费用两个目标函数的线形规划模型：解雇人数包括三年三种熟练级别的解雇人数与半日工的解雇人数。总费用包括三种级别工人的工资、解雇费、半日工的支付费用、超员雇用的支付费用四项总和。根据题目的要求列出各约束条件，利用数学软件进行整数的最优化运算。三、模型的假设根据题目所给的各种条件和生产中的实际情况，我们可以作出以下假设：（1）假定培训的时间是长期的，为一年。即在第一年初培训，而在第一年末（或第二年初）使用。（2）假定在将工人降级使用时，由熟练工降为半熟练工、由半熟练工降为不熟练工与越级的熟练工降为不熟练工处于同等地位。（3）对待半日工的使用假定如下：在使用时按劳力记入，即算作半个普通全日工；对半日工存在着解雇，解雇人数算作一个人。另外，半日工是另外聘用，与原有工人无关。（4）根据实际情况，我们对题目中“培训半熟练工成为熟练工，培训一名开支500元；培训人数不能超过所训岗位当时熟练工人数的1/4”理解是培训人数不超过当时岗位所需求人数与该岗位超员雇用人数总和的1/4。（5）假定工人脱产培训。（6）考虑到工厂的长远发展，第三年我们依然假设还要对工人进行培训。（7）所有的用人方案的实施都发生在年初。（8）假设半日工的收入包括普通全日工人的年薪的1/2和公司的每年的支出费用。（9）该公司各岗位工人的年薪固定不变。四、符号的定义及说明：xij:第i年雇佣工人数，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；aij:第i年招收的半日工人数，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；sij:第i年超员雇用工人数，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；fij:第i年解雇的工人数，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；Bij:第i年需求的工人数，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；pij:第i年培训的工人数，j1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；faij:第i年解雇的半日工人数，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；duij：第i年降级的工人数，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；gi；表示各熟练级别工人的年薪，1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；cij:自然减员率，1i表示工作不满一年人员的自然减员率，2i表示工作一年以上人员，的自然减员率；1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；nij：表示第i年共有j等级工人数，如01n表示现有不熟练的工人数（2,1,0i）1j表示不熟练工，2j表示半熟练工，3j表示熟练工；ijH：在解雇人数最少的情况下，第i年花费在某岗位上的费用，1j表示不熟练工岗位，2j表示半熟练工岗位，3j表示熟练工岗位；ijT：在费用最少的情况下，第i年花费在某岗位上的费用，1j表示不熟练工岗位，2j表示半熟练工岗位，3j表示熟练工岗位；ijQ：在费用最少的情况下第i年花费在某岗位上的费用比起在解雇人数最少的情况下第i年花费在某岗位上的费用的差值，j1j表示不熟练工岗位，2j表示半熟练工岗位，3j表示熟练工岗位；Z：表示总费用Y：表示解雇的总人数五、模型的建立与求解：我们对问题进行了分析后，作出了相应的假设和符号说明，并且根据模型的要求建立了多个约束条件方程与目标函数。（一）、对于目标1，建立以下的目标函数：31313131minijijijijfafY按照题目所给的条件，根据实际情况，分析公司第一年对不熟练工的用人计划如下：公司现有不熟练工人为n01,其减员率为c21,该年招工x11，其减员率为c11，培训人员为p11，将工人降级到不熟练级使用的人员为du11和du12，解雇全日工人员为f11，雇佣半日工为a11，解雇半日工为fa11，超雇人员为s11，而在公司对不熟练工的需求为B11，由此，得到下面的约束：11111211111111011111215.05.05.0)1()1(Bpdudufsancxc依次推理我们得到以下的约束表达式：3322333332333333232121113221323233313232322221321231313132313131312121311123122323222323231323231322221222232122222212222212212121212121212111212111131312131313130323131312121113121212022212125.0)1()15.05.0)1()15.05.05.0)1()1(5.0)1()1(5.05.0)1()1(5.05.05.0)1()1(5.0)1()1(5.05.0)1()1(BpfadudufsancxcBppfadudufsancxcBpfadudufsancxcBpfadudufsancxcBppfadudufsancxcBpfadudufsancxcBpdudufsancxcBpdudufsancxc（其中)3,2,1;2,1()3,0(1000)2,0(1500)1,0(2000jisBjijijinijIJij考虑到对半日工的解雇不能超过已有的半日工的人数，如对第1年的不熟练半日工的解雇不能超过第一年工作的不熟练半日工人数和今年招聘的不熟练半日工人数。为此得到以下的约束条件：332311213222122231211121231322122111131211000fafaaafafaaafafaaafaafaafaafafafa同时，根据题目所给的要求，得到以下的约束条件：)2;3,2,1(0)(*25.0)1;3,2,1(200)2;3,2,1(500)3,1;3,2,1(800)3,2,1;3,2,1(50150150150313312311jisBpjipjixjixjiasssijijijijijijijjjjjjj为此，得到模型的目标函数如下31313131minijijijijfafY0)(*25.0)1;3,2,1(200)2;3,2,1(500)3,1;3,2,1(800)3,2,1;3,2,1(501501501500005.0)1()15.05.0)1()15.05.05.0)1()1(5.0)1()1(5.05.0)1()1(5.05.05.0)1()1(5.0)1()1(5.05.0)1()1(5.05.05.0)1()1(3133123113323112132221222312111212313221221111312113322333332333333232121113221323233313232322221321231313132313131312121311123122323222323231323231322221222232122222212222212212121212121212111212111131312131313130323131312121113121212022212121111121111111101111121ijijijijijijijjjjjjjsBpjipjixjixjiasssfafaaafafaaafafaaafaafaafaafafafaBpfadudufsancxcBppfadudufsancxcBpfadudufsancxcBpfadudufsancxcBppfadudufsancxcBpfadudufsancxcBpdudufsancxcBpdudufsancxcBpdudufsancxcST根据上面的关系式，在计算机上利用软件LINGO对上面的模型进行求解，得到问题中目标1的最优解为870minY其中45011f,18521f,23531f，0333223221312ffffff0333231232221131211fafafafafafafafafa0,500,800,200,590,30,405312111333223221312xxxxxxxxx0501,50,50323121121133222313aaaaaaaaa，，0,150,150,150333223221312312111sssssssss05,2333132222112112313dududududududududu170,200,100,200,350,200323122211211pppppp由上述的答案，可以看到被解雇的工人都是不熟练工人（第一年解雇不熟练工人450人，第二年解雇不熟练工人185人），这符合题目所给的情况—对不熟练的工人的需求相对减少，证明模型的合理性；同时存在解雇工人，这是由于该公司在第一年，第二年的贸易量相下降，减少了对各类工人的需求量。所雇佣的工人都是熟练工人和半熟练工人，这是因为该公司对熟练和半熟练工人的需求相对增加。由于半日工是另外招聘的，因此将占用各种工种的岗位，这将使得被解雇的员工增多，因此，在最优解中只有在需求增长比较大的熟练工才有雇佣半日工。由于所雇