抗雪救灾人力资源分配的优化方案

1抗雪救灾人力资源分配的优化方案武小鹏（西北师范大学数学与信息科学学院.甘肃兰州.730070）[摘要]当遇到雪灾冰冻等自然灾害时首要的抢险救援任务是向救灾人群输送救援物资、疏通受阻道路及抢修电力设施。因此，合理分配人力资源，可使救灾损失降到最小，从而节约成本，使救灾过程高效可行。通过对输送救援物资，疏通受阻道路及抢修电力设施的实际情况分析，在人力资源有限的假设下，利用微积分的工具，建立了完成抗雪救灾这项任务的总损失与人力资源分配的关系模型，从而将人力资源分配的复杂问题转化为相应模型的求解问题，并给出了模型的求解公式，且对实际问题给出了最优解的存在性条件。在实际应用上，通过受灾人数等报告数据的汇总，启用本模型，则可给出模型的精确解，从而给出合理高效的人力资源分配方案。具体模型如下：总损失函数:S＝S1+S2+S331S=cNkS2=∫t0[(m-x2vt)tα]dt+mt0α+c3x3(0tm/x2v)S3=（c1t22β/2）+[c1t22β/2(x3λ-β)]+[c2t2x3β/(x3λ-β)]+c3x3(将S1、S2、S3代入得S=[m3α/6v2(X-Nk-x32)2]+mLt0α+c3x+2t2x3(c1t2λ+2c2)/2(x3λ-β)）解的存在条件为：①R3β2/M②Rλ2/3M或(3MR2-2λβ)/(MR3-β2)其中R=X-Nk，M=3v2(c1λβ2t22+2c2t2β2)/m3α由于使S的一阶导数等于0时，此时对应的二阶导存在且恒为正，故最小值存在，最后解出的S就是最优解。[关键字]抗雪救灾输送救援物资疏通受阻道路抢修电力设施微积分一、问题的提出2008年初，我国南方遭遇了罕见的雪灾，冰雪天气给南方各省造成了巨大的损失，大批乘客滞留在车站和机场，城市大面积停电，道路在冰雪覆盖下无法通行……此次灾害中共出动了解放军31万人次，武警33.3万人次，电力抢修人员18万人次，民兵预备役186.7万人次[1]。于是，在救援人员数目一定的情况下，面对不同的受灾部分，怎样分配人力资源去抢救才能使总损失降到最低？关键在于建立恰当的模型来实现人力资源的合理分配，从而达到在灾难发生时调用此方案能最2有效地实施营救，使总损失降到最小的目的。二、模型的假设1.人力，财力，物力都能满足抗雪救灾的需要。2.营救人员到达救灾地点的过程是顺利的，不遇到突发情况。3.受灾人数与派出的救援人数是成比例的。4.对dL/dt假设为：1o损失费与电缆损坏长度L（t）成正比，比例系数为c1；2o从灾害开始到开始救灾（t1≤t≤t2）,电缆损坏程度dL/dt与时间t成正比，比例系数为β；3o抢修开始后（t2≤t≤t3）损坏速度降为β-x3λ，λ为抢修人员的平均抢修速度，且应有βx3λ；4o每个抢修人员单位时间的费用为c2，于是每个抢修人员的抢修费用为c3(t3-t2)。三、符号及变量说明c1：单位长度电缆损失费c2：单位时间每个人抢修电缆的费用c3：每个救援人员的一次性支出k：救与被救人员之间的比例关系L（t）：t时刻电缆损坏的长度m：阻塞路面的面积N：受灾人数S1：输送救灾物资及救人过程中损失的总费用S2：电线电缆及抢修过程损失的总费用S3：受灾路面及疏通道路损失总费用S：总的损失费用'S：在t。内由路面阻塞造成的损失''S：救援人员到达后直到道路清理完成之前造成的损失'''S：救灾人员一次性支出的总费用t0:开路人员到达受灾地所用的时间t1：对电缆构成灾害的时刻t2：开始抢修电缆的时刻t3：对电缆抢修完成的时刻t：清理路面所用时间v：每个抢修人员平均抢修速度3x1：运送物资的人数x2：抢修道路的人数x3:抢修电缆的人数X：可供调配的人数α：单位时间单位面积道路阻塞造成的损失β：电缆损坏速度（dL/dt与t的比例系数）λ：抢修人员的平均抢修速度dL/dt:电缆损坏程度（L（t）与t2成正比）四、问题的分析雪灾发生后，社会的诸多方面都会遭受到不同程度的损失。由于现实情况的复杂性，同时又要保证方案的可行性，本模型将需要抢救的方面分为三大部分：1.分配人员向受灾人群输送物资开展救援；2.分配人员疏通阻塞的道路；3.分配人员抢修电线电缆在第1部分中，损失费为S1，在知道受灾总人数N的情况下，根据N与x1比例关系k，可确定出具体的x1（x1=Nk），从而建立出S1与救援人数x1的比例关系：S1=c3x1；在第2部分中，损失费用为S2，派出疏通道路人员的数量为x2。已知v、α、m、to、c3(以上数值均为常量)，可分别求出S'、S''、S'''，依次为：S'=mt0αS''=∫t0[(m-x2vt)tα]dtS'=c3x3显然2'''S'SSS因此，S2=∫t0[(m-x2vt)tα]dt+mt0α+c3x3(0tm/x2v)在第3部分中，损失费用为S3，派出抢修人员数量为x3，已知常量c1、v、β、λ、t1、t2、t3，设出变量dL/dt、L（t）通过对这些数据的综合分析，得出主要关系式：t3-t2=b/（x1λ-β）……（1）L（t3）=（t32β/2）+t32β2/2(x3λ-β)……（2）再由以上两式得出：S3=c1t22β/2+c1t22β/2(λx3-β)+c2t2x3β/(x3λ-β)+c3x3最后，利用损失S＝S1+S2+S3，分别将要S1，S2，S3的表达式代入，通过变量与变量，变4量与常量的代换得出x3关于S的三次表达式：S=[m3α/6v2(X-Nk-x32)2]+mLt0α+c3x+2t2x3(c1t2λ+2c2)/2(x3λ-β)此时问题就转化为一元三次方程求最优解的问题。五、模型的建立1.向受灾人群输送物资此情况下，假设道路已经畅通，或至少有道路通向灾区，我们要做的是为保证受灾人员的生命安全和温饱问题。根据假设，向灾区运送物资消耗的费用为3131S=cx=cNk显然，在受灾人数确定的条件下，此处的x1为一定量。2.道路疏通问题：由假设可知，参加道路疏通人员的集体抢修速度为xv在内有路面阻塞早产的损失为：0S'=mt清理道路所用时间为2mtxv=在道路疏通人员到达后，边清理边损失的情况下，所形成的损失为20S''tmxvttdt用于道路疏通人员的一次性支出为32'''Scx故总的损失为2'''S'SSS=02320mt+tmxvttdtcx(其中0t2mxv)3.抢修电缆问题在抢修人员到达之前，即12ttt时，损失越来越大，即dLdt随t的增加而增加；开始抢修之后，即23ttt时，随着抢修工作的开展损失程度dLdt会减小，且当t2=t时dLdt=0.由假设条件，电缆损坏程度dLdt在20tt线性的增加，在23ttt时线性的减小，如图所示。5ββ-λx3Oxyt3t2b记t2=t时dLbdt，损坏程度330tdLLtdtdt恰是图中三角形的面积，显然，3312Ltbt而3t满足23233btttxx…①∴22232312tLttx…②由假设条件，电缆损失为13cLt，救援费为233233cxttcx将①②代如入，得到损失费2212223312333312ctctxSctcxxx4.问题整合由假设，可供调配的人员为X，则213--xXxx3XNkx因而，雪灾造成的总损失表示成的函数为S2231222323212330331cNk+mt2tctctxmxvttdtcxctcxxx0+231220332323m(2)m6()txctcLtcXvXNkxx六、模型的求解与分析6以上已经建立了完成抗雪救灾的总损失与人力资源分配的函数关系，即22312223323212330331()cNk+mt2tctctxSxmxvttdtcxctcxxx0+对3()Sx关于3x求导，有233122232332'()3()mctctSxvXNkxx令3'()Sx=0，化简整理得23323312223()2mxvXNkxctct令RXNk,221222332)vctctMm，于是方程化简为333xMRx即322223333(3)(32)0MxMRxMRxMR()⑴讨论方程取实根的情况对一般一元三次方程323330axbxcxd而言，取实根的情况有两种：①有一个实根两个虚根令方程的根分别为123,,xxx，由三次方程根与系数的关系，有123dxxxa在方程（*）中，3223123MRxxxRMM不妨设1x为实根，2,3xx为两共轭虚根，显然230xx，因此当23RM时，方程（*）有一个正实根②有三个实根由三次方程根与系数关系123bxxxa,123111cxxxd在方程（*）中，2212333MRxxxRMM23212311132MRxxxMR7当23RM或232320MRMR时，方程（*）至少有一个实根。再对3()Sx关于3x求二阶导，得233122232432)''()0()mctctSxvXNkxx恒成立。因此，所求出的驻点为极小值点，对实际情况而言，此极小值就是最小值，最优解存在。⑵方程的求解方程（*）可以表示为如下形式：32233322222323212223033322332)xbxcxdMRbRMMMRcRMMMRdRMMRXNkvctctMm而对方程323330xbxcxd，设33bxy于是有330ypyq由求根公式，有方程（*）的根为3322222232233aqqpqqpbx33222222232233bqqpqqpbx33222222232233cqqpqqpbx8（其中132i，2132i）七、模型的灵敏度分析由不断变化的外部环境可能引起原决策系数的改变，因此讨论这些变化对最优解的影响，即模型的灵敏度分析是非常有必要的。1）在应用模型时，c1、c2、c3、k都是已知的常数，而λ、v、β则是由救灾人员的素质、具体灾情的严重程度等不可控因素决定的，这就对模型的稳定性有一定的影响。2）从自变量发生微小变化的角度来看，取x3′，使得|x3-x3′|δ，由于S由初等函数构成，所以S为初等函数。又由闭区间上的连续函数一致连续，即在条件|x3-x3′|δ下，有|S（x3）-S（x3′）|ε,故此方程有较高灵敏度。即本模型在人员调配方案确定后，派往各方面救灾人员的数量的微小变动不会引起损失S的巨大变动。八、模型的评价本模型研究的是抗雪救灾人力资源的分配问题，包括向受灾人群运送物资的人员分配、疏通阻塞道路的人员分配、抢修电线电缆人员的分配三部分。在人力资源充分且非无限（为X）的情况下，模型集中解决了怎样给三方灾情区分配人员才能使总损失降到最小的问题。本着以人为本的原则，先分配足够的人员（数目为x1）输送物资抢救伤员，其余人数按最优原则分配（用x2的人数去修复道路,用x3的人数去抢修电线电缆）。本模型有以下优点：1.各参变量的设置最大限度地吻合了实际情况，与事实较贴近，各方面因素考虑也比较周全。2.通过微积分等有效的方法，巧妙地将雪灾总损失与人力资源的分配建立起了联系，从人力资源分配的角度，对损失