波函数与Schrdinger方程

安徽大学物理学院第2章波函数与Schrödinger方程第2章波函数与Schrödinger方程WaveFunctionandSchrödingerequantionWaveFunctionandWaveFunctionandSchrSchröödingerdingerequantionequantion安徽大学物理学院第2章波函数与SchrÖdinger方程2.1波函数的统计诠释2.1.1波动-粒子两重性矛盾的分析2.1.2几率波，多粒子系的波函数2.1.3动量分布几率2.1.4不确定关系2.1.5力学量的平均值与算符的引进2.1.6统计诠释对波函数提出的要求2.2态叠加原理2.2.1量子态及其表象2.2.2态叠加原理2.2.3光子的偏振态的叠加2.3SchrÖdinger方程2.3.1SchrÖdinger方程的引进2.3.2SchrÖdinger方程的讨论2.3.3不含时间的SchrÖdinger方程，定态2.3.4多粒子系的SchrÖdinger方程习题安徽大学物理学院（1）微观粒子状态的描述2.1波函数的统计诠释2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析‡微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。‡这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。z德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数来描述，函数—称为波函数。(,)rtΨK(,)rtΨK安徽大学物理学院①ψ是怎样描述粒子的状态呢？②ψ如何体现波粒二象性的？③ψ描写的是什么样的波呢？描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波(,t)rΨK描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。()/(,)eiprEtprtAψ⋅−=KK=KKdeBroglie波三个问题如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）。粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：(,)VrtK安徽大学物理学院‡电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包，因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。‡波包——是各种波长的平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。‡实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1Å。（2）两种错误观点①物质波包观点——粒子由波组成安徽大学物理学院自由粒子能量，利用deBroglie关系，可得22Epm=222/kmkωπλ===（）波包的群速度d/d//gkkmpmυωυ=====即经典粒子的速度。22dd0ddgkkmυω==≠=‡可见，物质波包要扩散，随着时间推移，粒子愈来愈“胖”。这与观察到的电子总是处在空间某一小区域中的一个个的电子相矛盾。‡电子在晶体上衍射后将沿不同方向传播，那么我们在不同方向看到的只能是电子的一部分了！这显然与实验事实不符。‡物质波包观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。安徽大学物理学院z大量电子分布于空间而形成的疏密波。——不能解释长时间单个电子衍射实验。电子源感光屏PPOQQO‹电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象。‹单个电子就具有波动性！②疏密波观点——波由粒子组成安徽大学物理学院‹事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。‹疏密波观点夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，同样具有片面性。安徽大学物理学院z电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波。但是我们也可以说，“电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不再是经典概念中的粒子。1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性；2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中的粒子1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化；2.干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中的波安徽大学物理学院仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现出来的粒子性，只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒性”，即总是以具有一定的质量和电荷等属性的客体出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道”的概念有什么联系。而电子呈现出的波动性，也只不过是波动昀本质的东西——波的叠加性，但并不一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起。（1）微观粒子（电子）“粒子性”、“波动性”的实质内容2.1.2几率波，多粒子系的波函数安徽大学物理学院把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一起来的是M.Born(1926)提出的几率波。他是在用Schrödinger方程来处理散射问题时为解释散射粒子的角分布而提出来的。他认为deBroglie提出的“物质波”，或Schrödinger方程中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，只不过是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已。（2）几率波——Born对波函数的统计解释安徽大学物理学院机枪子弹的双缝衍射声波的双缝衍射[]2221212()e()e()()eititithxhxhxhxπνπνπν+2121222*1212121212()()()()()()()()()()()()()IxhxhxhxhxhxhxhxhxIxIxIxIx=+=+++=++≠+*干涉项安徽大学物理学院①入射电子流强度小，开始时显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样；②入射电子流强度大，则很快显示衍射图样。我们再看一下电子的衍射实验OPP电子源感光屏QQ波动观点粒子观点明纹处:电子波强大电子出现的概率大暗纹处:电子波强小电子出现的概率小2()rψK2()rψK安徽大学物理学院结论：衍射实验所揭示的电子的波动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。设衍射波幅用描述，衍射花样的强度分布用()rψK2*(,)(,)(,)rtrtrtψψψ=KKK在电子衍射实中，照相底片上点附近衍射花样的强度rK∝在点附近感光点的数目，rK∝正比于电子出现在点附近的几率。rK∝正比于在点附近出现的电子数目，rKrK描述，代表电子出现在点附近几率的大小。安徽大学物理学院表示在点处、体积元中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。2()rxyzψΔΔΔKxyzτΔ=ΔΔΔrK2()rψK据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性。波函数有时也称为几率幅。这就是首先由Born提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。()rψK确切地说，安徽大学物理学院2d(,)(,)dWrtrtψτ=KK2d(,)(,)(,)dWrtwrtrtψτ==KKK几率密度(概率密度)①知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知粒子在空间各点出现的几率。以后的进一步讨论可知，波函数给出体系的一切性质。因此说波函数完全描述了体系的量子状态。②波函数一般用复函数表示。③波函数一般满足单值性、有限性、连续性。注意微观粒子在时刻出现在处体积元内的几率rKdτt安徽大学物理学院这即是要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值平方可积的函数。ψ非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等于1，即：233()d1(ddddd)rrrxyzψτ===∫K(全)所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变——常数因子不定性，即和描述同一状态。(,)rtψK(,)CrtψK（3）波函数的归一化条件安徽大学物理学院这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的2倍）时，则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的2倍）时，则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。221122()()()()CrrCrrψψψψ=KKKK23()d()rrAψ=∫K(全)有限常数若2311()d1rrAAψ=∫K(全)，——归一化因子则安徽大学物理学院例1已知一维粒子状态波函数为221(,)exp22irtAaxtψω⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦K求归一化的波函数，粒子的几率分布。粒子在何处出现的几率昀大？22222(,)ded1axrtxAxAaπψ+∞+∞−−∞−∞===∫∫K()1/2/Aaπ=取归一化常数解:()2211/222(,)/eiaxtrtaωψπ−−=K归一化的波函数①求归一化的波函数安徽大学物理学院②几率分布：222(,)(,)eaxawxtxtψπ−==③由几率密度的极值条件222d(,)2e0daxwxtaaxxπ−=−=由于220d(,)0dxwxtx=0x=故处，粒子出现几率昀大。0x=安徽大学物理学院注意1.归一化后的波函数仍有一个模为一的因子不定（为实数）——相位不定性。即：若是归一化波函数，那末，也是归一化波函数，与前者描述同一几率波。eiδ),(trKψ(,)rtψK(,)eirtδψKδ2.只有当几率密度对空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。∫∞=1),(2τψdtrK(,)wrtK若对空间非绝对可积时，需用其它方法进行归一化（见后）。2(,)(,)wrtrtψ=KK安徽大学物理学院归一化条件为12(,,)NrrrψKKK，（4）多粒子系的波函数——23331212dddNNrrrrrrψKKK（,,,）表示粒子1出现在中111(,d)rrr+KKK222(,d)rrr+KKK同时粒子2出现在中(,d)NNNrrr+KKK同时粒子N出现在中的几率。23331212ddd1NNrrrrrrψ=∫KKK（全）（,,,）以后，为表述简便，引进符号2*(,)ddψψτψψτψ==∫∫(全)dτ∫(全)其中代表对体系的全部坐标空间进行积分。例如安徽大学物理学院对于一维粒子，ddxτ+∞−∞=∫∫（全）对于三维粒子，ddddxyzτ+∞−∞=∫∫（全）对于N个粒子组成的体系，111dddddddNNNxyzxyzτ+∞+∞−∞−∞=∫∫∫（全）这样，归一化条件就可以简单表为(,)1ψψ=多粒子体系的波函数的物理意义进一步表明，物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是抽象的多维的位形空间(configurationspace)中的几率波。例如，两个粒子组成的体系，波函数刻画的是6维空间中的几率波。这个6维空间只不过是标记一个具有6个自由度的体系的坐标的抽象空间而已。12(,)rrψKK安徽大学物理学院（2）理论分析（1）问题的提出2()rψ∝K按照波函数的统计诠释，在空间点找到粒子的几率。试问，如测量粒子的其它力学量，其几率分布如何？这些力学量中昀常碰到的是动量、能量和角动量。下面以动量为例来讨论。rK()rψK按照已为衍射实验证实了的deBroglie关系，若为一个平面单色波（波长，频率），则相应的粒子动量为，能量为。在一般情况下，是一个波包，由许多平面单色波叠加而成，即含有各种波长（频率）的分波，因而相应的粒子动量（能量）有一个分布。与测量粒子的位置相似，也可以设计某种实验装置来测量粒子的动量，晶体衍射实验就是其中一种。Ehν=phλ=νλψψ2.1.3动量分布几率安徽大学物理学院/33/21()()ed(2)iprrppψϕπ∞⋅−∞=