管内非Newton流体分数阶流动的精确解ahref=1a

318中国科学G辑物理学力学天文学2005,35(3):318~326Newton*同登科**王瑞和杨河山(石油大学数学与计算科学学院,东营257061)摘要研究了管内广义Oldroyd-B型流体轴向不稳态流动,将分数阶导数引入Oldroyd-B型流体的本构关系中,建立了带分数阶导数的广义Jeffreys模型.利用Hankel变换和离散逆Laplace变换技巧求得了常压力梯度的Poiseuille流动、环空管内轴向Couette流动、常轴向剪切应力的环空域轴向Couette流动和具有常压力梯度和常剪切应力的Poiseuille流动4种模型的精确解,Navier-Stokes流体的著名解,像Maxwell流体和二阶流体都是解的特殊情况.关键词分数阶微积分广义Oldroyd-B型流体精确解速度场一般来说,物质的流变学特性是由所谓的本构方程刻画的,昀简单的流体本构方程是Newton方程,经典的Navier-Stokes理论就是基于这个方程的,很多真实流体的力学特征采用这个理论描述得足够好.然而对流变复杂流体,像聚合物溶液,血液,某些稠油等等是不能用Newton本构方程描述的,这是由于Newton本构方程不能描述松弛和滞留现象.很多模型已经用来描述这些流体的非Newton特征,微分型[1]和速率型[2]模型已有很多人研究[3],在线性关系假设下,Rajagopal等人研究了二阶流体的Couette启动流[4],刘慈群[5]、韩式方等人[3]研究了二阶流体的管流运动,Fetecau[6]研究了Oldroyd-B型流体的管流运动,并采用如下形式的本构关系(1)(1)trtvrλτμλ+∂=+∂∂,(1)式中τ为切应力,λ和λr分别为松弛时间和滞留时间.μ为黏性系数v为速度.(1)式就是Oldroyd-B型流体的线性本构模型,近年来,作为分形几何和分数维的动力学基础,分数阶微积分在黏弹性体的本构关系刻画上获得了成功的应用,其出发点就是利用分数阶导数代替整数阶导数,从而使问题的刻画更具有广泛性.2004-05-19收稿,2005-02-28收修改稿*国家重点基础研究规划基金(批准号:2002CB211708)和山东省自然科学基金(批准号:Y2003F01)资助项目**E-mail:[e-mail],Mechanics&Astronomy第3期同登科等:管内非Newton流体分数阶流动的精确解319[7],黄军旗[8]和谭文长[9]及徐明瑜[10,11]等人分别将分数阶导数引入流变学,分析了不同的问题,对于黏弹性液体这种方法更为合适[8],江体乾等人[12]将分数阶微积分应用到黏弹性胶体的实验数据中,获得了较为满意的结果.谭文长等人[13,14]将分数阶微积分引入Maxwell黏弹性流体和广义二阶流体的本构方程,研究了黏弹性流体和广义二阶流体在两平板之间的非定常流动.Hayat等人[15]考察了分数阶Maxwell模型描述的黏弹性液在板上一般周期振荡引起的流动.一般地,广义Oldroyd-B型流体的本构关系可用如下带有分数阶导数的方程表述,(2)(1)(1)(,)trtrDDαβλτμλ+=+∂vrt,ttDDαβ是分别关于t的α阶、β阶的分数阶导数算子,定义为01d()[()]d(1)d()tyzDytzttzααα=Γ−−∫,0≤α≤1,(3)式中Γ(x)是Gamma函数,在方程(2)中当α=β=1时简化为方程(1)的线性关系.当λ=0简化为广义二阶流体的本构关系[8,9,16].本文利用(2)式的本构关系研究了广义Oldroyd-B型流体非定常Poiseuille流动和Couette流动,通过对空间变量的Hankel变换和对分数阶导数的Laplace变换,采用离散逆Laplace变换技巧和广义Mittag-Leffler函数对α,β为任意分数时得到了流动方程的精确解,一些经典的和前人的结果都可作为本文结果的特例而出现.例如,刘慈群等人[5]的二阶流体和Maxwell流体的管内不定常流动.1流动方程我们讨论圆管内的流动,假设:(ⅰ)考虑Oldroyd-B型不可压缩流体,又叫Jeffreys模型;(ⅱ)管半径方向流体速度为零;(ⅲ)流动关于管轴对称;(ⅳ)轴向速度只与管半径有关.轴向流动运动方程1vtrrzτρτp∂∂∂=+−∂∂∂,(4)ρ为流体密度是常数.将(2)式代入(4)式消去τ得21(1)(1)(,),(1)trtrvtDAADvrtrααβλλνλα−∂⎛⎞+=+++∂+∂⎜⎟∂Γ−⎝⎠rt(5)这里Apzρ−=∂∂是在z方向作用于液体的常压力梯度,ν=μ/ρ是动力黏度.2常压力梯度的Poiseuille流动考虑常压力梯度在时间t=0应用到半径为R1和R2(R1)的两个无限长同轴圆柱中Oldroyd-B型流体流动.320中国科学G辑物理学力学天文学第35卷SCIENCEINCHINASer.GPhysics,Mechanics&Astronomy初边界条件为(,0)(,0)0tvrvr=∂=(R1≤r≤R2),(6)v(R1,t)=v(R2,t)=0,t0.(7)作函数变换v(r,t)=V(r)+u(r,t),(8)这里222221221()()ln()44ln()RRAAVrRrrRRRνν−=−+2.(9)我们得到下面的初边值问题21(1)(1)()(,)(1)trtrrutDDurtAtrααβλνλλα−∂+=+∂+∂+∂Γ−,(10)(,0)=(),(,0)=0turVrur−∂,(11)u(R1,t)=u(R2,t)=0,t0,(12)先对(10)式的空间变量r作Hankel变换,其正变换为(13)211(,)(,)dRnRururtsrϕ=∫r逆变换为2220212210102()(,)(,(,)2()()nnnnnnn)sJsRustsrurtJsRJsRϕπ∞==−∑,(14)这里1010010(,)()()()()nnnnnsrYRsJsrJRsYsr−n,ϕ=s为12(,)0nsRϕ=的正根.对(10)式施加如上正变换得222()(1)(1)(,)(1)ntnrtnAgstuDsDurttsααβλλνλπα−∂+=−++∂Γ−,(15)其中201120112()[()()()()]12nnnnnRsgsYRsJRsJRsYRsπ=−n−tn,211(,0)()(,),(,0)0RnnRusVrVrsrdrusϕ=−=−∂=∫.(16)再对(15)式作Laplace变换,并利用(16)式,整理得01221102()2()2(1)(,)()()nnnnnnJsRAgsAuAssJsR22rnnssssssssααβλνππλνλν−+=−−++++,(17)其中2112(1)(,)()nrnrnnnsssAss22ssssssαβαβλνλλνλν−+++=+++,(18)只要求得(,)nAss的逆Laplace变换,就可得到模型方程的解析解,为此我们采用第3期同登科等:管内非Newton流体分数阶流动的精确解321变换技巧,将(,)nAss展为Taylor级数并分别求逆,则有2111222121211122112212110(1)(,)()11()1(1)()1()nrnrnnnnrnnmmkmnkmrmmknsssAstLsssssssLsssssssssmLskssαβαβαβαβαλνλλνλνλνλνλλλλνλνλλ−−+−−−−−−−−−−−−+=⎧⎫++⎪⎪=⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎪⎪=−⎨⎬++⎪⎪+⎪⎪+⎩⎭⎧⎫−⎛⎞⎪⎪=−⎨⎬⎜⎟+⎝⎠⎪⎩∑022121002(1)(1)()1,22001(1)()1(1)()()!mmkmmmknrmmknmmmkmmknrmkmknmssLkssmstEkmsβααβαααβννλλλλννλλλλ∞=−−∞−−+==∞++−−++−==⎪⎭⎧⎫⎛⎞⎛⎞⎪⎪=−−⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎪⎪⎝⎠⎩⎭⎛⎞−=−−⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑1,t(19)这里是广义Mittag-Leffler函数,(18)式逆变换的得出,利用了广义M-L函数的Laplace变换的一个重要公式,()Ezμν[17]111(),1!()(Re()()nnnnsLtEctsscμν)cμμνμμνμ−−+−+⎧⎫⎪⎪=±⎨⎬⎪⎪⎩⎭∓,(20)同理可得111222(1)1()1,2001()1(1)()!rnnmmmmkmknrmkmkLssssssmstEkmααβαβ.tααβλνλννλλλλ−−+∞++−−+−==⎧⎫⎪⎪⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭⎛⎞⎛⎞−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑(21)由此得到速度场分布202101222021010212(1)(1)()1,2002()(,)()(,)()11()[()()](1)()!(1)()!nnnnnnnnmmmmkmknrmkmkmnnJsRsrJsRAvrtVrJsRsJsRJsRmstEtkmsgsmαβαααβϕπννλλλνλλ∞=+∞++−−++−==⎧⎛⎞⎡⎪=+−⎨⎜⎟⎢−⎪⎣⎝⎠⎩⎤⎛⎞⎛⎞−⎥−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎝⎠⎝⎠⎦⎛−+⎝∑∑∑1(1)1()1,200()mmmkmkrmkmkmtEtkαβααβλλ+∞++−−+−==⎫⎞⎛⎞⎪−⎜⎟⎬⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎪⎠⎭∑∑,(22)322中国科学G辑物理学力学天文学第35卷SCIENCEINCHINASer.GPhysics,Mechanics&Astronomy当α=β=1,并注意到此时(,)nAss即可得到文献[6]中的解.当α=β=1,R1=η,R2=1,λ=0,ν=1,λr=Hc,A=1,并注意到此时(,)nAss即可得到文献[18]中的解.当α=β=1,R1=η,R2=1,λ=Hc,ν=1,λr=0,A=1,并注意到此时(,)nAss即可得到文献[19]中的解.3环空管内轴向Couette流动考虑环空管内Oldroyd-B型流体在t=0时静止,在半径为R2的外管开始以常速V沿着对称轴移动,半径为R1的内管固定.由于剪切流体是逐渐运动,z轴压力梯度消失,我们得到如下初边值问题2121(1)(1)(,),,0,trtrrvDDvrtRrRtrαβλνλ∂⎛⎞+=+∂+∂⎜⎟∂⎝⎠t(23)(,0)(,0)0tvrvr=∂=;R1≤r≤R2,(24)v(R1,t)=0,v(R2,t)=V,t0.(25)作变换v(r,t)=V1(r)+u(r,t),这里121()ln().ln()VVrrRRR=1(26)采用和前一部分同样的方法我们得到速度场的表达式为010211221010212(1)(1)()1,200()()(,)(,)()1[()()](1)()!nnnnnnmmmmkmknrmkmkJsRJsRsrvrtVrVJsRJsRmstEtkmαβαααβϕπνλλλ∞=+∞++−−++−==⎡=−⎢−⎣⎤⎛⎞⎛⎞−⎥−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎝⎠⎝⎠⎦∑∑∑,(27)切应力分布为1101021,221010212(1)(2)(1)()1,3(1)00()()(,)(,)(,)()[()()](1)((1)!nnnnnnmmmmkmknrrmkmkJsRJsRsrrtTrtVtEtJsRJsRmstEkmαααααβαααβϕτπμλλνλλλ∞−−=+∞++−+−++−+==′⎡=−−⎢−⎣⎤⎛⎞⎛⎞−⎥−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥+⎝⎠⎝⎠⎦∑∑∑),tλ1,21(,)()ln()VTrttEtrRRααααμλλ−=−.(28)当α=β=1,并注意到此时(,)nAss即可得到文献[6]中环域轴向Couette流动的解.第3期同登科等:管内非Newton流体分数阶流动的精确解323流动考虑