赢在高考高考数学第一轮复习配套等比数列

目录退出考纲展示考纲解读1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列中对于等比数列的定义、判定、通项公式和前n项和公式的考查是重点和热点.考查形式类似于等差数列,考查题型既有基本题,也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识有关的综合题.在题型上,坚持小题考性质,大题考能力.2.等差数列和等比数列是数列的两个最基本的模型,因此等差数列、等比数列的综合应用是高考中的热点之一.基本知识以选择题和填空题呈现,而综合知识则以解答题形式呈现.目录退出目录退出1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个非零常数叫做等比数列的公比,等比数列的通项公式为an=a1qn-1.等比数列的通项公式还可以改写成an=𝑎1𝑞·qn的形式,显然等比数列{an}的图象是函数y=𝑎1𝑞·qx的图象上的一群孤立的点.目录退出2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1.3.等比中项若G2=a·b,那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),1𝑎𝑛,{𝑎𝑛2},{anbn},𝑎𝑛𝑏𝑛仍是等比数列.5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1(𝑞𝑛-1)𝑞-1=𝑎1𝑞𝑛𝑞-1−𝑎1𝑞-1.目录退出6.等比数列前n项和的性质公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.目录退出1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则公比q等于()A.-12B.-2C.2D.12【答案】D【解析】∵q3=𝑎5𝑎2=18,∴q=12.2.若等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和是()A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】设等差数列{an}的公差为d,则(1+d)2=1×(1+4d),∵d≠0,∴d=2.于是,S10=10+10×92×2=100.目录退出3.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则其公比q为()A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】令n=1,得a1a2=16,①令n=2,得a2a3=162.②②÷①,得𝑎3𝑎1=16,即q2=16,于是得q=±4.又由①知q0,因此q=4.目录退出4.在等比数列{an}中,已知a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于()A.𝑏9𝑎8B.𝑏𝑎9C.𝑏10𝑎9D.𝑏𝑎10【答案】A【解析】∵a19=a9q10,a20=a10q10,∴a19+a20=q10(a9+a10).故q10=𝑏𝑎,a99+a100=a9·q90+a10q90=q90(a9+a10)=𝑏𝑎9·a=𝑏9𝑎8.目录退出5.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N*都有an+2+an+1-2an=0,则S5=.【答案】11【解析】设等比数列{an}的公比为q,则an+2+an+1-2an=a1·qn+1+a1·qn-2a1·qn-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去).故S5=1-(-2)51-(-2)=11.目录退出目录退出T题型一等比数列的定义及判定例1已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.(1)由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1转化成an与an+1的递推关系,再构造数列{an-1}.(2)由cn求an再求bn.目录退出【解】(1)证明:∵an+Sn=n,①∴an+1+Sn+1=n+1.②②-①,得an+1-an+an+1=1,即2an+1=an+1.于是可得2(an+1-1)=an-1,即𝑎𝑛+1-1𝑎𝑛-1=12.故{an-1}是等比数列.∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1,∴a1=12.故c1=-12,公比q=12.又cn=an-1,∴{cn}是以-12为首项,12为公比的等比数列.目录退出(2)∵由(1)可知cn=-12·12𝑛-1=-12𝑛,∴an=cn+1=1-12𝑛.∵当n≥2时,bn=an-an-1=1-12𝑛−1-12𝑛-1=12𝑛-1−12𝑛=12𝑛,又b1=a1=12代入上式也符合,∴bn=12𝑛.目录退出等比数列的判定或证明方法有以下几种:(1)定义法:𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q(q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)中项公式法:𝑎𝑛+12=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:Sn=𝑎1𝑞-1qn-𝑎1𝑞-1=kqn-k𝑘=𝑎1𝑞-1是常数,且q≠0,q≠1⇔{an}是等比数列.目录退出1.若数列{an}的前n项和记为Sn,又a1=1,an+1=𝑛+2𝑛Sn(n=1,2,3,…),求证:(1)数列𝑆𝑛𝑛是等比数列;(2)Sn+1=4an.目录退出【证明】(1)∵an+1=Sn+1-Sn,又an+1=𝑛+2𝑛Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn,即𝑆𝑛+1𝑛+1=2𝑆𝑛𝑛.故𝑆𝑛𝑛是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知𝑆𝑛+1𝑛+1=4·𝑆𝑛-1𝑛-1(n≥2).于是Sn+1=4(n+1)·𝑆𝑛-1𝑛-1=4an(n≥2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4.因此对于任意正整数n≥1,都有Sn+1=4an.目录退出T题型二等比数列的基本量例2(1)在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3a5=64,求{an}的前8项和S8;(2)设等比数列{an}的公比为q(q0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大的项为27,求数列的第2n项.(1)利用已知条件,建立a1和q满足的两个方程,解之可得{an},从而可求出S8.(2)利用前n项和公式列出方程组求出a1和q,使问题得到解决.需注意的是Sn应分q=1和q≠1两种情况来考虑.目录退出【解】(1)方法一:设数列{an}的公比为q,由通项公式an=a1qn-1及已知条件得:𝑎6-𝑎4=𝑎1𝑞3(𝑞2-1)=24,𝑎3·𝑎5=(𝑎1𝑞3)2=64.①②由②得a1q3=±8.将a1q3=-8代入①式,得q2=-2,无解,故舍去.将a1q3=8代入①式,得q2=4,即q=±2.当q=2时,a1=1,此时S8=𝑎1(1-𝑞8)1-𝑞=255;当q=-2时,a1=-1,此时S8=𝑎1(1-𝑞8)1-𝑞=85.目录退出方法二:∵{an}是等比数列,由已知条件得𝑎42=a3·a5=64,∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.∵q2=𝑎6𝑎40,故a4=-8舍去,得a4=8,a6=32.从而a5=±𝑎4·𝑎6=±16,公比q=𝑎5𝑎4=±2.当q=2时,得a1=1,此时S8=255;当q=-2时,得a1=-1,此时S8=85.目录退出(2)若q=1,则na1=40,2na1=3280,矛盾.因此q≠1,则有𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=40,③𝑎1(1-𝑞2𝑛)1-𝑞=3280,④④③,得1+qn=82,即qn=81,⑤将⑤代入③得q=1+2a1.⑥又∵q0,∴q1.从而可知a10,{an}为递增数列.于是an=a1qn-1=27.⑦∵由⑤⑥⑦可得q=3,a1=1,n=4,∴a2n=a8=1×37=2187.目录退出(1)在等比数列求基本量的运算中,“知三量可求其余二量”,通常是利用通项公式与前n项和公式建立联系,解方程组,同时要注意公式的变形.(2)恰当地运用等比数列的性质可以简化运算,如本例(1)中的方法二.目录退出2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=1,S8=17,求{an}的通项公式.【解】方法一:在等比数列{an}中,由S4=1,S8=17,可知q≠1,因此𝑎1(𝑞4-1)𝑞-1=1,①𝑎1(𝑞8-1)𝑞-1=17.②②÷①,得q4+1=17,则q4=16,于是q=2,或q=-2.把q=2代入①得a1=115,把q=-2代入①得a1=-15,因此数列{an}的通项公式为an=115·2n-1或an=-15·(-2)n-1.目录退出方法二:由于q4=𝑆8-𝑆4𝑆4=16,则q=2,或q=-2.又S4=1,当q=2时,由a1(1+q+q2+q3)=1得a1=115,因此an=a1qn-1=2𝑛-115,当q=-2时,由a1(1+q+q2+q3)=1得a1=-15.因此an=a1qn-1=-(-2)𝑛-15.因此数列{an}的通项公式为an=2𝑛-115或an=-(-2)𝑛-15.目录退出T题型三等比数列的性质及运用例3在等比数列{an}中,(1)若已知a2=4,a5=-12,求an;(2)若已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.注意巧用性质,减少计算.【解】(1)设公比为q,则𝑎5𝑎2=q3,即q3=-18,于是可得q=-12.故an=a5·qn-5=-12𝑛-4.(2)∵a3a4a5=8,又a3a5=𝑎42,∴𝑎43=8,a4=2.故a2a3a4a5a6=𝑎45=25=32.目录退出(1)本题利用了推广的通项公式an=amqn-m(其中n,m∈N*,可以nm也可以n≤m)及其他性质.(2)在等比数列{an}中,若m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则am·an=ak·al.目录退出3.(1)在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求a10;(2)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值;(3)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.目录退出【解】(1)∵a4·a7=a3·a8=-512,∴𝑎3·𝑎8=-512,𝑎3+𝑎8=124,解之,得𝑎3=-4,𝑎8=128或𝑎3=128,𝑎8=-4.当𝑎3=-4,𝑎8=128时,q5=𝑎8𝑎3=-32,即q=-2.此时a1=𝑎3𝑞2=-1,a10=a1q9=-1×(-2)9=512.当𝑎3=128,𝑎8=-4时,q5=𝑎8𝑎3=-132,即q=-12.∵q为整数,∴q=-12舍去.综上所述,a10=512.(2)∵a3a11=𝑎72=4a7,又a7≠0,∴a7=4,b7=4.∵{bn}为等差数列,∴b5+b9=2b7=8.目录退出(3)方法一:a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=𝑎14q6=1.①a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=𝑎14·q54=8.②②÷①,得𝑎14·𝑞54𝑎14·𝑞6=q48=8⇒q16=2.故a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=𝑎14·q166=𝑎14·q6·q160=(𝑎14·q6)·(q16)10=1×210=102