考研精品数学笔记

sinsintgtg11f(0)x2高中公式三角函数公式高等数学3.柯西收敛准则：数列{x}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当m，nN时，有|x-x|ε。1.3函数的极限性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则：1.夹逼法则：若limf(x)limh(x)A，且存在x的某一去心邻域和差角公式和差化积公式sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscos22U(x,)，使得xU(x,)，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，则limg(x)A。tg()tgtgsinsin2cossin222.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。13.柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是：∀ε0,∃0,∀x’,x’’∈,U(x,)ctg()ctgctgcoscos2coscos22ctgctgcoscos-2sinsin22有|f(x’)-f(x’’)|ε。4.海涅(Heine)归结原则：limf(x)A的充要条件是：对于任何满足积化和差公式倍角公式sin22sincos2tan1tanlimxx的数列{x}，都有limf(x)A。sincos1[sin()sin()]2cos22cos112sin1tan归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个cossin1[sin()sin()]2cossin1tan收敛于该点的自变量x的数列{x}，而相应的函数值数列{f(x)}却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列{x},{x’}，而相应的函数值数列{f(x)},{f(x)}却具有不同的极限。coscos1[cos()cos()]tg222tg1tgctg2ctg12ctg1.4无穷小与无穷大1sin33sin4sinsinsin[cos()cos()]02cos34cos3cos若lim(x)l，当时，则称x→x时称α(x)是β(x)的tg33tgtg13tg(x)l01半角公式sin1coscos1cos高阶无穷小，记作(x)o((x))同阶无穷小，记作(x)O((x))2222等阶无穷小，记作(x)~(x)tg1cos1cossin常用等价无穷小21cossin1cossinxtanxarcsinxarctanxe1ln(1x)~xctg1cos1cossin121cossin1cos1cosx~x(1x)1~axa1~xlna2V=SHV=1SHV=1H(S+SS+S)33若f(x=0),f’(0)≠0,则f(t)dt球的表面积：4πR球的体积：43第1章极限与连续1.1集合、映射、函数R椭圆面积：πab椭球的体积：43abc确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式1.5连续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.左右极限至少有一个不存在。空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数1.2数列的极限性质：1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。2.（有界性）收敛数列必为有界数列。3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a。注1.一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。1.6常见题型求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；7.放缩法；求极限limxn,就要将数列xn放大与缩小成：z≤x≤y.n8.求递归数列的极限注2.若数列{x}有两个子列{x},{x}均收敛于a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于a。注3.性质3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。4.（对有限变动的不变性）若数列{x}收敛于a，则改变{x}中的有限项所得到的新数列仍收敛于a。(1)先证递归数列{a}收敛（常用单调收敛原理），然后设limxnn归方程af(a)取极限得A=f(A),最后解出A即可。A,再对递5.（保序性）若limxa,limyb，且ab，则存在N，当nN时，有(2)先设limxnA，对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明xy。判别法则：nlimanA。n1.夹逼法则：若∃N,当nN时，x≤y≤z，且limx=limz=a,则limy=a。第2章导数与微分2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。2.1求导法则和求导公式求导法则：xn!(1)n(1)n(1)nxn012n1分享一点个人的经验给大家，考试中，其实很多人不是真的不会做，90%的人是因为时间不够用而只完成了少量的题。考试这种选人的方式可以说是全方位的，第一就是考解决问题的能力，第二就是考智商，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都都要有很高的效率。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要1-2分钟，读的次数就多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，在千军万马的考试大潮中，这是非常不得了的。想学的朋友可以到这里用这个训练的软件训练，大概30个小时就能练出快速阅读的能力，这也是我最最想推荐给大家的网站，再次极力的推荐给大家（我做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后点击鼠标）。大家好好学习吧！祝大家早日上岸！QZZN有个帖子专门介绍速读的重要性，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读（帖子地址按住键盘Ctrl键同时点击鼠标左键点击这里就链接过去了），也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。另外，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人觉得，拥有这个技能，基本上可以成功2/3，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。1.四则运算法则[αu(x)+βv(x)]’=αu’(x)+βv’(x)[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)[u(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)第3章中值定理和泰勒公式3.1中值定理v(x)2.复合函数求导v(x)费马定理：若是x是f(x)的一个极值点，且f’(x)存在，则必有f’(x)=0(可微函数的极值点必为驻点)，1.罗尔定理：若函数f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(f[(x)])f[(x)](x)关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0.2.拉格朗日定理：若函数f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得3.反函数求导4.隐函数求导5.参数式求导[f(y)]1f(x)f(b)f(a)f().ba3.柯西定理：若函数f(x)和g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii)∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得xx(t)dyy(t)dyy(t)x(t)y(t)x(t)f(b)f(a)f(),,yy(t)dxx(t)6.对数求导法7.分段函数求导dx[x(t)]3.2泰勒公式g(b)g(a)g()(1)按求导法则求连接点处的左右导数设g(x),xxxf(x),若g(x)h(x)A,则f(x)A.求泰勒公式的方法：1.泰勒公式（拉格朗日余项）：f(x)f(x)(xx)f()(xx)h(x),xxxk!(n1)!2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）(2)按定义求连接点处的左右导数xxe1xe设g(x),xxxg(x)与f(x)在点x处无定义，1!2!(n1)!f(x)A,xx,xxxxxxx可按定义求g(x)与h(x)sin3!5!(2n1)!(1)cos(2n1)!h(x),xxxcosx1xxx(1)xcosx(3)对于(1)f(x)很复杂，按定义求,f(x)limf(x)f(x)2!4!(2n)!(2n2)!g(x),xxxxxxxxf(x)A,xx,(2)否则，先求出f(x)，再求limf(x)ln(1x)x23(1)n(n1)(1x)8.变限积分求导(1x)xxx(1x)ydyf(t)dt,f((x))(x)f((x))(x)dx1求导公式：1x11xx...(1)x(1)x(1x)(C)0(x)x(sinx)cosx(cosx)sinx(arcsinx)11x1x1xx...xx(1x)(a)alna(tanx)secx(ctgx)cscx(arccosx)11x1x11x2(1)(2k3)!!x(1)(2n1)!!x(1x)(2k)!!(2n2)!!n000xx(logx)1xlna(secx)secxtanx(cscx)cscxctgx(arctgx)11x13.逐项求导或逐项积分若f(x)(x)或f(x)(t)dt，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，(arcctgx)1xx然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。2.2高阶导数和高阶微分例如：arctanx1dt11(1tt)dto(x)xxxo(x)求高阶导数的方法：1.莱布尼茨（Leibniz）公式：(u(x)v(x))Cu(x)v(x)1t353.3函数的极值、最值2.常用公式(e)ae(sin(axb))asin(axbn)2(cos(axb))acos(axbn)驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为