数学物理方程(谷超豪)课后答案

1第一章．波动方程§1111方程的导出。定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(txu()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂xuExtuxtρ其中为杆的密度，为杨氏模量。ρE证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。现在计算这段杆在时x+xx∆刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为：tt),();,(txxuxxtxux∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于0→∆xxxu),(tx),(txT),()(),(txuxEtxTx=其中是在点的杨氏模量。)(xEx设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(xS),(xxx∆+xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,(∆+∆+).,(txx∆+于是得运动方程ttuxxsx⋅∆⋅)()(ρxESutx=),(xxxxxESuxx|)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得x∆0→∆xttuxsx)()(ρx∂∂=xESu()若常量，则得=)(xs=22)(tux∂∂ρ))((xuxEx∂∂∂∂即得所证。2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为lxx==,0.0),(,0),0(==tlutu(2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边lx=lx=xuxEtlT∂∂=)(),(lx=界条件为|=0xu∂∂lx=同理，若为自由端，则相应的边界条件为∣0=xxu∂∂00==x(3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移lx=由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有)(tvlx=)(),(tvtlu−∣xuE∂∂)](),([tvtluklx−−==其中为支承的刚度系数。由此得边界条件k∣其中)(uxuσ+∂∂)(tflx==Ek=σ特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件,0)(=tv∣。)(uxuσ+∂∂0==lx同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件0=x∣xuE∂∂)](),0([0tvtukx−==即∣)(uxuσ−∂∂).(0tfx−=3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(tuhxxuhxxE∂∂−=∂∂−∂∂ρ其中为圆锥的高(如图1)h证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x点处截面的半径为：lhxl−=12所以截面积。利用第1题，得2)1()(hxxs−=π])1([)1()(2222xuhxExtuhxx∂∂−∂∂=∂∂−ππρ若为常量，则得ExE=)(2222)1(])1[(tuhxxuhxxE∂∂−=∂∂−∂∂ρ4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为lρx)(xT)()(xlgxT−=ρ且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于)(xTx),(txutx轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为),,(xxx∆+u)(sin))(();(sin)(xxxxlgxxlg∆+∆+−−θρθρ其中表示方向与轴的夹角)(xθ)(xTx又.sinxutg∂∂=≈θθ于是得运动方程∣∣xuxxltux∂∂∆+−=∂∂∆)]([22ρxuxlgxx∂∂−−∆+][ρgxρ利用微分中值定理，消去，再令得x∆0→∆x。])[(22xuxlxgtu∂∂−∂∂=∂∂5.验证在锥0中都满足波动方程2221),,(yxttyxu−−=222yxt−−222222yuxutu∂∂+∂∂=∂∂证：函数在锥0内对变量有2221),,(yxttyxu−−=222yxt−−tyx,,二阶连续偏导数。且tyxttu⋅−−−=∂∂−23222)(2252222322222)(3)(tyxtyxttu⋅−−+−−−=∂∂−−)2()(22223222yxtyxt++⋅−−=−xyxtxu⋅−−=∂∂−23222)(()()22522223222223xyxtyxtxu−−−−+−−=∂∂()()222252222yxtyxt−+−−=−同理()()22225222222yxtyxtyu+−−−=∂∂−所以()().222222252222222tuyxtyxtyuxu∂∂=++−−=∂∂+∂∂−即得所证。6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质()xxx∆+,量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为tub∂∂−()xxx∆+,()()tuxxsxpb∂∂∆⋅⋅−运动方程为:()()()()tuxxsxbxxuEStuEStuxxsxxx∂∂∆⋅−∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=∂∂⋅∆∆+ρρ223利用微分中值定理，消去,再令得x∆0→∆x()()()().22tuxsxbxuESxtuxsx∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ若常数，则得=)(xs()()tuxbxuExtux∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ22若()()则得方程令也是常量是常量,.,2ρρρEaExEx===.22222xuatubtu∂∂=∂∂+∂∂§§§§2222达朗贝尔公式、波的传抪1.证明方程()常数011122222fhtuhxaxuhxx∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∂∂的通解可以写成()()xhatxGatxFu−++−=其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0xtuxutΨ=∂∂==ϕ解：令则()vuxh=−()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−=∂∂−∂∂+=∂∂−xvuxhxuxhxvuxuxh2,))(()()()()[(2222xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx∂∂+−=∂∂−+∂∂−+∂∂+−=∂∂−∂∂又()2222tvtuxh∂∂=∂∂−代入原方程，得()()222221tvxhaxvxh∂∂−=∂∂−即222221tvaxv∂∂=∂∂由波动方程通解表达式得()()()atxGatxFtxv++−=,所以()()()xhatxGatxFu−++−=为原方程的通解。由初始条件得()()()[])1(1xGxFxhx+−=ϕ()()()[]xaGxaFxhx//1+−−=ψ所以()()()())2(10cdhaxGxFxx+−=−∫ααψα由两式解出)2(),1(()()()()()22121cdhaxxhxFxxo+−+−=∫ααψαϕ()()()()()22121cdhaxxhxGxxo+−−−=∫ααψαϕ所以)]()()()[()(21),(atxatxhatxatxhxhtxu+−−+−+−−=ϕϕ+∫+−−−atxatxhxha()()(21ψα.)ααd即为初值问题的解散。２．问初始条件与满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波)(xϕ)(xψ4组成？解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中F，G由初始条件与决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对)(xϕ)(xψ于任何有G(x+at)常数.tx,≡即对任何x,G(x)C≡0又G（x）=∫−+xxaCdax02)(21)(21ααψϕ所以应满足)(),(xxψϕ（常数）+)(xϕ∫=xxCda01)(1ααψ或(x)+=0'ϕ)(1xaψ3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=−).()(0022222xuxuxuatuatxatxψϕ())0()0(ψϕ=解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令x-at=0得=F（0）+G（2x）)(xϕ令x+at=0得=F（2x）+G(0))(xψ所以F(x)=-G(0).)2(xψG（x）=-F(0).)2(xϕ且F（0）+G(0)=).0()0(ψϕ=所以u(x,t)=+-(ϕ)2atx+)2(atx−ψ).0(ϕ即为古尔沙问题的解。4．对非齐次波动方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞−∞=∂∂==+∞−∞=∂∂−∂∂)()(),(,0),0(),(22222xxtuxutxttxfxuatuψϕ证明：（1）如果初始条件在x轴的区间[x,x]上发生变化，那末对应的解在区间[，121x]的影响区域以外不发生变化；2x（2）在x轴区间[]上所给的初始条件唯一地确定区间[]的决定区2,1xx21,xx域中解的数值。证：（1）非齐次方程初值问题的解为u(x,t)=∫+−+++−atxatxaatxatx21)]()([21ϕϕ+ααψd)(+∫∫−+−−ttaxtaxddfa0)()(.),(21τττξτξ当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐次方程初值的解。当在[]上发生变化，若对任何t0,有x+atx或x-atx,则区间[x-at,x+at]整个),(xϕ)(xψ2,1xx12落在区间[]之外，由解的表达式知u(x,t)不发生变化，即对t0,当xx-at或xx+at,也就是2,1xx12（x,t）落在区间[]的影响域21,xx)0(2+≤≤−tatxxatxt之外，解u(x,t)不发生变化。（1）得证。(2).区间[]的决定区域为21,xxatxxatxt−≤≤+21,0在其中任给（x,t）,则21xatxatxx≤+−≤故区间[x-at,x+at]完全落在区间[]中。因此[]上所给的初绐21,xx21,xx条件代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。)(),(xxβψϕ55.若电报方程()GRuuLGCRCLuutttxx+++=具体形如()为常数GRLC,,,()()()atxfttxu−=µ,的解（称为阻碍尼波），问此时之间应成立什么关系？GRLC,,,解()()()atxfttxu−=µ,()()atxftuxx−′′=µ()()()()atxftaatxftut−′−−′=µµ()()()()()()atxftaatxftaatxftutt−′′+−′′−−′′=µµµ22代入方程，得()()()()()()()()()()()()()()()0212=−++′++′′+−′++′−−′′−atxftGRtGRtLGCRtCLatxftLGCRataCLatxftCLaµµµµµµµ由于是任意函数，故的系数必需恒为零。即ffff′′′,,()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+′++′′=++′=−002012tGRtLGCRtCLtLGCRtCLCLaµµµµµ于是得21aCL=()()()LGCRatutu+−=′22所以()()tLGCRaectu+−=202代入以上方程组中最后一个方程，得()()0242224≡++−+⋅GRLGCRaLGCRaCL又()GRCLLGCRCLa=+=2241,1得即()02=−LGCR最后得到RGLC=6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥=∞=====00,000,002ttuxxuxuuautttxxttψϕ解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：。()()()()()∫+−+−++=atxatxdaatxatxtxuααψϕϕ2121,由题意知仅在上给出，为利用达朗贝尔解，必须将开拓到()()xxψϕ,∞x0()()xxψϕ,上，为此利用边值条件，得0∞−x。()()()()∫−+