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1对杭州市消防局设置的研究对杭州市消防局设置的研究对杭州市消防局设置的研究对杭州市消防局设置的研究对杭州市消防局设置的研究对杭州市消防局设置的研究对杭州市消防局设置的研究对杭州市消防局设置的研究王义凯王义凯[1]刘丽莉刘丽莉[2]兰晓笠兰晓笠[3]302300101730230010173023001005302300100530220420263022042026（[1]、[2]竺可桢学院混合0201；[3]电子商务0201）摘要本文在对杭州市消防局设置的研究分析过程中，建立了数学模型，提出了算法。该模型属于城市规划，算法的出发点是将区域抽象化，加其权重（重要性），建立矩阵。并定义了一种矩阵乘法，利用矩阵之间的运算，实现对问题的解决。通过本次建模，我们实现了对现有消防局设置合理性的检验，以及提出一套用于评估和优化设置的可行性方案。我们的建模算法还适用于对新建城区（社区）其他设施的优化设置，给地区总体规划提出建议。关键词：矩阵乘法，拉普拉斯变换，阶跃函数，工程师原理，效用单位一、问题的提出现今由于空调等大功率耗能电器的普及，以及人们日常生活中对其使用的不合理性，导致城市火灾发生频率日渐增高。这样的状况无非给消防部门带来很大的压力，在提高消防人员的工作效率的同时，及时地到达事发地点进行消救在整个过程中也起到决定性作用。所以如何做到用最少的人力物力建立最大的消防安全保障体系是一个关键问题。二、问题的假设我们从对城市的局部----社区的规划入手，对此问题进行假设：1）杭州市的社区是正南正北的规则排布。2）房屋里面的所有可燃东西均是同种材质，即火燃烧只与其蔓延的速率有关，而与房屋内的每种器物燃烧的难易程度无关。3）燃烧的过程不考虑风速等外在条件的影响。4）消防员灭火时水量开到最大，且稳定不变。作用效果与水管口到屋内的距离成正比。2三、模型的建立1．我们把每栋房屋看成为一个点，最后结果是一个矩阵：1111111111111111111111111111n我们必须对该矩阵的实际意义作一些具体说明：n1：表示有1人居住。N每个元素位置的取值范围是0—1。我们可以考虑其反映了一种需求量。即可以说是需求系数。值越小，需求约大。如某位置元素值为1/20可以反映该区域消防设施较齐全，对消防局的要求不高。而另一元素值为1/2000可以说明此地可能是政府机关，对消防局需求很高。N各个地区的需求量不是只考虑人口一个因素。权重系数看实际情况有专业人士决定。2．我们可以把消防局的位置也抽象的放进一个相似的矩阵中。为简单的说明问题，我们只考虑一个消防局。2464210.54686421681086424686421⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠（其中，元素10的位置是消防局所在位置。矩阵中的数值反映了消防局的作用范围及作用效果。随着距离的增大，作用效果逐渐减小。）3．定义一种矩阵乘法并引入经济学中的效用单位。规定：32464210.54686421681086424686421⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠×1111111111111111111111111111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠=2464210.54686421681086424686421⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ABC该乘法过程是将两矩阵对应位置相乘。C矩阵中的元素反映了该地区的安全效用。当矩阵中的元素数值达到规定数值以上，即代表该地区的安全达标。4．我们的实验我们在无风的条件下用同样大小的纸做了火燃烧速率的实验。数据如下：时间物质质量n（t）燃烧量烧去的百分比02.11170061.96460.14710.06966101.74960.36210.171473131.49040.62130.294218151.42470.6870.32533171.37360.73810.349529180.98781.12390.532225220.52931.58240.749349300.51371.5980.7567364002.11171用剩余纸的质量对时间作图，并用三次多项式逼近，可得下图：4010203040500.00.51.01.52.02.5Y=2.40912-0.08269X+5.09967E-4X2T对上图求导可得下图：0102030400.020.00-0.02-0.04-0.06-0.08Y=-0.02082-0.00594X+1.61921E-4X2YAxisTitleXAxisTitle根据以上分析，我们认为燃烧速率与剩余的可燃烧物的质量有关。即在燃烧开始阶段，可燃物较多，燃烧速率是时间的递增函数。在燃烧的后阶段，可燃物减少，限制了燃烧速率，使燃烧速率下降。所以我们列写微分方程得：()dnkntdt=−5其解为：()ktntce−=×其中k=0.0565;c=2.1117该方程只是对曲线后半段的描述，因为我们所关心的是当t比较大时，n(t)与0t之间的关系。（0t指从开始燃烧到消防员赶到开始灭火的时间）四、简化模型及模型的求解根据我们实验所得的结果，我们进一步简化模型。设房屋中可燃的东西的总量是N。n(t)为可燃物的剩余量。T为燃烧时间。0t为火灾开始发生到消防员赶到现场参与救火的时间。因为水枪的个数和出水量是定值，所以我们用阶跃函数0()Autt−来表示消防员的灭火作用。数学参数如下表：可燃的东西的总量N可燃物的剩余量n(t)燃烧时间T火灾开始发生到消防员赶到现场参与救火的时间0t消防员的灭火作用0()Autt−同时我们注意到消防员的作用是对时有积累效果的。这是因为水是不断积累在燃烧物上。所以燃烧速率方程可改为：00()()()()dnAuttdtkttntnt−=−+−当dndt=0时，说明火势得到控制，不会再有新的物质燃烧。确定该时刻为燃烧终止时刻。此时保留下来的物质量为最后所剩余的物质量。6即：00()()()0dnkntAttuttdt=−+−−=利用laplace变换，所以可得n(t)与0t之间的关系：02()()stesNsNkNsAs−−=−+022()()stNsAeNsssk−+=+0()202(1)()kttAttNkAentkk−+++=−利用工程师原理，我们假设：0tatb=+（a0,b0,t0t）所以最后可得最后剩余量与0t之间的关系：00()20002(1)()ktatbAtatbNkAentkk−−++++=−这样我们如果根据实际数值确定出所有常数的值，那我们可以作出一条最后剩余量n和消防员到达时间的函数曲线。如加上出警时间，假设速度是恒定的，因为（T是出警时间）我们可以得到一条n与距离s之间的关系曲线。00()svtT=+0(()(1))202(()(1)1)()skTabvsATabvNkAenskk−−−−++++=−对应每个街区里消防站的距离，我们从图中取出一系列的离散点数据。我们就可以作出消防局作用矩阵，进行合理性评估。最后，我们考察多个消防局的集体作用，只需把每个消防局的效果矩阵叠加即可。7五、结果分析和检验用上述模型的一部分计算结果如下表所示：t0-TvSn(t0)在矩阵中的数值0.630.080.052.7681.250.080.102.6161.880.080.152.5043.130.080.252.3725.630.080.451.890.5注：在矩阵中的数值与n(t0)对应情况需要通过一定的函数关系来实现，在这里我们认为，应该根据实际情况（对预报情况精确度要求不同）选择函数关系，但是应遵循两个原则：即有序性与简化。1．从计算结果可以看出：矩阵中的数值与离消防设施的距离（在这里姑且把它看成着火抢救风险）成正比，即离消防设施的距离越大，提供的消防安全性存在着越大的隐患。这是与目前消防业界中评价消防设施安全性的基本原则相符的2．我们还可以观察出，消防设施设置越集中，其总体的消防安全性越差。这就有点类似经济学中“分散投资可以减少风险”的原则。对总体消防设施的建设规划也起了一定的指导作用。本模型由于与实际联系比较紧密，故我们从实际的角度对灵敏度进行分析。基于居住者的性格特征，故在本模型中存在着几个跳变点，在跳变点附近，居住者的满足度与消防设施现状会有很大的变化，它主要是源于居住者心里的变化，我们姑且给它们一个名字-----心里极限点，在两个极限点之间，当居住者需求矩阵的值作微小变化，我们可以发现最终矩阵的值并无太大变化，所以我们认为本模型在消防设施矩阵定下后比较稳定，即微小的心理变化不足以扰动消防设施设定的变化。同时，我们在作评估时不可能给出一些数据就完事。我们必须提出一种直观的方法，便于普通人都能看懂。那么我们就对每个街区着色就可以了。（不同的颜色代表不同的安全等级）如下图所示：8六、模型的推广这个模型可以推广应用到一类问题中，一大类应急系统的解决方案都可以用到这个模型中的方法，但是这个模型假设的条件比较乐观，这或多或少地影响了它的实用价值，而且由于人的心理因素比较难精确度量，所以存在着计算过程中数据准确度较差的缺点。这都是需要在实际工作中继续改进的。七、参考文献〈〈数学建模〉〉杨启帆方道元浙江大学出版社〈〈上海市公安网资料〉〉上海市公安局〈〈复变函数与拉普拉斯变换〉〉尹永成浙江大学出版社〈〈数学建模讲义〉〉姜启源中国科技大学数学建模基地清华大学