函数的可导性与连续性的关系教案3篇

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函数的可导性与连续性的关系教案3篇【导读】这篇文档“函数的可导性与连续性的关系教案3篇”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理,希望这篇范文对您有所帮助,喜欢就下载吧!函数的可导性与连续性的关系教案1函数的可导性与连续性的关系教案教学目的1.使学生理解函数连续是函数可导的必要条件,但不是充分条件.2.使学生了解左导数和右导数的概念.教学重点和难点掌握函数的可导性与连续性的关系.教学过程一、复习提问1.导数的定义是什么?2.函数在点x0处连续的定义是什么?在学生回答定义基础上,教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以∴f(x)在点x0处连续.综合(1)(2)原命题得证.在复习以上三个问题基础上,直接提出本节课题.先由学生回答函数的可导性与连续性的关系.二、新课1.如果函数f(x)在点x0处可导,那么f(x)在点x0处连续.∴f(x)在点x0处连续.提问:一个函数f(x)在某一点处连续,那么f(x)在点x0处一定可导吗?为什么?若不可导,举例说明.如果函数f(x)在点x0处连续,那么f(x)在该点不一定可导.例如:函数y=|x|在点x=0处连续,但在点x=0处不可导.从图2-3看出,曲线y=f(x)在点O(0,0)处没有切线.证明:(1)∵Δy=f(0+Δx)-f(0)=|0+Δx|-|0|=|Δx|,∴函数y=|x|在点x0处是连续的.2.左导数与右导数的概念.(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件,可以加以证明,本节不证明).(3)函数在一个闭区间上可导的定义.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,在左端点x=a处存在右导数,在右端点x=b处存在左导数,我们就说函数f(x)在闭区间[a,b]上可导.三、小结1.函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件.2.函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件.3.函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件.四、布置作业作业解答的提示:=f(1).∴f(x)在点x=1处连续.∴f(x)在x=1处不可导.函数连续和可导性练习题21.讨论函数已知在处的连续性。在处的连续,试求a值。设函数在处的连续,试求a值。讨论函数在处的连续性和可导性。设函数,求。证明函数在处的连续但不可导。(7.确定a.与b的值,使在处可导。ax已知函数,求及又是否存在?设函数,则A为何值时f(x)在处的连续,并讨论此时函数在处是否可导。确定a.与b的值,使在处可导。构造可导函数证明函数不等式3构造可导函数证明不等式◎李思阳本溪市机电工程学校117022内容简要构造辅助函数,把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式。而如何构造一个可导函数,是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。关键词构造辅助函数;导数;不等式。一.直接作差1(2011·辽宁文科)设函数,曲线过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值;(2)证明:。(1)解:0b.由已知条件得,,即解得。(2)证明:因为f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知。设,则。xx当0<x<1时,>0,当x>1时,<0。所以g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减。而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0,即。总结:直接作差,用导数得,从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。二.分离函数2.(2011·课标全国卷文科)已知函数处的切线方程为。(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0,且时,f(x)>(1)解:略,。,曲线在点(1,f(1))nx。,所以。(2)证明:由(1)知考虑函数(x>0),则x=。所以当时,<0,而当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得,故1h(x)>0;1h(x)>0。当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得lnx从而当x>0,且时,f(x)>。总结:作差后的函数如可分为两个函数的积,直接求导很繁,可取其中一个函数求导,再讨论证明。三.巧妙变形3.(2010·辽宁文科)已知函数。(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),。解:(1)略。(2)不妨设x1≥x2,由于,故f(x)在(0,+∞)减少。所以等价于-x2,即。令,则。于是xx。xx从而g(x)在(0,+∞)单调减少,故g(x1)≤g(x2)。即,故,对任意x1,x2∈(0,+∞),。总结:通过等价变形,构造函数g(x),利用g(x)的单调性得证。四.作函数积。exex1212证明:对任意的(0,﹢∞),>x2设函数,g(x)=x+。ee,,得,易知fmin(x)=f(2)=—2。eee4.(2011·本溪一中模拟)对任意的(0,﹢∞),求证:>,=0,得1,易知==。,∴fmin(x)>gmax(x),。ee2。因此>。总结:直接做不好做,不等式两边同乘以一个函数,先进行证明,得到结果后再同除以这个函数,从而证得。

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