函数极限与连续5篇

函数极限与连续5篇【导读】这篇文档“函数极限与连续5篇”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理，希望这篇范文对您有所帮助，喜欢就下载吧！函数极限与连续1函数、极限与连续一、基本题1、函数的连续区间12、设函数，若，且存在，则-1，3、-4、-5、，则k=-，则，-46、设17、设函数，当时，，则k8、函数的定义域R；连续区间(-9、函数在处连续，则，10、函数x1x的间断点为x=0，类型是跳跃间断点。11、，则y12、，则13、函数的定义域为{(x,y)|1=0}14、-；-12；5、二、计算题1、求下列极限（1）00型：1）li；=02）-1/43）-34）（2）型：1）lnsin3x2）（3）型：1）22）-1/2-（4）型：）-π/2（5）型：）(-6)）-4)=e^(2/5)1sin5x-（6）00型：1）方法:limx^sinx=lime^(sinxlnx)公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))（7）型：1）同上2、已知：，求f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+2(方法：两边limf(x)x-0)3、求函数的间断点，并判定类型。驻点x=0,x=1,x=-11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1跳跃间断点2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点4、设函数在定义域内连续，求a与Limsin(2x)/x|x-0-=2=a=b/-2=a=2,b=-45、证明方程：在内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：1）存在性：令f(x)=x^3-3x^2-9x+1f(0)=10;f(1)=-10因为f(0).f(1)2）唯一性f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)所以f(x)在(0,1)内为单调减函数故在内有唯一的实根。函数连续2第一章函数、极限、连续第四节函数连续性有关知识：（1）连续与间断的概念及间断点分类．（2）闭区间上连续函数性质及应用（中间值存在性证明及方程根存在性证明）．（3）f(x)在x0处连续在x0处既左连续又右连续．例1：设f(x)在(0,1)内有定义，且函数在(0,1)内都是单增函数，证明f(x)在(0,1)内连续．分析：欲证f(x)在处连续，需证左，右都连续证明：对，由题设知当时，有e所以，，即f(x)在x0处右连续令，由夹逼定理得类似地，可证f(x)在x0处左连续，于是得结论．例２：设f(x)在[a,b]上连续，且对，存在，使得证明：至少存在一点，使得．分析：初一看无处下手，此时可试一试反证法。证明：若对，，则f(x)在[a,b]上恒正或恒负，不妨设，则，使得(x)|，2对此x0，存在y，使得从而得出矛盾．故结论成立．例３设f是定义在一个圆周上的连续函数，证明存在一条直径，使得f在直经的两端取相同值．分析：首先要将问题用数学语言表达，设圆周的圆心为O，取圆周上一点A，B为圆周上任一点，记，则该问题用数学语言表达为：已知在上连续，且，求证存在，使得．此问题的证明不困难：Pageof3令，则，从而由连续函数的性质知，使得，即可得结论．或令，则，从而由连续函数的性质知，使得，即可得结论．2或可用反证法证明，请同学们完成。由闭区间上的连续函数的性质推得的两个结论是可以直接用的：（1）设f(x)在区间[a,b]上连续，若f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值分别为M和m，则f(x)在区间[a,b]上的值域为[m,M]。（2）设f(x)在区间[a,b]上连续，则对任意的，存在，使得。练习题．设为连续函数，则．答案:０，１２．求的间断点，并确定其类型．为可去间断点，３．设，且已知为无穷间断点，则．答案:ｅ)４．设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且对，有证明：f(x)在(a,b)内连续．（任取，由题设有，令，可得22Pageof3，令，可得；又，令，可得，所以有）５．设f(x)在内连续，且，f(x)的最小值，求证至少在两个不同的点处取得它的最小值．（易见f(f(x))的最小值为f(a)，故只需证存在，使得f）６．设f(x)在内连续，且，求证存在一点，使得．（用反证法证明）Pageof3证明函数一致连续的几种方法3第２６卷第１２期２０１０年１２月贵州师范学院学报ＪｏｕｍａｌｏｆＧｎｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＣｏＵｅｇｅＶ０１．２６．Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２０１０证明函数一致连续的几种方法唐美燕（广西师范大学数学科学学院，广西桂林５４１００４）摘要：主要从五个方面探究证明函数一致连续的方法：从导函数判断函数是否一致连续；利用Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ条件，推导出判断复合函数是否一致连续的方法；由函数定义域上数列的ｌｉｍｘ．存在，而ｌｉｒａｆ（膏．）不存在，从而ｔｔ．．－．ｍ■—●－一得以石）不一致连续；从函数以毒）导数的极限判断函数一致连续；用另一个函数给出函数一致连续的充要条件。主要的研究方法是放缩条件、类比、等价转化。关键词：函数；一致连续；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件；可导；极限中图分类号：０１７４文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—７７９８（２０１０）１２—０００７—０４Ｓｏｍｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ§ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙＴＡＮＧＭｅｉ—ｙａｈ（ＣｏＨｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕａｎｇｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｌｌｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ，５４１００４Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｋｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｔｈｒｏｕｓｈｆｉｖｅａｒｅａｓ．ｆｕ－ｓｔ，ｕｓｉｎｇｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｅａｒｃｈｅｓｆｏｒｔｈｅｗａｙｓｏｆｐｒｏｖｉｎｇＬｉｐｓｃｈｉｍｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｆｕｎｅｔｉｏｎ备ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｓｅｃｏｎｄ，ｕｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｍ；ｔＩｌｉｒｄ，ｌｉｍｘ。ｅｉｓｔｓｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｆｏｕｒｔｈ，ｕｓｉｎｇｔｏｊｕｄｇｅｗｈｅｔｈｅｒｔｈｅｃｏｍｐｏｓｉｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｎｏｔａｒｅｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｔｈｅｄｏｍａｉｎｏｆａｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｂｕｔｌｉｍｆ（Ｘｔｓ）ｄｏｓｅｔｏｅｘｉｓｔ，ｓｅｆｃ髫）ｉｓｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｒｃｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ§ｌｉｍｉｔｔｉｏｎｔｏｊｕｄｇｅｗｈｅｔｈｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｓｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｆｉｆｔｈ，ｕｓｉｎｇ＆ｒｌｏｔｈｅｒｆｕｎｅ—ｇｉｖｅＢｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ§ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ．Ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｓ‘ｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒａｒｅａｎａｌｏｇｙ。ｓｃａｌｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｌｉｍｉｔ０引言步探究证明函数一致连续的方法非常必要．很多文献研究函数一致连续性得到了一些结论，比如：定理１８３若ｆｃ算）在区间，上满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ许多数学分析教科书中证明函数一致连续的方法，通常使用函数一致连续的定义…：设八戈）为定义在区间，上的函数，若对于任意的占＞０，存在艿＝艿（占）＞０，使得对任意的茗’，∥∈，只要Ｉ石７一茗”Ｉ＜艿，就有Ｉ以茹’）一ｆｃ石”）Ｉ＜占，则称ｆｃ菇）在区间，上一致连续．其次是一致连续性定理Ｈ１：若函数ｆｃ茁）在闭区间口．６上连续，则以戈）在口．６上一致连续．用定义证明函数一致条件即存在常数Ｌ，对任意的石７，∥Ｅ，有Ｉｆｃ茗’）一ｆｃ茗”）Ｉ≤ＬＩ戈’一戈”Ｉ，则ｆｃ茗）在，上一致连续．在此定理的基础上，人们又不断的研究得出了如下定理：定理２２３若函数以茗）在区间，上可导，且厂（茗）在区间，上有界，则ｆｃ髫）在，上一致连续．连续比较复杂，用一致连续性定理来证明虽然简单，但使用的范围只能在闭区间上．如果是在其它区间上，又如何证明函数的一致连续性，于是进一如果函数可导，那么函数是否一致连续就可以判断了．在数学中不可导的函数也有很多，此时这个定理就不实用．人们不断探索，得出了一些定理：收稿日期：２０１０—１２—０３作者简介：唐美燕（１９８５一）。女，瑶族，广西师范大学数学科学学院数理统计２００８级研究生。一７一万方数据定理３［３１函数ｆｃ茗）在，上是一致连续的充要条件是对，上满足条件一ｌｉｒａ。（‰一儿）＝０的任意两个点列，有一ｌｉｒａ。（以石。）一以）。））＝０・定理４［４１设函数八菇）在区间ａ，＋∞）上局部可积，且八并）在区间口，＋∞）上有界，则Ｆ（菇）＝Ｉ八ｓ）ｄｓ在区间口，＋∞）上一致连续．定理５Ⅲ设函数以石）为区间（一∞。＋∞）上的连续的周期函数，则以石）在（一∞。＋∞）Ｅ＿致连续定理６５１若函数以菇）在口，＋∞）连续，且ｌｉｒａ以戈）存在，则以菇）在口，＋∞）上一致连续．定理７６１函数以石）在区间（口，６）上一致连续的充要条件是八ｘ）在区间（口。６）上连续，且ｌｉｍｆ（石）与ｌｉｍｆ（菇）都存在有限．１应用的定理及定理的拓展１．１利用导函数判断函数是否一致连续引理１．１．１［２１若函数几戈）在区间，上可导，且厂（菇）在区间，上有界，则八石）在，上一致连续．定理１．１．１单调递增可导，且任意的戈。，并：∈（一∞，口］有掣≤“半），若函数八茹）在（一∞，口］上是则八髫）在区间（一∞，口］上是一致连续函数…ｃ一小有掣≤“半），证明：因为函数以茹）在（一∞。口］上是单调递增可导，所以厂（茗）≥０．又因为对任意的．菇。，所以以髫）在（一∞，口］上是上凸函数，于是厂（戈）在Ｃ一∞，口］上单调减少，则厂（菇）在（一∞，口］上有界，所以厂（菇）在区间（一∞，口］上是一致连续函数．定理１．１．２函数厂（髫）在有限开区间（口，６）上有连续的导函数厂（石），且ｌｉｍｆ（菇）与菇均存在有限，则以石在口．上一致连续．证明：因为函数八石）在有限开区间（口。６）上有连续的导函数厂（茗），且ｌｉｍＪ＂（并）与］ｉｍｆ（菇）均存在有限，则～８一万方数据ｒｌｉｍｆｔｚ），茗＝口，Ｆ（石）＝｛厂（石），石∈（口，６），Ｉ一＋ｌｌｉＩ矿（菇），茹＝ｂ在Ｄ，６上连续．所以Ｆ（茗）在口。６上有界，即存在Ｍ＞０，使ＩＦ（石）Ｉ＜Ｍ，则ｌ厂Ｃｘ）Ｉ＜Ｍ，所以以茹）的导函数厂（髫）在（口。６）有界，由引理１．１．２得以石）在（口，６）上是一致连续函数．定理１．１．３函数以戈）在（口．＋∞）（口．＋∞））上有连续的导函数厂（菇），且ｌｉｍＴ（ｘ）与ｌｉｍｆ（ｘ）均存在有限，则以石）在（口，＋∞）（［口，＋∞））上一致连续．证明：令ｌｉａｒ（ｘ）＝Ａ，则取占＝１，当０＜茗一ａ＜艿，其中艿＞０，由函数极限的局部有界性，得Ｉ厂（戈）一ＡＩ＜１，’所以Ａ一１＜厂（菇）＜Ａ＋１，所以Ｉ厂（茗）Ｉ＜ＩＡＩ＋１，于是厂（石）在（口。Ⅱ＋６）上有界．令ｌｉｍｆ（石）＝Ｂ，则对取定的占＝１，存在肘（＞口），当菇＞Ｍ时，有Ｉ厂（茹）一日Ｉ＜１，所以ｌ厂（龙）Ｉ＜ｌＢＩ＋１，于是厂（菇）在（肘．＋∞）上有界．又因为堑笋，肘＋１上连续，于是厂（名）在堑尹，Ｍ＋１上有界，则令Ｉ厂（石）Ｉ≤ｃ．所以厂（菇）在（口。＋∞）上有界，即Ｉ厂（髫）ｌ≤ｍａｘ｛ＩＡＩ＋１，Ｉ８Ｉ＋１，ｃ＿，于是以ｚ）的导数厂（戈）在（Ｄ。＋∞）上有界，所以八茹）在（口．＋∞）上一致连续．注定理１．１．３中的（口．＋∞）变成口，＋∞），（一∞，６，（一∞，６）或是（一∞．＋∞），命题仍然成立．推论１．１－ｌ函数厂（石）在有限开区间（口，６）上有连续的导函数厂（戈），若厂（戈）是（口，６）上的一致连续函数，则以菇