函数解答题构造函数证明不等式3篇

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函数解答题构造函数证明不等式3篇【导读】这篇文档“函数解答题构造函数证明不等式3篇”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理,希望这篇范文对您有所帮助,喜欢就下载吧!函数解答题构造函数证明不等式1函数解答题-构造函数证明不等式例1(2013年高考北京卷(理))设L为曲线在点(1,0)处的切线.x(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.答案解:(I)设则所以所以L的方程为2xx令则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于满足且2当时所以故g(x)单调递减;当时,x所以故g(x)单调递增.所以所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.又解即变形为记则x所以当时在(0,1)上单调递减;当时在(1,+∞)上单调递增.所以例2(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知函数当时,2求证:1-(II)若恒成立,求实数a取值范围.答案解:(1)证明:要证x∈[0,1]时,(1+x)e-2x≥1-x,只需证明(1+x)ex≥(1-x)ex.-记h(x)=(1+x)ex-(1-x)ex,则h′(x)=x(ex-ex),当x∈(0,1)时,h′(x)>0,因此h(x)在[0,1]上是增函数,故h(x)≥h(0)=0.所以f(x)≥1-x,x∈[0,1].--要证x∈[0,1]时,(1+x)e-2x1≤ex≥x+1.1+x记K(x)=ex-x-1,则K′(x)=ex-1,当x∈(0,1)时,K′(x)>0,因此K(x)在[0,1]上是增函数,故K(x)≥K(0)=0.所以f(x)≤,x∈[0,1].1+x1综上,1-x≤f(x)≤,x∈[0,1].1+x(2)(方法一)xax+1+-g(x)=(1+x)e--2xx3≥1-x-ax-1-2xcosx2xa+1++=-x2设G(x)=2cosx,则G′(x)=x-2sinx.记H(x)=x-2sinx,则H′(x)=1-2cosx,当x∈(0,1)时,H′(x)<0,于是G′(x)在[0,1]上是减函数,从而当x∈(0,1)时,G′(x)<G′(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数.于是G(x)≤G(0)=2.从而a+1+G(x)≤a+3,所以,当a≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立.下面证明,当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.1x3f(x)-g(x)≤1-ax-2xcosx21+x-xx3=ax--2xcosx21+x1x=-+xa2+-11x21记I(x)=+a+2cosx=+a+G(x),则I′(x)=+G′(x).当x∈(0,21+x1+x(1+x)1)时,I′(x)<0.故I(x)在[0,1]上是减函数,于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos1,a+3].因为当a>-3时,a+3>0,所以存在x0∈(0,1),使得I(x0)>0,此时f(x0)<g(x0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-∞,-3].(方法二)先证当x∈[0,1]时,1-x2≤cosx≤1-2.241记F(x)=cosx-1+x2,则F′(x)=-sinx+x.22记G(x)=-sinx+x,则G′(x)=-cosx+1,当x∈(0,1)时,G′(x)>0,于是G(x)在[0,1]上是增函数,因此当x∈(0,1)时,G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数,因此F(x)≥F(0)=0.所以当x∈[0,1]时,12≤cosx.同理可证,当x∈[0,1]时,cosx≤1-2.411综上,当x∈[0,1]时,1-x2≤cosx≤1-x2.24因为当x∈[0,1]时.xax+1+-g(x)=(1+x)e--2x1x31--x)-ax-1-=-(a+3)x.所以当a≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立.下面证明,当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.因为xax+1+-g(x)=(1+x)e--2x11x31--ax-+xx2x3=(a+3)x1+x2x-a+3),a+31所以存在x0∈(0,1)例如x0取中的较小值满足f(x0)<g(x0),即f(x)≥g(x)在[0,321]上不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-∞,-3].例3(2012高考辽宁文21)(本小题满分12分)设f(x)=lnx+x-1,证明:3(1)当x1时,f(x)(2)当1x+5答案解:(1)(证法一)记g(x)=lnx+x-1-2(x-1).则当x1时,113g′(x)=x2,g(x)在(1,+∞)上单调递减.2x又g(1)=0,有g(x)f(x)由均值不等式,当x1时,x令k(x)=lnx-x+1,则k(1)=0,k′(x)=x1由①②得,当x1时,-,由(1)得x+51154h′(x)=++xx+55454=+++-216x=+令g(x)=(x+5)3-216x,则当1-x+5(证法二)记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),则当1-92x-1)+(x+=2xx(x-1)+(x+5)(2+x)-18x]-+++22-=4xx2-32x+25)因此h(x)在(1,3)内单调递减,又h(1)=0,所以-.x+5例4(2012高考浙江文21)(本题满分15分)已知a∈R,函数(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,>0.答案解析(1)由题意得,当时,恒成立,此时f(x)的单调递增区间为当0时,此时函数f(x)的单调递增区间为,由于,当时,当时,设1,则则有所以当时,故例5(2012高考山东文22)(本小题满分13分)已知函数(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线在点ex(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设,其中为f(x)的导函数.证明:对任意答案,ex由已知,,由(I)知,设,则,即k(x)在上是减函数,xxx由知,当时,从而,当时,从而综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是由(II)可知,当时,<,故只需证明2在时成立.当时,ex>1,且,e设,,则,当时,,当时,,所以当时,F(x)取得最大值所以综上,对任意,构造可导函数证明函数不等式2构造可导函数证明不等式◎李思阳本溪市机电工程学校117022内容简要构造辅助函数,把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式。而如何构造一个可导函数,是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。关键词构造辅助函数;导数;不等式。一.直接作差1(2011·辽宁文科)设函数,曲线过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值;(2)证明:。(1)解:由已知条件得,,即解得。(2)证明:因为f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知。设,则。xx当0<x<1时,>0,当x>1时,<0。所以g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减。而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0,即。总结:直接作差,用导数得,从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。二.分离函数2.(2011·课标全国卷文科)已知函数处的切线方程为。(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0,且时,f(x)>(1)解:略,。,曲线在点(1,f(1))。,所以。(2)证明:由(1)知考虑函数(x>0),则x=。所以当时,<0,而当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得,故1h(x)>0;21h(x)>0。当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得lnx从而当x>0,且时,f(x)>。总结:作差后的函数如可分为两个函数的积,直接求导很繁,可取其中一个函数求导,再讨论证明。三.巧妙变形3.(2010·辽宁文科)已知函数。(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),。解:(1)略。(2)不妨设x1≥x2,由于,故f(x)在(0,+∞)减少。所以等价于-x2,即。令,则。于是xx。xx从而g(x)在(0,+∞)单调减少,故g(x1)≤g(x2)。即x2,故,对任意x1,x2∈(0,+∞),。总结:通过等价变形,构造函数g(x),利用g(x)的单调性得证。四.作函数积。exex1212证明:对任意的(0,﹢∞),>x2设函数,g(x)=x+。ee,,得,易知fmin(x)=f(2)=—2。eee4.(2011·本溪一中模拟)对任意的(0,﹢∞),求证:>,=0,得1,易知==。,∴fmin(x)>gmax(x),。ee2。因此>。总结:直接做不好做,不等式两边同乘以一个函数,先进行证明,得到结果后再同除以这个函数,从而证得。函数极限证明3函数极限证明记g(x)=lim^(1/n),n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。不妨设f1(x)趋于a;作ba=0,M1;那么存在N1,当xN1,有a/MN2时,0Ni时,0那么当xN,有(a/M)^n

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