数学教案教学设计（高中数学）

高中数学教案Seniorhighschoolmathematicsteachingplan人教A版数学选修2-2第一章第2节《导数与函数的最大值、最小值》教学设计湖北xx一中程某某___________________________________________________________教材分析本节在学习了用导数处理函数的单调性与极值的基础上，利用导数的方法来解决函数的最值问题，并利用导数的方法解决实际生活中的一些最优化问题。在讲授本课内容时，要让学生体会导数在处理最值问题中的特点。培养学生数形结合的数学思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想。学情分析函数的最大值、最小值问题在必修模块中已经有所涉及，主要是在函数和不等式等章节中体现。以前学习最值时要求比较低，学生掌握的方法比较局限。本节内容在学生掌握了用导数求函数的单调性和极值的基础上，用导数的方法来处理最值的问题，进一步处理一些实际生活中的最优化问题。从学生的知识准备上来讲，明确函数()yfx在区间[,]ab上存在最值，且最值是函数在此区间上的极值或者端点处的函数值。明确极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，由局部到整体，由旧的知识生发新的知识，从极值的概念自然过渡到最值的概念，并总结出函数()yfx在区间[,]ab上最值的求解步骤。基于学生的情况教师可以通过具体的问题让学生观察、归纳，进而发现结果。在用导数的方法求最值时，解方程、不等式也是本节的一个重要内容，应该引导学生养成良好的解题习惯。教学目标分析1。知识与技能：（1）理解函数最值的概念、最值与极值的关系；（2）掌握用导数的方法求函数的最值；（3）通过建立函数模型，掌握用求导的方法解决实际生活中的一些最优化问题。2。过程与方法：（1）体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、猜想、归纳、概括的能力；（2）从函数的图像出发，结合函数的单调性与函数的极值，发现函数()yfx在区间[,]ab上的最值与函数在该区间上的极值及区间端点函数值的关系，从而用导数的方法解决最值问题。体现了数形结合思想，特殊与一般思想，函数与方程思想，化归与转化思想。3。情感、态度、价值观(1)体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神；(2)让学生在用导数处理最值问题的过程中感悟数学的统一美，进一步培养学生的学习兴趣。教学重点与难点教学重点：会用导数的方法求函数的最值；能用导数知识解决简单的实际生活中的最优化问题。教学难点：极值与最值的区别与联系；实际问题的数学建模思想。教学方法启发式教学学法指导通过一系列的问题，让学生从已有的函数()yfx在区间[,]ab的极值（局部性质）过渡到函数()yfx在区间[,]ab的最值（整体性质）；同时让学生发现极值与最值的联系与区别，得出求函数在闭区间上的最值的方法。最后通过具体的问题巩固知识，应用知识。使学生通过观察，归纳，猜想的方法，通过合情推理，发现函数的最值的求法。在学习过程中，培养学生的数形结合思想，特殊与一般思想，函数与方程思想，化归与转化思想。教学流程设计[问题引入]在前面的学习中，我们学习了极值的概念，那么我们先看这样一个问题问题1：如图，比较函数1()fxxx的极大值与极小值的大小，并谈谈你对极值这一概念的理解。我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果0x是()fx的极大（小）值点，那么在点0x附近找不到比0()fx更大（或更小）的值。但是，在研究函数性质或者解决实际问题时，我们往往更关心函数的整体性质，即函数在区间上的最大值、最小值。[抽象概括]1．函数()yfx在区间上的最值函数()yfx在区间上的最大值点0x指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过0()fx。其中0()fx叫函数()yfx在这个区间上的最大值；函数()yfx在区间上的最小值点0x指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于0()fx。其中0()fx叫函数()yfx在这个区间上的最小值。函数的最大值和最小值统称为最值。问题2：函数1()fxxx在其定义域内是否有最值?在区间123[,]上呢?问题3：如果在区间[,]ab上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么它是否一定有最大值和最小值？如果有的话，最大值和最小值可能在什么地方取到？[实例分析]例1、求函数32()310yfxxx在区间[2,3]上的最大值与最小值。选题意图：通过具体问题练习求导数的方法，老师示范让学生明确解题的规范，养成良好的习惯。解：先求导数2()36fxxx令2()360fxxx，解得10x，22x。当x变化时，()fx及()fx的变化情况如下表：求函数在区间上的最值的步骤x-2（-2,0）0(0,2)3(2,3)3()fx+0-0+()fx-10↗极大值10↘极小值6↗10综上可知，当0x或2x时，函数取到最大值10；当2x时，函数取到最小值-10。变式1：求函数32()310yfxxx在区间13[,]上的最大值与最小值。（有一个极值点在区间外）变式2：求函数32()310yfxxx在区间34[,]上的最大值与最小值。（函数在区间上单调）[抽象概括]2．函数最值的求法：一般地，求函数()yfx在区间[,]ab上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数()yfx在(,)ab内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[及时巩固]1、函数3()12fxxx在区间[3,3]上的最大值是_____;最小值是______。2、函数32()362fxxxx在区间[1,1]上的最大值是______；最小值是______。答案：1、最大值16，最小值-16；2、最大值-2，最小值12。对于一些实际问题，我们常常要找到一个最优的方案，而最优的方案又往往可以转化为求函数的最值。例2、如图，一个无盖长方体容器，高为x，底面是边长为482x的正方形（单位：cm）。（1）试建立长方体的容积V与高x的函数关系式；（2）当高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？选题意图：通过具体的问题，让学生有将具体问题抽象为数学问题的能力，通过解决数学问题而完成实际问题的求解。解：（1）根据题意，V关于x的函数关系为2()(482)Vfxxx，024x（2）2()12384230412(8)(24)fxxxxx令()0fx，得18x，224x（舍）。当x变化时，()fx及()fx的变化情况如下表：x（0,8）8(8,24)()fx+0-()fx↗极大值8192↘()Vfx在8x时取到最大值8192，即当小正方形的连长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为38192cm。（2）由（1）知函数()Vfx在8x时取到最大值8192，即当小正方形的连长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为38192cm。注：解决优化问题的思路为:[课时小结]知识要点：1．函数()yfx在区间[,]ab上的极值与最值的关系；（1）“最值”是整体概念，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，具有相对性；（2）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个；（3）极值只能在区间内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值。2．如何求函数()yfx在区间[,]ab上的极值？3．用导数知识解决实际生活中的一些最优化问题。思想方法：（1）特殊与一般的思想；（2）数形结合的思想；（3）化归与转化的思想。[课后作业]69页，A组：2，4。