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马萨诸塞州技术学院电气工程与计算机科学系6.341：离散时间信号处理开放课程课件2006第7讲IIR,FIR滤波器结构———————————————————————————————————————阅读：Oppenheim，Schafer&Buck（OSB）中的6.1-6.5部分。———————————————————————————————————————信号流程图通常，线性时不变离散时间系统用线性常系数差分方程表示系统的输入输出关系特性，作为网络结构，一个差分方程可用方框图或信号流图表示。一个信号流图是连接节点的有向支路网络，除了几个符号上的差别以外，与我们已经熟悉的方框图相同。作为例子，OSB图6.8和6.9描述了信号流图的一般形式。在一个信号流图中，特定支路所携带的值与它的起始节点的值相同。信号流图中的节点表示变量，特定节点所携带的值是进入该节点所有支路之和。如果仅有一个流入支路，称这个节点是“支路点”，比“相加节点”更合适。有两种特殊类型节点：没有流入支路的源节点，表示外部信号源；仅有流入支路的汇节点，表示从一个流图中提取输出。这些都在OSB图6.11中相应地标示出来，信号流图与OSB中图6.10的一阶系统是对应的。按惯例，延迟成分已经用的支路增益表示。1−z表示一个LTI系统的信号流图不是唯一的。实际上，对于任意给定有理系统函数，有诸多等效差分方程和网络结构存在。实际实现中，当决定应用哪个网络结构时，需要考虑一些因素如乘法器和加法器的数量，结构的规律性和有限字长影响。IIR滤波器结构直接型（Ⅰ&Ⅱ）考虑下面差分方程和相对应的系统传递函数的一般形式：如果通过前馈部分和反馈部分的级联，画出上述N阶系统的信号流图，就得到如OSB图6.14所示的直接Ⅰ型结构。注意前馈部分决定传递函数的零点，而反馈部分给出了极点。对调前馈和反馈部分的顺序，并且合并延迟单元，得到了OSB图6.15所示的直接Ⅱ型结构。在实际实现中，因为延迟单元相对应物理存储器，直接Ⅱ型结构比直接Ⅰ型结构要求较少的状态存储器，但是，因为直接Ⅱ型结构在计算中需要更多的高速缓冲存储器，对于两种形式，全部存储器需求是相同的。转置形式利用信号流图，可以将一个给定系统变换成不同的网络结构并且保持相同的系统函数。其中这样的转换就是转置。转置定理1．颠倒所有支路的方向2.交换输入和输出对于单输入和单输出系统，颠倒流图后交换输入和输出节点，流程图与原来系统的传递函数一样。OSB例6.7和6.8，以及OSB中图6.24-6.30表示基本系统的转置。虽然传递函数仍然相同，但是不同网络结构代表不同算法，即在理想无限精度算法下是相等的。在有限精度算法下，本质上实现的结构决定产生的噪声，此噪声影响整个系统。级联型除了直接型例子中，直接从系统函数得到信号流图，也可以从系统传递函数的分母和分子得到一阶和二阶子系统：OSB图6.18是级联型的一个例子。这是一个六阶系统，其中每个二阶子系统用直接Ⅱ型实现的。并联型相等的，利用部分分式展开式，将传递函数表示和的形式，从而给出了并联结构：OSB中图6.20图示了一个六阶系统的级联型结构。更详细解释可阅读6.3部分。FIR滤波器结构FIR系统是IIR系统的特例，有直接、级联或并联型，FIR系统也另外有特殊形式。直接型可用下面差分方程表示因果FIR系统，其所有极点在原点处。这样，它的直接Ⅰ&Ⅱ型结构就变为OSB图6.31所示的流程图。这样一个结构通常被称为抽头延迟线滤波器结构或横向滤波器结构。此外，应用转置定理得到OSB图6.32所示的等效系统。注意，这些是非递归的，如，没有反馈。虽然如此，因为零极点可以相互抵消，FIR系统的结构没有必要总是非递归的。线性相位FIR系统的直接型结构在以前讲座中曾提到因果广义线性相位FIR系统满足下面对称（奇对称）条件，取决于系统类型：应用这个特殊特性，是否能进一步简化抽头延迟线性滤波器结构，以减少所需要的乘法器数量？答案是肯定的。考虑Ⅰ类系统，当传递函数偶数阶且对称的。重新写为：)(zH)(zH这个方程的实现如OSB中图6.34所示。相同的，可以推出Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ类系统。当阶数M是奇数时，OSB图6.35给出Ⅲ类的一个例子。格型滤波器我们以前讨论的是单输入-输出（SISO）系统，可以通过级联SISO直接型结构子系统实现。本部分将讨论另一种可能实现方法，称为格型滤波器，其中子系统具有特别形式的两端口LTI系统。根据滤波器类型的特殊规定，通过终止两端，将整个级联结构转换到所要求的SISO形式。全零点（FIR）格型滤波器FIR格型滤波器的基本两端口部分有如下的非递归蝶形信号流图结构：FIR格型滤波器格型结构的一部分对于整个系统，输入信号输入到第一级的两个输入端点，则输出从最后级的顶部支路引出：格型滤波器的一般形式系数称为格型结构的k参数，如果输入s[n]是单位脉冲，FIR滤波器的中间传递函数满足下列递归方程121,,,+pkkkK存在一些算法，即分析FIR格型滤波器，得到它的传递函数或者从给定的有理系统函数中建立FIR格型结构（例如计算参数k），这些将在本门课程的后面进行研究。全极点格型滤波器已知一个全零点格型滤波器的结构（曾在前面部分讨论过的），通过连续地颠倒每个格型部分，可以得到一个全极点格型滤波器。一个颠倒的格型部分信号流图是全极点滤波器格型结构的一部分假设输入信号在第p+1=M阶，输出在p=0，所有信号乘以比例，令且，则得到所希望的全极点滤波器：)(zAM)()(1zAzAMp=+1)(=zAo)()(0zAzAM。下图显示全极点格型滤波器的整个结构图。注意因为，最后格型部分的底部支路应该与顶部支路相连。1)(−=zzBo全极点格型滤波器如果且仅仅如果所有k参数幅值小于1，如对所有i，1ik，则全极点格型滤波器的一个重要特性是系统稳定。系数量化影响迄今为止，已经看到相同差分方程可用不同的实现方法，虽然理论上等效，但是每种实现在有限精度算法下特性是不同的。滤波器系数量化和信号量化可以引出数值问题。作为系数量化影响的例子，OSB图6.40示出了12阶椭圆型带通IIR滤波器，在系数未量化和量化下三种不同实现方法的频率响应。这里32位的浮点精度被当作“未量化”，16位量化系数在OSB表6.1和6.2中列出。阅读OSB6.7.2部分有关这个例子的详细分析。滤波器系数量化引起系统极点和零点偏移，因此使频率响应失真。下一组图比较了在不同实现形式和各种量化精度下，8阶带通滤波器的对数幅频响应和极零点图。注意采用直接型，当12或10位系数量化，一些极点移到单位圆的外面，使整个系统不稳定。下面的例子是一个8阶低通滤波器：