企业招聘中的建模分析

企业招聘中的建模分析市政与环境学院张清周手机：[e-mail]引言：在异常激烈的竞争中，许多公司为了获取竞争优势，都将人才看作是制胜的关键因素。而企业招聘正是发掘人才，开发人力资源的一个关键环节。每一个企业都渴望找到理想中的应聘者。但是面对络绎不绝的应聘者们，企业应该是选择还是拒绝，怎样才能以最大的可能找到理想中的人才呢？在这篇文章中我们运用数学中概率论的知识对企业招聘这一过程进行数学建模，得到企业选择的最优策略，最后对结果进行简单的讨论。关键词：企业招聘模型排列期望收益风险型决策动态决策的逆向递推模型假设：众所周知生活中涉及到选择的事情是很复杂的，把所有可能影响的因素都考虑到几乎是不可能的。为此我们先对现实进行简化，并做出一些合理的假设，考虑比较简单的一种情况。假设一个企业愿意在一段时间中和一位应聘者开始一段接触，并且在这段时间中有N个应聘者追求这所企业。说明：这里的N不是事先确定的，每个企业根据自身条件，并结合以往的经历和经验，猜测确定这个数字N。比如其它各方面都相同的两所企业，一般来说，综合实力强的企业就要比综合实力弱的企业N值相对要大一些。在适合这个企业的意义上，假设应聘者中任何两个应聘者都是可以比较的，而且没有相等的情况。这样我们对这N个应聘者从1到N进行编号，其中数字越大表示越适合这个企业。这样在这段时间中，企业的最合理人选就是应聘者N了。现在问题变成面对这N个应聘者应该以怎样的策略才能使得在第一次选择接受的应聘者就是N的可能性最大，注意到这N个应聘者是以不同的先后顺序来应聘这所企业的。为了将实际复杂的问题进行简化，我们做出下面几条合理的假设：1、N个应聘者以不同的先后顺序应聘这所企业，即在任一时刻不存在两个或两个以上的应聘者应聘这所企业的情况的发生，而且任何一种顺序都是完全等概率的。2、面对应聘者，企业只能做出接受和拒绝两种选择，不存在其它选择。3、任一时刻，企业最多只能和一位应聘者接触，不存在和其它应聘者接触的情况。4、已经被拒绝的应聘者不会再次选择这所企业。基于上述假设，我们想要找到这样一种策略，使得企业以最大的概率在第一次选择接受的那个应聘者就是人才。问题分析：先考虑最简单的一种策略，如果一旦有应聘者应聘这所企业，企业就选择接受。这种策略下显然企业以1/N的概率找到自己理想的应聘者。当N比较大的时候，这个概率就很小了，显然这种策略不是最优的。基于上面这些假设和模型，我们提出这样一种策略：对于最先应聘的M个应聘者，无论企业感觉如何都选择拒绝；以后遇到应聘者应聘这所企业的情况，只要这个应聘者的编号比前面M个应聘者的编号都大，即这个应聘者比前面M个应聘者更适合这所企业，那么企业选择接受，否则选择拒绝。下面将这个策略的最优性简证如下：1.作为“策略”，可以认为应该类似于算法，对于确定的输入有确定的输出。因此对第M号应聘者是否同意仅取决于之前M-1个人与该人的状况比较，以及M的大小；进一步地，显然与前M-1个人的好坏顺序无关（因为前M-1个人的顺序与第M个人及以后无关）。2.如果仅考虑选中N号，那么答应某个人的必要条件是此人比之前的都好（否则一定不是N号。3.综1、2，所有可能的策略都有相同形式：对于第K1,K2,...,Kt号人，如果比以前的都好，接受；如果不符合条件，拒绝。4.进一步，如果Km+1K(m+1),将Km替换为Km+1。简单计算可以发现，在这一步接受且选对的概率不变（始终是1/n前面拒绝的概率），但这一步接受的概率减小，后面接受且选对的概率相应增大（如果替换的是Kt，概率不变，但可以接着换K(t-1)使概率增大）。由此可以得出K1到Kt应该是连续整数且Kt=n下面以N=3为例说明：三个应聘者应聘这所企业，共有六种排列方式：123132213231312321如果企业采用上述最简单的策略，那么只有最后两种排列方式选择到理想中的应聘者，概率为2/3!=1/3。如果企业采用上面我们提出的策略，这里我们取M=1，即无论第一个应聘者是否优秀，企业都选择拒绝。然后对于之后的应聘者，只要他比第一个应聘者更适合，企业就选择接受，否则拒绝。基于这种策略，“132”、“213”、“231”这三种排列顺序下企业都会在第一次做出接受的选择时遇到“3”，这样我们就把这种概率增大到3/3!=1/2。现在我们的问题就归结为，对于一般的N，什么样的M才会使这种概率达到最大值呢？模型建立：在这一部分中，根据上面的模型假设，我们先找到对于给定的M和N(1MN)，企业选择到理想中的应聘者的概率的表达式。1到N个数字进行排列共有N!种可能。当数字N出现在第P位置（MP=N），如果使上述策略在第一次选择接受时遇到的是N，排列需要满足下面两个条件：1、N在第P位置。2、从M+1到P-1位置的数字要比前M位置的最大数字要小。运用数学中排列组合的知识，不难知道符合上面两个条件的排列共有11(2)!()!PNMPNPC种组合方式。这样对于给定的M和N，P可以从M+1到N变化，求和化简后得到给定M和N共有111(1)!(1)!(1)!/NNPNPMPMMPNPMNPC种序列符合要求。由此得到企业选择接受时遇到理想中的应聘者的概率为：11NPMMNP模型求解：这一部分中我们求解使这个表达式取得最大值时M的值。记函数1()NPMMfMP，且设自变量取值为M时，函数取得最大值。因此：111111()(1)10NNNPMPMPMMMfMfMPPP1111111()(1)10NNNPMPMPMMMfMfMPPP所以M应满足：111111NNPMPMPP我们知道，当0x，ln(1)xx；当0x时，ln(1)~xx。所以由左不等式：1111111ln(1)ln1NNPMPMNPPM得：1NNMee所以：当N比较大时，同理由右不等式可得M≈N/e，以上e为自然对数。若记[x]为不大于x的最大整数，由以上推导我们可猜测当M取[N/e]或[N/e]+1时，该表达式取得最大值。取N=100，用Matlab进行仿真得：当M=37时，企业选择接受时遇到理想中的应聘者的概率为：11NPMMNP=37.1%，即当企业拒绝37个应聘者之后，开始考率录取职员。仿真结果如下图所示：010203040506070809010000.050.10.150.20.250.30.350.4M=[N/e]M=[N/e]+1Mf(M)/N企业选择接受时遇到理想中的应聘者随M变化的概率结果分析：由上述分析可以得到如下结论：为了使一个企业以最大的概率在第一次选择接受应聘者时遇到的正是理想中的应聘者，企业应该采用以下的策略：拒绝前M=[N/e]或者[N/e]+1个应聘者，当其后的应聘者比前M个应聘者更适合则接受，否则拒绝。“打战的时候，很多士兵身先士卒，跑到前线勇往直前。通常来说，走在最前面的，都会给大炮打中（古代的大炮像象个球一样滚过来的）成为灰烬。而后来的士兵，就踏着炮灰走到胜利，所以成为别人利益的牺牲品的人就叫炮灰.。”--------百度上关于炮灰的解释。在本篇文章中介绍的“企业招聘模型”中，前M个应聘者就成了炮灰的角色，无论其有多么优秀，都会被拒绝。朋友，如果你应聘一个企业而遭到拒绝，看完这篇文章后你会突然发现，也许这不是你的的错，也许你真的很优秀，只是很不幸，你成了“炮灰”。再由本模型中所得的结论作一下推论：设企业招聘集中在每年的3月至6月份，在这段时间内将会遇到几乎全部的应聘者（之前之后的忽略不计），且应聘者均匀分布，设平均每月有'N个应聘者应聘该公司，则'3MeN，企业找到理想中的应聘者之前所花费的的时间'31.10MteN，则企业从31.104.10即4月份左右开始接受应聘者，这告诉我们，想找工作四月份找。在文章中我只考虑了N个应聘者应聘的先后顺序是完全随机的，并没有考虑相邻两次之间的时间间隔。如果把时间因素也考虑进去的话，在一个相对较短的时间中，可以近似的假设为齐次泊松过程，这样不仅可以得出企业应该选择上面的第M个应聘者的结论，而且找到应聘者表白的最佳时间在t=T/e时刻。例如如果取时间段为大四一年的话，则T/e=0.3679。也就是说，在大四一年里，应聘者应聘的最佳时刻在大四那年的10月份。那么，应聘者将采取什么样的措施才能使自己最有可能成为企业理想的应聘者呢？1、先设法知道企业在你之前的接触过的应聘者个数P；2、努力使企业相信[个人能力]max{[M.1][M.2]……[M.P]}；其中M.i表示企业在你之前的接触过的应聘者i的个人能力。3、努力证明P*eN（当然，没人知道N究竟是多少，N是企业自身确定的）；模型的评价及改进：1.N严格外生，如果一个企业不能较为准确估计N，将很难正确选出理想中的应者。2.实际上这里只讨论一种策略的最优，其他的删选也许值得考虑，而且可以进一步考虑企业与应聘者平等的模式（比如应聘者也是有策略地选择时机去应聘的）3.企业选应聘者的思路不一，我们来探讨另一种思路：我们把应聘者的实力划分为软实力和硬实力两种——就是勤劳、善良、忠诚和有钱有势有背景。企业一般先满足软实力后考虑硬实力。通过应聘时的观察和接触，很容易把勤劳、善良、忠诚的应聘者挑出来（这个就是等概率加评分系统了）。如果将来碰到比这个更好的，第一企业认为0.05p，理由：同一正态总体；第二，这种好事真让企业碰到了，就可以和以前的应聘者说拜拜了。解决好软实力问题，接下来可以来考虑硬实力。其实大多数有钱有势有背景的不论应聘者还是企业在理智的情况下都不会找一个和自己在这方面相差太悬殊的（我说“在理智的情况下”，因为其实我们都在用理论去诠释并解决一个感性问题）。这时假设碰到一个可以高攀的应聘者的概率为20%，该类应聘者的性格好坏呈正态分布，由于是纨绔子弟，该分布的均值要高，标准差要大得多。企业对该应聘者的性格的容忍度的置信区间（在x轴上的取值）要小得多，粗略估计正负10%。现在可以录取这种有硬实力的应聘者的概率仅为8%了。然后考虑未来对该应聘者的掌控程度（企业想让一个跟企业一样的应聘者不犯错误的能力和企业想让一个那么优秀的应聘者不跳槽所花费的功夫是不一样的）。我们对所有应聘者进行打分。分数越高为之付出的代价越大。（过程不交待了）。粗略估计，这是企业找到这样一个应聘者的概率小于0.05。风险太大了……故我们可以粗略的说，找到的那个对企业好、人品又好的应聘者就是最好的应聘者。问题是，不能只为最优解概率最大,因为很多时候需要选择次优解.本文讨论的策略可能使得许多时候无解,即企业找不到理想的应聘者。而实际上可供选择的策略很多,上面得到的只是一类策略中特定目标的最优解。模型需要改进,应该追求数学期望的最大值,并设定如果一直不选就只能选最后出现的那个,然后对所有可能的策略求最优解。否则这个策略可能会误导很多企业的。下面我们来对上一模型进行改进建立应聘者追求利益期望最大值的数学模型：设想某一应聘者在求职过程中得到了三个企业发给他的面试通知，为简单记，假设每个公司都有三个不同的空缺职位：一般的、好的、极好的，其工资分别为：a万元、b万元、c万元，估计能得到这些职位的概率分别为：()pa、()pb、()pc，且有()pd的概率得不到任何职位，显然，abc,()()()papbpc且()()()()1papbpcpd。由于每家公司都要求该应聘者在面试结束时表示接受或拒绝所提供的职位，那么应聘者应遵循什么策略来应答呢？极端的情况当然容易处理，如果有一家公司聘你担任极好的职位当然就不要再到下一家公司去面试了，而若一家公司不聘你，你必然要到下一家公司去面试，对于其它情况，做任何决定都是要冒风险的，一种办法就是采取使期望收益最大值的行动，将应聘者可用的数据列成表格：结果概率一般：a万元()pa好的：b万元()pb极好：c万元()pc没有工作：0()p