北大大气动力学基础课件第8章 中纬度天气系统的发生发展：稳定度理论

第8章中纬度天气系统的发生发展：稳定度理论均匀介质：基流为常数，层结为均匀层结非均匀介质：波动传播性质会发生变化。例如：反射、折射等波动不稳定()()()tkxizyνφϕ−=exp,ririiccicννν=+=+()()(),expitreyzikxtνϕφν=−波动不稳定若→,0Mic05年5月23日16：50—19：00山东蓬莱海市蜃楼§1大气长波的正压不稳定()0222=∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−+∇⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂xyuxyutϕβϕ水平切变：()()yyuuψψ==:()()tyxy,,ϕψψ+=()022=∂∂+∇+∇∂∂xJtψβψψψ,()()()02222=∂∂+∇+∇+∇+∇∂∂xJJJtϕβϕϕψϕϕψϕ,,,变系数偏微分方程§1大气长波的正压不稳定()0222=∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−+∇⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂xyuxyutϕβϕ1,0yyxϕ∂==∂2,0yyxϕ∂==∂()()tkxieyνφϕ−=⎪⎩⎪⎨⎧===⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′′−−−0021222φφβφyyycuukdyd,,β--平面通道本征值问题：---本征值---本征函数cϕ§1大气长波的正压不稳定021222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′′−−−∫dycuukdydyyφβφφ*02222222121=−∂∂−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫∫dycuyudykdydyyyyφβφφ()02222221=+−∂∂−∫dyccuyucyyiriφβ[]21220yyydyudsys‡‡,=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−β不稳定的第一必要条件（郭晓岚判据）：至少有一点满足：sy虚部：§1大气长波的正压不稳定()()dycuccuyudykdydyyriryy∫∫−+−∂∂−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛[phone]φβφφ实部：()dyccuyuudykdydyyiryy222222222121φβφφ∫∫+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+不稳定的第二必要条件（Fjortoft条件）：正相关与22yuu∂∂−β§1大气长波的正压不稳定Howard&Miles半圆定理（1961）：()()()minmax,,,,uuucuRRRcucir+==≤+−21222φuRicrc最不稳定波以基流的平均速度传播§2斜压不稳定()0=+∂∂qJtq,ψyzNfyxqβψψψ+∂∂+∂∂+∂∂=22220222200=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=zJztDzψψψ,,,021=∂∂=xyyyψ,,边界条件：在z=0,D,w=0.0,Nρ均被考虑为常数200ggNuvwtxyzfψ⎛⎞∂∂∂∂+++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠§2斜压不稳定()0=+∂∂qJtq,ψyzNfyxqβψψψ+∂∂+∂∂+∂∂=222202222()()zyzyuu,:,ψψ==纬向基流：00=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=zJztDzψψψ,,,021=∂∂=xyyyψ,,边界条件：在z=0,D,w=0.§2斜压不稳定0=∂∂∂∂+′⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂xyqqxutϕ0,,0=∂∂∂∂−∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂=xzuzxutDzϕϕ021=∂∂=xyyyϕ,,()(),,,,yzxyztψψϕ=[phone]zNfyxq∂∂+∂∂+∂∂=′ϕϕϕ22220zNfyuyq∂∂+∂∂−=ψβ()()zyzyuu,:,ψψ==纬向基流：§2斜压不稳定()()tiikxzyνφϕ−=exp,0122222022=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−−−∂∂+∂∂φφφyqcukzNfy()()021==yyφφ()00=∂∂−∂∂−=φφzuzcuDz,,§2斜压不稳定dyzucuNfdydzzqcudydzkyNfzyyDyyDyyD∫∫∫∫∫∂∂−+∂∂−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂+∂∂2121210222000222222021φφφφφ02121002222022=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−+∂∂−∫∫∫yyDyyDidyzucuNfdydzyqcucφφ虚部给出：§2斜压不稳定当上下边界处的风垂直切变为零时，不稳定的必要条件与正压类似：基流的位涡梯度的水平梯度在所考虑区域必须改变符号。当基流为纯正压时，化为郭晓岚条件：2102200021yyyDzyqdydzyqcussszyyyDs‡‡‡‡;,,,=∂∂=∂∂−∫∫φ[]21220yyydyudsys‡‡,=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−β§3斜压不稳定波(I):Eady波0≡∂∂−==yqyzDUzDUu,:ψEady(1949):1.f-平面，不考虑地球球面性；2.不考虑密度和N随高度的变化；3.基流只有垂直切变：()()0021222220=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−∫dycycUDyDUNfyy,,φφ此时，不稳定的必要条件化为：此积分不确定，决定于解;稳定性得不到保证。0222202222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂zNfyxxzDUtϕϕϕ()()()ikctikxyyyynz−−−=expsin121πφϕ0212222220=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−φπφyynkdzdNfzDUikikc()000=+−==+=φφφφDUdzdUcDzDUdzdcz,,,§3斜压不稳定波(I):Eady波()zBchzAshzααφ+=()2122222022⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+=yynllkfNπα,()()00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=+BDchDUDshcUADshDUDchcUBDUAcααααααα;利用上下边条件，得：A和B要有非零解，其系数行列式必为零：§3斜压不稳定波(I):Eady波39942.=cμcμμM§3斜压不稳定波(I):Eady波12tanhcoth22222UUcμμμμμ⎡⎤⎛⎞⎛⎞=±−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦临界波数：1。当,波动稳定。稳定波有两个模态。当波数很大时：2。当，波动不稳定。不稳定波波速22UUc±=cμμ‡2Ucr=Dμα=KmfNDkLklKmfNDkLlKmfNDKmDsfsNxx5500606212224000606212201000101010000402~.:~~.:~,~,/~,/~ππππ====→−−----Eady方波§3斜压不稳定波(I):Eady波2122221⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=μμμμμcothtanhicmax1.6062,iikckcμ=→=§3斜压不稳定波(I):Eady波()()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=ztUkxyyyynBeikctikxyyyynztikciσφππφϕ2211211cossinexpsinRe()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+=−zcUzzcUczzcUzzccUiiακαακσακαακφsinhcosh/sinhtan,sinhcoshsin22212222422222κUcr39942.=cμμUciμR60621.=cμ000DDD§4斜压不稳定波(II):两层模式斜压两层模式（Phillips模式）的分层示意图p=0mbp=250mbp=500mbp=750mbp=1000mb00=ω04=ω2ω1ψ3ψ()()00022=+∂∂∇⋅+∂∂∂∂∂∂=∂∂+∇∇⋅+∇∂∂ωσψψωψβψψfpVptpfxVtggˆˆ§4斜压不稳定波(II):两层模式ppppppppΔ−≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂Δ−=Δ−≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂Δ=Δ−≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂13222432021ψψψωϖωωωϖωω,()()()()()2031231202332202112,,ωσψψψψωψβψψωψβψψfpVtpfxVtpfxVtgggΔ=−∇⋅+−∂∂Δ−=∂∂+∇∇⋅+∇∂∂Δ=∂∂+∇∇⋅+∇∂∂ˆˆˆ§4斜压不稳定波(II):两层模式()()()txtxyUtxyU,,,,,22333111ωωϕψϕψ=+−=+−=()()20313131312032323201212122,,ωσϕϕϕϕωϕβϕωϕβϕfpxUUxUUtpfxxxUtpfxxxUtΔ=+∂∂−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂++∂∂Δ−=∂∂+∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂Δ=∂∂+∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂线性化小扰动方程：§4斜压不稳定波(II):两层模式()[]()[]()[].exp,exp,expctxikCctxikBctxikA−=−=−=231ωϕϕ()[]()[]()().;;000013023021=Δ−−+−−=Δ++−=Δ−+−CfpBUcikAUcikCpfBkUcikCpfAkUcikσββ()(),22122222δλλβ±++−=kkkUcm()()222444424224λλλβδ+−−≡kkkkUT色散关系：22023131,2,2pfUUUUUUTmΔ=−=+=σλ§4斜压不稳定波(II):两层模式0,0,221====ϖψψCBA正压模态：上下层扰动流场相等，500mb面的垂直速度为零。222022122022,,22,ψλβσϖψψλβσ+Δ−=−=+Δ−=−=kpfiBkpfiCBA斜压模态：上下层扰动流场位相相差180度，500mb垂直速度场比高层流场超前90度。1、基流为正压：0,0≠=β且TUa)21kUcmβ−=2222λβ+−=kUcmb)§4斜压不稳定波(II):两层模式2、基流斜压21222222⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−±=λλkkUUcTmλ2=ckckkM短波稳定；ckk‡长波不稳定，不稳定增长率为：21222222⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=kkkUkcTiλλmax,iikckck=−=1220λ,0,0=≠β且TUTiUkcλ2λ2k§4斜压不稳定波(II):两层模式()KmLKmkLhPapsfNsmccc4700300025001010221403321~.~,,/~,/~πσ==Δ×−−-------最不稳定波长-----临界波长§4斜压不稳定波(II):两层模式3、00≠≠TU,β()()()()22244442422122222242λλλβδδλλβ+−−≡±++−=kkkkUkkkUcTm,λ2=ck,ckkM稳定；(),,2144224kkUkkTc−λβ뇇稳定；否则，不稳定22222λλβ==kUUUTcTTc,,‡所有扰动均稳定UnstableStable222λk22λβ/TU北南θθΔ+20θθΔ+0zyABCDStableUnstable斜压不稳定机制：在斜压流体中的浮力引起的不稳定