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第六章β衰变β衰变:原子核自发地放射出β粒子或俘获一个轨道电子而发生的转变。放出电子的过程称为β-衰变；放出正电子的过程称为β＋衰变。原子核从核外的电子壳层中俘获一个轨道电子叫做轨道电子俘获。俘获K层电子，叫做K俘获。俘获L层电子，叫做L俘获。其余类推。由于K层电子最靠近原子核，因而一般K俘获的概率最大。半衰期:10-2s~1018a发射出粒子的能量最大为几个MeV在全部周期表的范围内都存在β放射性核素22422224222222,;11131;(1)242vcmcvpcmcEpcmcpcvTEmcmvmvEcβββββ==−=+=−==−=++⋅⋅⋅⎯⎯⎯→相对论动力学：§6.1β能谱的特点1．β谱的连续性β衰变时放射出来的β射线，其强度随能量的变化为一连续分布。β粒子的动能2e2/142e222e)(cmcmpccmET−+=−=由ρeBp=(对高速问题也成立)得2e2/142e222])([cmcmBecT−+=ρ如果T用keV做单位，Bρ用T·m做单位，则}1]1)(108.3441{[00.5112/122−+×=ρBT式中511.00是用keV做单位的电子静止能量。实验：（1）β粒子的能量是连续分布的；（2）有一确定的最大能量Em；（3）曲线有一极大值，即在某一能量处，强度最大。2.β衰变与能量守恒定律的“矛盾”实验上发现的β能谱是连续分布的，而且无数实验表明，最大能量Em正好等于衰变能。如果是两体衰变β+→YX，由于Yemm，应有dET≅β，能量是确定的§6.2中微子1．中微子假说泡利的中微子假说告诉我们：原子核在β衰变过程中，不仅放出一个β粒子，还放出一个不带电的中性粒子，它的质量小得几乎为零，所以叫做中微子，用符号ν表示。pβ+pν+pR=0，νβνβTTTTTE+≅++=RdTβ，可在0—Ed之间变化。（1）β粒子和反冲核的动量大小相等方向相反，即pβ=-pR。显然，这时pν＝0。于是2R2eR2R2RR2)2(22cmTcmTmPmPTβββ+===ββββββTmmcmTTcmTcmTTE≈++=++=)21(2)2(Re2R2R2ed即此时β粒子的动能大约等于衰变能。（2）中微子和反冲核的动量大小相等方向相反，即pν=-pR。显然，这时pβ=0，所以Tβ=0。对于一般情况，β粒子的动能介于上述两种极端情况之间，而得到Tβ=0至Em的连续分布。怎么分布2.中微子的性质根据实验和理论考虑，可以得出中微子的一些基本性质。（1）静止质量mν近期的实验表明，电中微子静止能量的上限为3eV，在β衰变理论中，可近似地看成为零。因此，它的速度与光速相同，能量Eν与动量pν之间的关系为ννcpE=中微子质量是否为0，是理论和实验上有重大意义的问题。(2)电荷q=0（3）自旋Iν=12β衰变中母子核的质量数不变，则母子核的自旋必同为半整数或整数。由于β粒子（即普通的电子或正电子）的自旋为12，为保持角动量守恒，中微子的自旋必为半整数，而且实验表明，只能是12。例如下列衰变νβ++→+*1414NO自旋：001/2按角动量守恒和β谱形分析，中微子的自旋Iν只能为1/2。（4）遵从费米统计β衰变中，母、子核的质量数不变，则母核和子核的统计性相同。因电子是费米子，为保持统计性守恒，中微子必为费米子。（5）磁矩μν实验没有测得中微子的磁矩，其上限不超过1.5x10-10μB。（6）螺旋性（helicity）H＝±1螺旋性的定义如下：σpσP=Η式中p和σ分别表示粒子的动量和自旋。理论和实验表明，中微子的螺旋性H＝±1。所以，中微子有两种螺旋性。H＝＋1者称为反中微子，用符号ν表示，其自旋方向与运动方向相同，即属于右旋粒子（运动方向与右手螺丝相同）；H=-1者就称为中微子，用ν表示，其自旋方向与运动方向相反，即属于左旋粒子（运动方向与左手螺丝相同）。ν和ν互为粒子和反粒子。实验证明，−β衰变放出的是反中微子ν,+β衰变和轨道电子俘获过程放出的是中微子ν。•3.实验证明+ν+pn+e→+e+n→p+ν2γ→e+e_+§6.3β衰变的三种类型及其衰变能将中微子考虑在内，β衰变的三种类型可以用下列式子表示。−β衰变:ν++→−+eYXA1ZAZ+β衰变:ν++→+−eYXA1ZAZ轨道电子俘获:ν+→+−−YeXA1ZAZ其中X和Y分别表示母核和子核或相应的核素。β衰变的本质在于衰变过程中原子核中的一个中子转变成质子，或者是一个质子转变成中子。用式子作如下表示。对于−β衰变:ν++→−epn对于+β衰变:ν++→+enp对于轨道电子俘获:ν+→+−nep1．β一衰变a)自由中子衰变222782.0511.0280.938573.939)(cmcmcmmmmEepnepndeυυυυ−=−−−=−−−=++→−又υυTTTTTEeepd+≅++=实验测得MeV013.0782.0max±=eT，所以，MeV013.02≤cmυ。b)核衰变用mX，mY和me分别代表母核，子核和电子的静止质量。考虑中微子的静止质量为零，−β衰变的衰变能2eYXd]),1(),([)(cmAZmAZmE−+−=−β若以原子质量MX、MY表示，并且忽略电子在原子中结合能的差异，那么2eeYeXd])1(),1(),([)(cmmZAZMZmAZME−+++−−=−β2YX)],1(),([cAZMAZM+−=只有YXMM才能发生−β衰变。2．β＋衰变2eYXd]),1(),([)(cmAZmAZmE−−−=+β用原子质量来表示，并且忽略电子在原子中结合能的差异，则2eeYeXd])1(),1(),([)(cmmZAZMZmAZME−−+−−−=+β2eYX]2),1(),([cmAZMAZM−−−=只有eYX2mMM−才能发生+β衰变。3．轨道电子俘获（通常用EC或ε表示）2Y2eXd)],1(),([)(cAZmcwmAZmiEi−−−+=用原子质量来表示，并且忽略电子在原子中结合能的差异，则iWcmZAZMmZmAZMiE−−+−−+−=2eYeeXd])1(),1(),([)(iWcAZMAZM−−−=2YX)],1(),([只有2YX/cWMMi−才能发生第i层的轨道电子俘获。轨道电子俘获过程所形成的子核原子，它的内层电子缺少了一个。例如K俘获情形，K层电子少了一个，子核原子处于不稳定的激发状态，于是邻近的L层电子就会跳到K层来填充K层电子的空位，这样，就会发射出特征X射线，LKWWh−=ν当一个L电子跳到K层来填充空位时，可以不发射X射线，而把能量交给另一个L电子，于是这个L电子就会克服结合能而飞出，这种电子叫做俄歇电子。这样，俄歇电子的动能为LKLe2−=−=ν由于2mec2Wi，能发生+β衰变的原子核可以发生轨道电子俘获。反之，能发生轨道电子俘获的原子核不一定能发生+β衰变。这主要是由能量条件来决定的。原则上，当能量满足+β衰变的条件时，轨道电子俘获和+β衰变可同时有一定的概率发生。例：1.22s75.2υNeO4.2d14.2υeTeIs2.726.3υeMgAla101.229.0υeRuTes3838.4υeNaNe)(151512412425255999923232/1+→+++→++→×++→++→−++−−TMeVEd4.双β衰变原子核自发地放出两个电子或两个正电子，或发射一个正电子同时又俘获一个轨道电子，或俘获两个轨道电子的过程。双β衰变的实验测量，可以用来鉴别中微子有无正反之分，和中微子是否具有静止质量。§6.4衰变纲图§6.5β衰变的费米理论1934年费米（E.Fermi）基于中微子假说和实验事实建立了β衰变理论。1．费米理论的基本思想β衰变的本质：np↔量子态跃迁在跃迁过程中，放出电子和中微子。电子-中微子场与原子核的相互作用——弱相互作用。2．β衰变概率公式下面来推导β衰变的概率公式。严格的理论需要场论，这里仅仅是一个示意的推导。根据量子力学的微扰论，单位时间发射一动量在p到p＋dp间β粒子的概率可表示为EnHppIddd2d)(2i*f∫=τψψπh显然，衰变常数∫=mpdppI0)(λ注：H不显含时间Ψi＝uI；Ψf=ufφβφν；Endd为单位能量间隔的终态数目；H为β相互作用算符。在费米理论中，简单地假定H等于常量g。与电磁场的相互作用常量e相类比，g是描写电子-中微子场与核子的相互作用常量，这是一种弱相互作，因此称g为弱相互作用常量。EnuugppIvddd2d)(2i***f2∫=τφφπβh假定发射出来的β粒子、中微子与子核间的作用很弱，则可以近似地把β粒子和中微子看作自由粒子，并以平面波来描写它们，即)exp(2/1*rk⋅−=−ββφiV)exp(2/1*rk⋅−=−ννφiV式中V是归一化体积，kβ和kν分别是β粒子和中微子的波矢量。EnMVgppIdd2=d)(2if22hπ其中Mif＝∫−∗(exp[ifiuukβ＋kν)r]dτ称为跃迁矩阵元。终态数目为β粒子和中微子的状态数的乘积。至于β粒子，按照量子统计理论，体积V中动量在p到p＋dp之间的状态数dnβ=Vpp32)2(d4hππ同样，中微子的状态数dnν=Vpp32)2(d4hππνν所以，终态密度为2642226222d4ddd)2(dd16dddddVEppppVEppppEnnEnhhπππνννννβ===β粒子与中微子的能量之和等于β粒子的最大能量Em，即E＋Eν＝EmEm对某一确定的β衰变是一常量，则dE=-dEν若中微子的静止质量mν=0，有Eν=cpν，dEν=cdpν，所以有vpcEdd−=cEEpv/)(m−=中微子动量增加时，β粒子能量减少。23642m24d)(ddVcpEEpEnhπ−=注：三个粒子，两个可以自由选择动量因此，ppEEcMgppId)(2d)(22m3732if2−=hπ这就是β衰变的概率公式。它表示单位时间发射动量在p到p＋dp之间的β粒子相对数目随动量的分布。由于跃迁矩阵元Mif一般随β粒子能量的变化不甚剧烈，对有些跃迁，Mif实际是常量。所以β粒子的动量分布取决于统计因子(Em-E)2p2。考虑了库仑场的影响之后，应乘上一个改正因子F(Z，E)。它是子核电荷数Z和β粒子能量E的函数。通常称它为费米函数，或叫库仑改正因子。对费米函数的计算，一般相当复杂，应用时有现成的函数表或图可查。如果Z值比较小，F（Z，E）在非相对论近似中可用一简单函数来表示：xexEZF−−=1),(其中υπ1372Zcx±=，对−β衰变取正号，对β＋衰变取负号；υ为β粒子的速度。考虑了库仑改正因子，β粒子动量分布的最后表达式为ppEEEZFcMgppId))(,(2d)(22m7332if2−=hπEnHppIddd2d)(2i*f∫=τψψπhppEEEZFcMgppId))(,(2d)(22m7332if2−=hπ∫−∗(exp[ifiuukβ＋kν)r]dτMif＝§6.6跃迁分类和选择定则1．跃迁分类根据跃迁矩阵元ifM的大小，可以将β跃迁进行分类。exp[-i(kβ＋kν)r]=1-i(kβ＋kν)r-!21[(kβ＋kν)r]2+…注：rkk和||υβ+=k为轻子对相对于原子核运动波矢和相对位置矢量。由。得-1fm1/20~kMeV,10~kcpch=k比1小很多。我们也可以利用平面波展成球面波的公式得到同样的结论。exp[-i(kβ＋kν)r]=∑∞=−+0))(12(llljil[|(kβ＋kν)||r|]Pl(cosθ)式中jl[|kβ＋kν||r|]是球贝塞尔函数，Pl(cosθ)是勒让特多项式。因|kβ＋kν||r|1，则有jl[|kβ＋kν||r|]≈[|kβ＋kν||r|]l/(2l+1)!!其中(21＋1)!!=1×3×5×…×(2l+1)。于是式成为exp[-i(kβ＋kν)r]=∑∞=+−+0!)!12())(12(lllil[|(kβ＋kν)||r|]lPl(cosθ)即得级数的第一项（l＝0）对跃迁概率的贡献最大，随