北大力学课件03机械能定理

第三章机械能定理1§3.1动能定理3.1.1功与功率abFld力的空间累积量：功元功dzFdyFdxFFdlFFdlFldFdWzyx//////)(切//FF变力沿曲线作功2质点从a到b的运动过程中，力F所作的功baldFW在SI中，功的单位是N·m(牛·米)，又称J(焦[耳])，即有J=N·m。abFld//FF3重力功mghzzmgmgdzldgmWabbaba)()(z平面xyabazbzPldgmO重力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关，与经过的路径无关。4弹力功OaxbxFkxFxxx+dxk)(21)(22baxxxxxxxxxkdxkxdxFldFWbababa弹力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关，与其间经过的路径无关。5质点在运动过程中受多个力作用时分力作功之和等于合力作功WldFldFldFldFWbabaiibaiiibaiii)(6一对作用力与反作用力：),(21FFOS系1r2r21rP1P21F2F21212212222122211)()()(rdFrrdFrdrdFrdFrdFrdFrdFdW在所有相对平动的参考系中，两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同（受牛顿第三定律径向力约束）在任意参考系中，两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同7万有引力功abFrddrrMmGrdrrMmGrdrrMmGldFdW2//33rrMmGF3Mdrrd//rmM系abrrGMmW11与路径无关8二体径向位力功rrrFF)(rdrrdr弹力和万有引力都是径向力库仑力功barrdrrFW)(rrQqkF3barrkQqW119功率vFdtldFdtldFdtdWP功率P：力在单位时间内所作的功：dtdWP设F作用的对象在dt时间的位移量为dlvFP在SI中，功率单位特称W（瓦[特]），即有W=J/s103.1.2质点动能定理abFldF任一惯性系S中，合力F对质点所作元功dlFldFdW//牛顿第二定律的切向分量式dtdvmmaF////代入得221mvdmvdvdtdlmdvdldtdvmdW221mvdmvdvvdvmdtldvmdlddtvdmdW//F11在S系中定义质点的动能：221mvEk质点动能定理合力对质点作的功等于质点动能的增加量微分式kdEdW积分式kEW非惯性系中引入惯性力作功量，它与真实力作功量之和也等于质点在非惯性系中动能的增量。kdEdWdW惯123.1.3质点系动能定理质点系在某惯性系的动能ikikEE质点系动能定理：kEWW外内非惯性系中引入各质点所受惯性力作功之和W惯，也可有相应的“质点系动能定理”kE外内惯内力是否作功?13例1hlmAFv0hlAv0O试求F的功率lhlFvFvvFP22000cosmmamgTF0222dtdldtldarsin0vdtdl22dtldam?PA点以v0匀速水平运动14mmamgTF0vFP解法二tanhx求导20coshvcoshl求导sincossin02vhlmahvvl3200coscoshlAv0O15例2长L、质量M的平板放在光滑水平面上，质量m的小木块以水平初速v0滑入平板上表面，两者间摩擦系数为，试求小木块恰好未能滑离平板上表面的条件。mv0M,L小木块运动到平板右端时与平板速度相同0)(mvvmM过程中m与M间一对摩擦力作功mgLW地面惯性系中动能定理2021221)(mvvmMWgLMmMv220解法一16在随木板运动的非惯性系中木块以初速v0滑入，最后静止在木板右端。在这个过程中，摩擦力和惯性力做功。平动加速度Mmga0木块所受惯性力MmgmFi动能定理2021mvmgLLMmgmMmMgLv220解法二17解法三当作两体问题处理木块以初速v0滑入，最后静止在木板右端。2021vmMMmmgLMmMgLv22018第三章作业A组4、7、8、9、1012、17、18、20、22、24B组26、29、33、3419§3.2保守力与势能3.2.1保守力力的冲量21tt“路线”唯一力作的功21rr“路线”不唯一从作功的角度，力可分为作功量与路径有关非保守力作功量与路径无关保守力摩擦力、空气阻力就是典型的非保守力自然界所有的基本力都是保守力203.2.2势能两点之间的可能路径ABPL1L2在任意位置上取一个“标准”点P从A到B保守力作的功APBPBPAPPBAPAB定义质点在S系的每一个位置的势能：参考点rpldFrE)(计算保守力所作的功21守恒的理念：动能的增加等于势能的减少pkEE势能零点的选择具有任意性，实际中常选F=0点为势能零点。任意点的势能等于将质点从该点移动到参考点保守力作的功参考点rpldFrE)(势能的减少=保守力作功=动能的增加22重力势能mghEp重心等势面：势能相等的点形成的曲面重力的等势面是一水平面23弹性势能221kxEp势能是保守力作功引起的，势能究竟“藏”在系统何处？力从哪里来？场--------引力场、电场、磁场、电磁场等等势能藏在场中场又从哪里来?Ox24二体势能OS系1r2r21rP1P21F2F两个质点的相互作用是一对保守性作用力和反作用力系统势能的定义：两个力的作功之和等于系统势能的减少量系统势能只依赖于两个质点的相对位置，且在所有参考系中都是相同的。对于两体系统，系统势能又称为二体势能25二体万有引力势能rMmGrErEpp)()(26二体库仑势能rQqkrEp)(273.2.3势能函数势能函数一般是空间的三元函数),,()(zyxErEEppp如何由势能函数求保守力?28一维情况)(xEEpp势能函数保守力F是x方向的)(,xFFiFFxxxdxFdExp势能与保守力有关系dxdEFpx29三维情况保守力F一般也是三元函数),,()(zyxFrFFdzFdyFdxFldFdEzyxp势能与保守力有关系势能的全微分公式dzzEdyyEdxxEdEpppp30kzEjyEixEFppp引入哈密顿算符kzjyixpEF31势能曲线一维势能函数对应的Ep-x曲线称为势能曲线；二维的称为势能曲面。例二体引力势能对应的势能曲线rMmGrEp)(Epr32思考题半径为R的光滑圆环绕竖直轴以0匀速转动，圆环上套一小球，试确定其稳定平衡点位置。0RO33例4均匀柱形弹性体：劲度系数k、自由长度L，质量m，求竖直悬挂时的伸长量和弹性势能。均匀柱形弹性体的性质：原长L中任意一段l的劲度系数klLkl受力F时，2)(21,,/LkELLllkFLpOx34对应原长x处dx段的劲度系数kdxLkdx受力mgLxL该小段的伸长量dxkmgLxLdl2总伸长量kmgdlLL2022内含弹性势能kgmdlkELdxp6)(2122022235§3.3机械能定理3.3.1机械能定理从力学的角度看，质点间的相互作用力或是保守性的，或是非保守性的。外力非保守性内力保守性内力质点系受力36惯性系中质点系动能定理：kE外内非保内保将保守性内力作功之和用它们的势能代替，动能定理可改写为)(pkEEWW外内非保质点系中各对保守性内力对应的势能之和Ep各对保守性内力作功之和W内保便等于Ep的减少量pEW内保非保守性内力作功之和W内非保，外力作功之和W外37定义质点系动能与内势能之和为质点系机械能pkEEE质点系机械能定理所有非保守内力作功与所有外力作功之和等于质点系机械能增加量EWW外内非保38质点系所受外力也可进一步分为保守性的和非保守性的。保守性的外力也有对应的外势能非惯性系中各质点所受保守性惯性力对应的势能之和Ep惯E外内非保惯非保其中惯ppkEEEE393.3.2机械能守恒定律动能由各质点速度确定，势能由系统自身几何位置和形状确定，速度和几何位形都是运动状态的表征，因此机械能是由系统运动状态确定的力学量。动能势能保守力作功机械能其它形式的能量非保守力作功除机械能外，还有许多其它形式的能量40机械能守恒定律为守恒量则若过程中恒有外内非保,0,0:EdWdW能量守恒定律这条定律支配着至今我们所知道的一切自然现象，没有发现这条定律有什么例外。41例6某惯性系中质量各为m，M的质点A，B。开始时相距l0，A静止，B沿连线向外以v0运动。在力F作用下，B作匀速运动。(1)试求A、B间距可达到的最大值lmax(2)此过程中变力F所作的功。mM0vABl0F先定性分析A、B的运动42选择合适的参考系随B运动的惯性系利用机械能守恒定律020max21lMmGmvlMmGmaxl利用机械能定理020max2021)(21lMmGMvlMmGvMmW另外一种情况mM0vABl0F43例7半径为R的匀质圆环形光滑细管放在光滑的水平面上，管内有两个相同质量的小球，它们的初速度相同，如图所示。求（1）两球相碰时离管道中心的距离。（2）从小球穿出缺口到相碰，管道水平经过的路程。OROR动量守恒机械能守恒44例9长L的匀质软绳绝大部分沿长度部分放在光滑水平桌面上，仅有很少一部分悬挂在桌面外。而后绳将从静止开始下滑。问绳能否达到图（b）状态？若否，绳滑下多长时会甩离桌边？LL分析物理过程（a）（b）（c）45利用机械能守恒定律2)()(212lglvL绳的水平方向动量llLLgvlLpx)(/)(时，存在极大值2/LlNLLl46§3.4碰撞将碰撞的物体模型化为质点宏观世界经常会发生物体间的碰撞碰撞的特点：碰撞时间一般很短，物体的动量有明显变化，碰撞力很大，常规力(如重力)与其相比提供的冲量可略碰撞的基本问题：已知碰撞前系统的运动状态，要求确定碰撞后系统的运动状态。碰撞现象普遍存在！47起跳和落地时的肌肉和筋腱足球、排球、体操等运动中，膝部要承受多达7-14倍的峰值体重483.1一维碰撞m1m22010vv20vm1m21v12vv碰撞前碰撞后碰撞前后动量守恒：2021012211vmvmvmvm为解v1，v2，还需建立补充方程49弹性碰撞碰撞前后系统动能不变（机械能守恒）2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)(,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv两个解：一解对应碰前状态，另一解对应碰后状态。具有相同对称性果对称性置具有下因因果对称关联:换21,标:50性质：碰撞前后相对速度大小不变201012vvvv特例1：21mm201vv102vv02012vmm且101vv（反弹）特例2：碰后交换速度51完全非弹性碰撞2120210121mmvmvmvv碰后质点1和2一起运动21vv碰后动能损失220102121)(21vvmmmmE