北大力学课件05质心 刚体

1第五章质心刚体25.1质心5.1.1质心质心运动定理质点系的总质量iimm每个质点的质量、位矢和受力：iiiFrm,,质点系所受合力mrmdtdmrmdtdamFFiiiiiiiiiii2222质点系的运动3质点系的质心(centerofmass)mrmriiic质心速度dtrdvcc质心加速度dtvdacc质心动量等于质点系的总动量iiicvmvm质心动能质心角动量221ckcmvEcccvmrL4质心运动定理camF合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。特殊的质点系——刚体5质心的性质①质心在整个物体的包络内②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。③几个物体的质心满足质心组合关系mrmrmrmmrmrCCBBAAiiic6例由两个质点构成的质点系的质心l1l2l1m2m质心位置满足杠杆关系llllmlm212211,lmlmmmllmlmmml2211212121,75.1.2质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。在质心系中质心静止0ccvr常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。8质点系的动量质点系的动量等于质心的动量cpp质点系相对质心的动量总是为零0iiivmp质点系中各质点mi相对质心的运动),(iivrmiOCirirCr在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系9质点系的动能icivvviiiiiiikvvmvmE21212iiiiiicciiiiiiciiccikvmvmvmvvvmvvmvvmE2221212121iiikckckkckvmEmvEEEE2221,21,资用能质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和柯尼希(König)定理10核反应中的资用能11质点系的角动量iciicivvvrrr,iiiivmrLiiiiciiiiiicciicvmrvrmvmrvmrLiiiiccccvmrLvmrLLLL,,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点miOCirirCr其中125.1.3质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ciam在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力平移惯性力与重力相似大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小方向沿着质心加速度的反向13质心系中质点系动能定理质心系中质点系动能定理的微分形式kdEdWdWdW惯外内0cciiiciicirmdarmdardamdW惯kdEdWdW外内质心系中质点系动能定理与惯性系完全相同，机械能定理也相同质心系中质心位置矢量为常量0crd0惯dW14质心系中质点系角动量定理dtLdMM惯外质心系中质点系角动量定理)()()(ccciiiiciiamrarmamrM惯选质心为参考点00惯MrcdtLdM外质心系中质点系角动量定理与惯性系完全相同15小结质点系的运动=质心的运动+相对质心的运动质心的运动代表了质点系整体的运动质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理相对质心的运动质心系中质点系动能定理质心系中质点系角动量定理质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和16例带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对小球A所做的功。ABm,q0m分析碰撞过程第一次碰撞用时qEmlaltmqEa22/1第k次碰撞用时112tkttk17{A，B}系统的质心加速度mqEac2在tk时间内质心位移221kcctasA球的位移lsscA21电场力对A所做的功qElkksqEWA)122()(218例质量同为m的两个小球，用长为2l的轻绳连接后静放在光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？m//vvFFT19在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力F作功利用动能定理2212mvFlmFlv在质心系中，只有力F作功20例线性引力假设质点间的万有引力是线性的：其中G*为假想的引力常量，r为两质点的间距。不考虑碰撞的可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。rmmGF21*质心系是惯性系，以质心为坐标原点。质心第i个质点),,(1iirrm质点系总质量m动力学方程组ijijjiiirrmmGrm)(*21iiCiijjijjjijijjiijijjiiirmmGrmmGrmmGrmmGrrmmGrrmmGrm****)(*)(*iirmGr*方程表明，第i个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。22第i个质点的初始运动状态确定一个平面第i个质点只能在此平面内运动动力学方程可分解为：iiiimyGymxGx*,*每个方程的解都是简谐运动，角频率都是mG*合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为mGT*223例长l、质量线密度为λ的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端下落高度为l/2时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳子完全伸直？（提示：可在质心系中分析）l/2l/4BAB端的速度质心速度质心离A点的位置B端相对质心的距离在质心系中，B端相对质心速度不变绳子伸直所用时间glvBglvC41lrA167lrBC161glt12724力学期中考试时间：4月24日上午10：10-12：00地点：理教113考试时间：1：50255.2刚体定轴转动5.2.1运动学描述刚体的运动总是可以分解为：平动+转动刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。刚体的定轴转动只有一个自由度26xyziriziR刚体中每一个点部位都在做圆周运动参考点选在转轴上iiizRr每一个点部位圆运动的角速度和角加速度是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。第i个点部位,2iiiiiiRaRaRv切心275.2.2动力学量转动惯量动量——刚体作定轴转动时的动量=质心动量。动能iiiiiikRmvmE222121iiikRmIIE22,21刚体相对某转轴的转动惯量I，由刚体质量分布和转轴位置确定VdmrI2V：刚体的质量分布区域r：质元dm到转轴的距离28xyziriziR选取转轴上的O点为参考点刚体定轴转动时的角动量iiiiiiiiiiiivmzvmRvmrL)()()(IRmRLiiiiz)(ILz刚体的定轴转动与质点的直线运动相似mIx,都是一维运动29例质量m、长l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位于一端，求细杆的转动惯量。(a)转轴位于质心(b)转轴位于一端mldxdm22/022/0212122mlmldxxdmxIllc2020231mlmldxxdmxIllAO2/lx30例圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转动惯量圆环20mRI匀质圆盘Rrdrr2022020212mRmRrdrrdmrIRR31关于计算转动惯量的定理CiRd)(CRiMNPQ取两个互相平行、间距为d的转轴其中一个转轴通过刚体质心CdCRRii)(22)(2)()(2)()(mddCRmCRmddmdCRmCRCRmRRmIiiiiiiiiiiiiiiiiiiiMN平行轴定理2mdIICMNim推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小32xixyiyirzim222iiiryx对于平板刚体iiiiiiiiiyxrmxmymII222垂直轴定理zyxIII33例由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理绕任意固定轴MN转动的刚体的动能221MNkIE此轴到刚体质心的距离d刚体相对质心的转动角速度为刚体相对质心的动能2'21ckIE刚体质心的速度dvc质心动能2222121mdmvEckc柯尼希定理kkckEEE2mdIICMN34例质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量，a2/b2/b1O2OO量纲分析23221mbmabmaIO其中的系数待定边长a和b互换，转动惯量不变23221mamabmbIO)()(223221baba3135mabbamIO2221应用平行轴定理2242222121bambamIIOOmabmbmabmIIOO2212122116144221比较系数2211211614012121a2/b2/b1O2OO36例质量m、半径为R的匀质薄球壳，求其以直径为转轴的转动惯量。xixyiyzimiziiiiziiiiyiiiixyxmIxzmIzymI)()()(22222222222)(2mRzyxmIIIiiiiizyxIIIIzyx232mRI匀质球体252mRI375.2.3动力学规律刚体定轴转动的动力学规律质心运动定理转动定理动能定理camF合外221,IEEWkk外dtdLMzz外选取z轴与刚体转轴重合IM38蛙式打夯机蛙式打夯机是目前使用最广泛的夯机，它具有操作方便、结构简单、经久耐用、夯实效果好、易维修、价格低等优点。适用于建筑、水利、筑路等上方工程中素土、灰土的夯实作业。39茹可夫斯基凳40例质量m、长l的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求（1）杆的旋转角速度和角加速度；（2）转轴对杆的支持力。O1N2N机械能守恒2231,21sin2mlIIlmgOOsin3lgcos23lgdddtddddtd角动量定理OIlmgcos241轴对杆的作用力质心运动定理2,sin21lamamgNcc心心sin251mgN切向2,cos2lamaNmgcc切切cos412mgN径向O1N2Nmg42例滑轮的质量M，半径为R。滑轮与轴无摩擦，与绳有摩擦、无滑动。求物块的加速度和摩擦因数的取值范围？m1m21T2TaadRdN)(TdTT21mm210ln1TT43可能的运动必是m1下降