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量子力学第一章经典物理学的失效经典物理学的成就牛顿力学-支配天体和力学对象的运动；杨氏衍射实验-确定了光的波动性；Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在牢固的基础上；统计力学的建立。而一旦深入到分子、原子领域，一些实验事实就与经典理论发生矛盾或者无法理解。（1）为什么原子不坍塌；（2）光谱线为什么是分立的；（3）纳蒸汽为什么会发射黄光，即有标志谱（4）为什么重核会发生α衰变。存在与经典物理学的概念完全不相容的崭新的实验事实a.辐射的微粒性；b.物质粒子的波动性；c.物理量的“量子化”，即测量值取分立值或某些确定值。建立新的规律据此建立起的新的完全不同于经典物理学的量子力学（量子物理学）规律已深入到物理学的各个领域，并正成功地应用于天体、化学、生命、地球和制药等其他领域，成为有力的理论工具，解决经典理论范围内无法解决的问题。经典物理学的描述仅是一个近似α衰变量子物理学不仅支配微观世界，同样也支配宏观世界的运动磁通量量子化磁通量量子化将一个用长0.8厘米，截面直径为厘米的铜线做成的外面镀锡（锡的临界温度为3.8）的环置于外磁场中。实验发现，当时，磁场被排斥在环外（meissner效应），而陷于环中的磁通量是量子化的。31033.1−⋅K°cTTne2c2Oπ=Φ215102ec米忒斯拉⋅⋅=−Oπ学习量子力学，其困难在于我们在接受它时：A.发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯或概念不一致；B.量子力学中的新概念不是直观的；C.处理问题时，与经典物理学在手法上截然不同。它的重要性在状态，算符和演化所以，我们强调a.掌握实验事实及它给我们的启示，不直接与主观经验联系，不先入为主；b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概念的依据和特点，新在什么地方，如何理解；c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法以及处理它们的思路和步骤。为什么我们要学习量子力学事实上，在过去几十年里，基本科学有很大的发展。如天体物理，宇宙学，量子光学，凝聚态物质化学，材料科学。又如器件的制成：晶体管，激光器，磁共振成像仪，扫描隧穿显微镜，等等使得量子力学成为现代文明发展的基石。铀原子扫描隧穿显微镜扫描电子显微镜量子物理学已成为进入科学和技术前沿问题研究的不可或缺的基础。所以，有很多理由表明，一个大学生应该了解量子物理对于专业物理学者必须要掌握得更多经典物理学的失效§1.1辐射的微粒性（1）黑体辐射所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G.Kirchhoff（基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领与吸收率之比是一个与组成该物体的物质无关的普适函数，)T,(Eν)T,(Aν（与组成物体物质无关）。辐射本领：单位时间内，从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，称为辐射本领，以表示。可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为(单位为)E(,T)A(,T)f(,T)νν=ν)T,(EνcE(,T)u(,T)4ν=ν)T,(uν秒米焦耳3)T,(fν吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领因此，若把黑体辐射本领研究清楚了，也就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以来表征辐射本领。BE(,T)f(,T)ν=ν)T,(fνE(,T)λλλννννddd)T,(Ed)T,(E∫∫=∫=λλνdc)T,(E2==∫λλλνddcd)T,(E)T,(Ec)T,(Eνν=λ2秒米焦耳⋅3A.黑体的辐射本领实验测得黑体辐射本领与的变化关系)T,(Eλλ在理论上①维恩（Wein）根据热力学第二定律及一模型可得出辐射本领②瑞利―金斯（Rayleigh-Jeans）根据电动力学及统计力学严格导出辐射本领（k为Boltzmann常数：）2CcT415CE(,T)ce−⋅λλ=λ231.3810K−⋅焦耳42cE(,T)kTπλ=λ对于瑞利-金斯的，仅当波长足够长，温度足够高时符合。而在很小，即很高时，趋于无穷。这即紫外灾难。而维恩的在低波长时符合，高波长时不符合。所以，这两个公式并不完全符合实验结果，但理论给出的结论是肯定的。RJE(,T)−λνλwE(,T)λλB．斯特藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Beltzmannlaw）他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位面积上发射的能量）是与绝对温度成正比（事实上，）显然，维恩或瑞利－金斯公式都得不出这样的结果。4T4E(,T)dTλλ=σ∫54482322k5.6710Ksm15hc−πσ==⋅⋅⋅o焦耳C．维恩位移定律维恩发现，对于一确定的，相应地有一波长，使达极大，而。即这一定律也是无法用维恩或瑞利－金斯公式给出回答。0T)T,(E00λ0λ00Tλ=常数2001122TTT0.289810K−λ=λ=λ==⋅⋅L米总之，在用经典物理学去解释与黑体的辐射本领相关的实验规律时，是完全失效了。（2）固体低温比定容热容：根据经典理论，如一分子有个原子，则一克分子固体中有个自由度（为阿伏伽德罗数，）固体比定容热容：（R为气体常数）n0nN30N克分子2310022.6⋅v0C3nNk3nR==R8.314K=焦耳克分子实验发现，对单原子固体，在室温下符合，但在低温下，其比定容热容是以。因而理论与实验结果不符合。3T0→如何解决这些问题呢？普朗克（Planck,1900）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量显示，即能量模式是不连续的。（，）辐射的平均能量的计算在能量范围内，经典的能量分布概率为（玻尔兹曼概率分布）所以对于连续分布的辐射平均能量为nhnν=ωh/,2,1,0n=34h6.62610−=⋅⋅焦耳秒34h1.0545102−==⋅⋅πh焦耳秒dEEE+−EkTEkT0edEedE∞−−∫而按Planck假设，能量分布概率则为∫∫∞−−∞=0kTEkTE0dEedEeEEEkTEkTEkT000kTEeedEedE∞∞∞−−−⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∫∫kT=∑∞=−−0nkTnhkTnheeνν∑∑∞=−−∞==0nkTnhkTnh0neenhEννν∑∑∞=−∞=−−=0nnx0nnxeedxdhν1x1x)e1()e1(dxdh−−−−−−−=νhkTh(e1)ν=ν−于是，用电动力学和统计力学导出的公式（Rayleigh–Jeans）应改为这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。kTc2)T,(E4λπλ=2hckT52hcE(,T)(e1)λπλ=−λ①当（高频区）Wein公式当（低频区）Rayleigh–Jeans公式kThcλ2hckT52hcE(,T)e−λπλ→λkThcλ42cE(,T)kTπλ→λ②Stefan-Boltznmannlaw∫=λλd)T,(E)T(Rλλπλd)1e(hc21kThc52−−−=∫dx)1e(x)hkT(ch21x342−−=∫π43nx23n12(kT)xedxch∞−=π=∑∫∑∞=⋅⋅=1n44324n16Thck2π544232kT15chπ=③维恩位移定律由，得于是从而有hckT22hckT65hckTThce2hc11kTE'(,T)5)0e1e1λλλπλλ=−+=−λλ−固定（2hckT52hcE(,T)(e1)λπλ=−λhckThc(1e)5kT−λ−=λ200T0.289810Km−λ=⋅⋅④固体比定容热容由总辐射能量密度（）可推出固体中原子振动能为低温下，固体比定容热容3米焦耳)c(ThkThckd)T,(Ecd)T,(u)T(W343454334521541584π=π=λλ=λλ=∫∫)vv(ThkLT33434512154+π∴3T∝这一公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离2倍，即）而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽，所以这推出的公式只适用于低温）。a2vνa2v∴ν这一非经典的辐射模式的假设，得到如此好的结果，当然并非偶然，它含有很深的物理内容。（3）光电效应：这种分立能量模式的假设被A.Einstein接受A.Einstein对辐射与粒子的能量交换过程，认为是以“微粒”形式出现，以解释使人们费解的光电效应。光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些使人迷惑的现象：A．发射光电子依赖于频率，而与光强度无关。要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率。B．当照射光的频率时，发射出的光电子动能大小与光强度无关，而仅于光频率有关。minνν1905年，A.Einstein假设一束单色光由辐射能量大小为的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量。电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克服脱出功），所以飞出电子的动能功函数而电子要飞离金属，则应大于等于零νhνhkEhw=ν−−wkE，即有一最低频率。于是有∴whmin=νkminEhwh()=ν−=ν−ν到1916年，R.A.Millikan才做了非常仔细和精密的测量（在这之前，对光的频率和逸出电子动能间的关系一直没有精确测定），从他测量中推出。核心的问题是一束频率为的单色光，转移给一个电子的能量除以频率为一常数而这一常数与，光强度，电子及金属材料无关。这一常数并不能由经典物理学中的常数给出。秒焦耳⋅⋅=−341056.6hEνEh)=ν常数（νν（4）康普顿散射（Comptonscattering）实验发现，单色射线与电子作用而发生散射，其散射的射线的波长为siA(1cos)λ−λ=−θXX这样一个实验结果和特点也是经典物理无法解释的。A.Einstein除了接受Planck的“量子”假设外，还认为射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现，因此交换能量和动量。而其能量和动量为假设电子开始处于静止状态，根据能量，动量守恒，有Eh=νEhhPnnnccν===λ①②于是可得称为电子的康普顿散射波长，它等于。12ePPP−=2iesehmchEν+−ν=sieh(1cos)mcλ−λ=−θcmhem1043.212−⋅从黑体辐射，固体低温比定容热容，光电效应和康普顿散射的实验事实的讨论中，我们可以得出结论：辐射除了显示其波动性外，在与物质的能量和动量的交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系，Eh=ν=ωhEhhPnnnkccν====λh34h6.62610−=⋅⋅焦耳秒341.05410−=⋅⋅h焦耳秒§1.2原子结构的稳定性（1）原子行星模型卢瑟福（Rutherford）组用粒子轰击原子发现，粒子以一定概率散射到大角度方向上。每两万个粒子约有一个粒子偏离的方向飞出，从而提出原子的行星模型。以这一模型计算散射微分截面，与实验符合得非常好。ααα90°但是根据经典电动力学，带电粒子组成的体系是不稳定的。按照原子行星模型，原子中电子绕原子核运动，则电子在进行加速运动。因此会不断辐射能量。从而应该发生原子坍塌(秒。但事实上没有出现这现象。原子基态是出奇地稳定，没有辐射发现。（2）元素的线光谱，即有标志频率（氢原子）610−(n,m)2211h13.6eV()nmν=−mn经典电动力学因无法解释上述两点而失效。N.Bohr（尼.玻尔）提出二点假设：①原子仅能稳定地处于与分立能量（）相对应的一系列定态中，不辐射能量；②原子从一个定态到另一个定态时，也就是电子从一个轨道跃迁到另一轨道时，将吸收或发射电磁辐射，其辐射的能量等于两定态的能量差，其频率为/,E,E21为了确定电子的轨道，即分立能量相应的定态，玻尔提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的()（圆形轨道）。索末菲尔德（Sommerfeld）推广了这一量子化条件，对于任何一个周期运动，有量子化条件Onmvr=/,2,1n=mn(EE)hν=−（）为广义坐标，为广义动量。例：考虑一电子绕电荷为的原子核在一平面中运动，求其可能的定态能量。解：根据有心力下角动量守恒，所以ZerZe)rPP(mHr02222421πε−+=φiqi