北大量子力学课件03一维定态问题

第三章一维定态问题现在从最简单的问题来应用所得的原理和方程：一维，不显含时间的位势。如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题是解决三维问题的基础。V(x)V(y)V(z)V(r)++=)V(r)V(r=§3.1一般性质设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为，于是有（1）定理1：一维运动的分立能级(束缚态)，一般是不简并的。)x(V222d(V(x))u(x)Eu(x)2mdx−+=h简并度（degeneracy）：一个力学量的某个测量值，可在n个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一测量值是具有n重简并度。如某能量本征值有n个独立的定态相对应，则称这能量本征值是n重简并的。证：假设,是具有同样能量的波函数(1)1u2u22112d(V(x))u(x)Eu(x)2mdx−+=h(2)从而得于是(c是与x无关的常数)22211222dduu(x)uu(x)0dxdx−=2112uu(x)uu(x)c′′−=)(u)(u1221×−×22222d(V(x))u(x)Eu(x)2mdx−+=h对于束缚态（或在有限区域有某值使），所以c＝0若不是处处为零，则有2112uu(x)uu(x)0′′−=21u(x)u(x))u(ln)u(lnuuuu121122′=′⇒′=′12u(x)Au(x)=ix,u0→±∞→2112uu(x)uu(x)0′′−=应当注意:ⅰ.分立能级是不简并的，而对于连续谱时，若一端，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点），波函数无零点，就可能有简并存在。(因常数c≠0)。ⅲ．当V(x)有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致处处为零。0→u21u(x)u(x)推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相位因子）。证令（都是实函数）则22nnn2d(V(x))u(x)Eu(x)2mdx−+=hnnnR(x)iIu(xx))(=+)x(I),x(Rnn22nnn2d(V(x))R(x)ER(x)2mdx−+=h但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而和应是线性相关的，所以因此，)x(R)i1()x(unnα+=inAeR(x)β=nnRIα=22nnn2d(V(x))I(x)EI(x)2mdx−+=hnRnI（2）不同的分立能级的波函数是正交的（1）（2）2***21121221(u(x)u(x)u(x)u(x))(EE)u(x)u(x)2m′′′′−−=−h*1*2)2(u)1(u×−×221112d(V(x))u(x)Eu(x)2mdx−+=h222222d(V(x))u(x)Eu(x)2mdx−+=h从而证得（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值*21uudx0=∫2**21212*121d(EE)uudx(uuuu)dx2mdx′′=−−−∫∫h2**2112(u(x)u(x)u(x)u(x))2m0∞−∞′′=−−=h范围内有n个节点（即有n个x点使，不包括边界点或∞远）。niu(x)0=基态无节点（当然处处不为零的波函数没有这性质，如(它是简并的)，同样，多体波函数由于反对称性，而可能无这性质）（4）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积，现先证明位势若有有限大小间断时，波函数的导数仍连续。由方程imeφ)x(Eu)x(u))x(Vdxdm2(222=+−O即由于存在，即存在，即的导数存在，所以连续，也就是波函数导数连续。222du(x)[(EV(x)]u(x)2mdx−=−h)x(u)]x(VE[−)x(udxd22du(x)dxdu(x)dx对于位势是无穷时设令0VE)x(Eu)x(u)Vdxdm2(0222=+−O0x)x(Eu)x(udxdm2222=−O0x2mE2kO=20)EV(m2ΚO−=所以，得解要求波函数有界，所以C＝0，2uu′′=Κ0x2uku′′=−0xxxBeCex0u(x)Asin(kx)x0−ΚΚ⎧⎪+=⎨+δ⎪⎩要求波函数x=0处连续，且导数连续当E给定，AsinBδ=kAcosBδ=−Κ11tankKδ=−0V,→∞Κ→∞stiann.00δ=⇒δ=所以，于是，当,方程有解这表明，在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。当然，概率密度和概率通量矢总是连续的。0V→∞Asinkxx0u(x)0x0⎧=⎨⎩0B→§3.2隧穿效应和扫描隧穿显微镜(1)阶梯位势：讨论最简单的定态问题当0Vx0V(x)0x0⎧=⎨⎩0VE)x(Eu)x(u)Vdxdm2(0222=+−O0x)x(Eu)x(udxdm2222=−O0x令，22mEk=h022m(VE)−Κ=hxxikxikxDeCex0Aeu(x)Bex0−ΚΚ−=⎧+⎪⎨+⎪⎩222du(x)u(x)dx=Κ0x222du(x)ku(x)dx=−0x由波函数有界,C＝0在x＝0处，波函数连续，波函数导数连续，解得,DBA=+KD)BA(ik−=−DiA(1)2kΚ=+DiB(1)2kΚ=−xEikikxxDiKDiKu(1)e(1)ex02k2kDx0(x)e−−Κ=⎧++−⎪⎨⎪⎩对E没有限制，任何E都可取，即取连续值讨论：1.区域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波,且振幅相同，构成一驻波。x0ED(coskxsinkx)uk(x)Κ=−2D1()cos(kx)kΚ+=+α这一驻波，在处为零n2n1kx2++α=−π/2,1,0n=)1x2(cos2+∝0x2.概率通量矢：i.透射概率通量矢（）（因是实函数）ⅱ.在区域，有向右的概率通量，即入射概率通量矢0x0xxeΚ−2*2xiiiˆpkDjRe()1()mm4kΚ⎡⎤=ϕϕ=+⎢⎥⎣⎦hx0tj0=iii.在区域，也有向左的概率通量，即反射概率通量矢所以，总概率通量矢为零。当，入射粒子完全被反射回来，没有概率通量流入到区域中。x00x2*2xrrrˆpkDjRe()1()mm4kΚ⎡⎤=ϕϕ=−+⎢⎥⎣⎦h0VE0x定义：a.反射份额，现R=1;b.透射份额，现T=0。3.在区域，概率密度为RijRj=TijTj=TR1+=0x222xEu(x)De−Κρ==在这一区域，经典粒子是不能到达的。这是量子物理学的结论。它可能带来经典物理学认为不可能出现的物理现象。(2)隧穿效应和扫描隧穿显微镜在金属中的电子比真空中的自由电子的能量小(称为功函数)。因此，它们之间有一能隙。从经典物理的观点来看，即使在金属表面附近有外加电场，金属中的电子仍只能在金属内运动。但由上节可知，电子能够穿过比自身动能高的位势而以一定的概率出现在x0的区域中，这即量子粒子的隧穿效应(tunnelingeffect)尽管这一概率随x增大而指数衰减，但这是一正确的图象。当在金属表面附近有外加电场，则由于这些电子的移动而可能在金属表面外形成电流.从实验上获得这一电流或电阻与离金属表面的距离成指数关系。从而进一步证实了这一真空隧穿现象。G.Binning,H.Rohrer,C.GerberandWeibel,Phys.Rev.Lett.Vol.49,57(1982)发明了扫描穿显微镜。由于隧穿电流极为敏感探尖与材料表面的距离，因而它的分辨率可达0.01nm。从而成为研究材料性能和其分子结构的强有力的工具。下图显示了用扫描隧穿显微镜获得的铀原子的排列图。3.13.2§3.3位垒穿透：（1）EV0：从左向右入射，所以在区域有解eikx（入射波）；e-ikx（反射波）。区域有解eikx（透射波）。ikxEikxikxSexau(x)AeBex0−⎧⎪=⎨+⎪⎩0xax只要远离作用区，这形式是普遍的。而沿x方向的概率通量分别为，，所以只要求得,即可。对于有方程2ikjAm=h2rkjBm=−h2tkjSm=h⇓2BRA=2STA=ABax02202d(V)u(x)Eu(x)2mdx−+=hAS0xa有解其中由处，，连续得xxEu(x)DeFeΚ−Κ=+12022m(VE)()−Κ=hx0=)x(uE)x(uE′)FD(K)BA(ik−=−FDBA+=+1k1k(1i)(1i)DA22F1k1kB(1i)(1i)22⎛⎞+−⎜⎟⎛⎞⎛⎞ΚΚ=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟−+⎜⎟ΚΚ⎝⎠在处，得于是有ikaaaSeDeFeΚ−Κ=+ikaaaikSe(DeFe)Κ−Κ=Κ−aaikaaaikaeeSeDFieieSekkΚ−ΚΚ−Κ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟ΚΚ⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎜⎟⎝⎠⎝⎠aaikaaaika1k1k(1i)(1i)eeSeA221k1kBieieSe(1i)(1i)kk22Κ−ΚΚ−Κ⎛⎞⎛⎞+−⎛⎞⎜⎟⎛⎞ΚΚ⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟ΚΚ⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠−+⎜⎟⎝⎠ΚΚ⎝⎠xa=从而得代回得kkcoshaisinhkacoshaisinhkaABcoshaisinhkacoshaisinhkakk⎛⎞Κ+Κ−⎜⎟⎛⎞ΚΚ⎜⎟⎜⎟ΚΚ⎝⎠⎜⎟Κ−−Κ−⎜⎟⎝=⎠2222(k)sinhaBA(k)sinha2ikcosha−+ΚΚ=Κ−Κ−ΚΚika222ikeSA(k)sinha2ikcosha−−Κ=Κ−Κ−ΚΚ于是有（2）当这时只要将，并由，得1202204E(VE)BR1AVsinha−⎡⎤−==+⎢⎥Κ⎢⎥⎣⎦122200VsinhaST1A4E(VE)−⎡⎤Κ==+⎢⎥−⎢⎥⎣⎦0EV1ikΚ=−aksiniasinh1−=Κ2211221111i(kk)sinkaBA2kkcoskai(kk)sinka−−=−+从而有Aaksin)kk(iakcoskk2ekk2S122111ika1+−=−1202014E(EV)BR1AVsinka−⎡⎤−==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦122010VsinkaST1A4E(EV)−⎡⎤==+⎢⎥−⎢⎥⎣⎦0122m(EV)k−=h22mEk=h（3）结果讨论：A．（或），即概率通量矢连续。当时，仍有一定概率通量透射过去；B.当时，仍有一定概率通量被反射，但当时，T＝1，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在条件下发生）这时RT1+=0VE0VE0VE0VEπnak1=0VE222n02EnV2maπ=+h被称为共振能级。这种现象是量子现象。如一种解释，认为，所以，，即位垒宽是半波长的整数倍时，则经过多次反射而透射出去的波的相位相同，从而出现共振透射。πnak1=11nank2λπ==例：能量为E的粒子从左边入射到双阶梯式的位垒01010x0V(x)V0xa(EVV)Vxa⎧⎪=⎨⎪⎩求最大透射份额的条件。解：根据条件，波函数可表为其中，，001ikxikxikxikxikxAeBex0(x)CeDe0xaFexa−−⎧+⎪⎪ψ=+⎨⎪⎪⎩2mE2kO=200)VE(m2kO−=211)VE(m2kO−=要求波函数及其导数在和处连续：ABCD+=+0ik(AB)ik(CD)−=−001ikaikaikaCeDeFe−+=001ikaikaika01ik(CeDe)ikFe−−=0x=ax=1010i(kk)a10i(kk)a10k1(1)eF2kCDk1(1)eF2k−+⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠−⎜⎟⎝⎠0000kk11(1)(1)AC2k2kBkkD11(1)(1)2k2k⎛⎞+−⎜⎟⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟−+⎜⎟⎝⎠于是有从而得1010i(kk)ai(kk)a001100F4kkkkA(1)(1)e(1)(1)ekkkk−+=+++−−1010i(kk)a1000i(kk)a0010k1kk11(1)eF(1)(1)2kA2k2kBkkk111(1)eF(1)(1)2k2k2k−+⎛⎞⎛⎞++−⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠透射份额为这表明，时，透射份额取极大。所以，并不是透射份额取极大（象时那样）