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06-07级量子力学专题讲座“谈谈量子群和量子代数”12月21日（星期四）7:00p.m.理教207第二十七讲Ⅰ.定态微扰论（3）简并能级的微扰论A．零级波函数和能量的一级修正由这可解得lf(0)(0)(1)(0)lm1lklmklkk1ˆ(HE)a0=ϕϕ−δ=∑(1)1mklmkˆ(H)E0−δ=代回方程可得，即相应于一级能量修正的零级波函数为（准至一级）对于（）能量不同的态，可唯一地被确定，而中有相等的的态，其零级波函数仍不能唯一地确定。当然，(1)lnElf,2,1nL=n(0)lka(1)lnE(0)(0)n(0)lnlklkkaψ=ϕ∑(0)(1)llnEE+)1(lnElf,2,1nL=)0(nlka)1(lnE)1(lniE这样一些波函数可经线性组合成为正交归一的波函数（但应注意，从这些态出发的微扰仍应由线性组合出发，不能单从一个态出发）。的性质：1.新的零级波函数之间是正交的。2．在子空间中是对角的。)0(lnψnn)0(nl)0(ln),(′′=δψψ1Hˆ)0(lnψ)0(lnψ0011()()()lnlnlnnnˆHE′′ψψ=δB．简并能级下的一级微扰：选定了正确的零级波函数后，对于所相应的波函数作微扰出发点，就可以当作非简并态进行微扰处理。现讨论（对所有）,nn≠′)0(lnψ11()()lnlnEE′≠)0(lnψ11()()lnlnEE′≠nn≠′1001()()()lnlnlnˆEH=ψψ001100()()llnn()ll()()llˆHaEEϕψ=−000011111001()()()()lnl'l'ln()nn()()()()l'lnlnll'ˆˆHHa'EEEE′′′ψϕϕψ=−−∑10101()()n()()()lnllllnnnln'a'a′′′′′′ψ=ϕ+ψ∑∑01()()lnlnψ=ψ+ψ例:在均匀外电场中，氢原子能级的变化（斯塔克效应）考虑氢原子在外电场中的情况（在方向，忽略，即不考虑自旋）其中我们讨论氢原子状态的能级，因它是四重简并，即εzsl⋅102222HˆHˆzereHˆ+=ε+′−∇μ−=hzeHˆ1ε=2n=lm2ϕ200ϕ210ϕ121−ϕ211ϕ1010()()ijijjjˆ[(H)E]a−δ=∑011001200130143003000000000()()()()()()()()aEaeaaeEaEaE⎛⎞⎛⎞−−ε⎜⎟⎜⎟−ε−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠有解123()Eae=ε)φφ(21Ψ210200)0(22−=001200340()()()()aaaa=−==113()Eae=−ε)φφ(21Ψ210200)0(21+=001200340()()()()aaaa===130()E=121)0(23φψ−=00120034010()()()()aaa,a====140()E=211)0(24φψ=00120034001()()()()aaa,a====C．简并态的二级微扰D.进一步讨论1．一级微扰仅部分解除简并的讨论2001200()()l'ln()ln()()l'll'ˆHE'EEϕψ=−∑)1(ln1)0(lnHˆψψ=但当一级微扰并未把简并完全解除。如氢原子置于均匀电场中，对能级就是这种情况假设2n=(1)(1)34EE0==(0)23211−ψ=ϕ(0)24211ψ=ϕ(0)lE(0)l1ψ(0)l2ψL(0)lflψ(1)l1E(1)l2ELl(1)lfE若其中，而我们正是要处理这二个仍简并的态时，则零级波函数应取12(1)(1)lklkEE=),()0(lk)0(lk2lψψ)(kii)(lk)(lkai02100∑=ψ=Ψij(0)(0)(0)(0)2lk1l'l'1lk(2)k(0)lkijj(0)(0)j1l'll'ˆˆHH'Ea0EE=⎛⎞ψϕϕψ⎜⎟−δ=⎜⎟−⎝⎠∑∑2,1i=由这解出。若，则可唯一地确定简并态的零级波函数。由这样求出的才是正确的能量二级修正及零级波函数。ij(0)(0)(0)(0)lk1l'l'1lk(2)lkij(0)(0)l'll'ˆˆHH'E0EEψϕϕΨ−δ=−∑2,1i=i(2)lkE)(lk)(lkEE2221≠),()0(lk)0(lk2lψψi(2)lkE2.简并态可用非简并微扰处理的条件若则可选的共同本征态为零级波函数。（任意）0(H,A)01ˆˆˆˆ[H,A][H,A]0==(0)lnϕnn0Hˆ0ln10'n'l′≠=ϕϕl′这时简并态（）对没有影响。因此，可用非简并微扰方法处理。在处理简并能级微扰时选取正确的零级波函数和判断能否用非简并微扰论去求解是特别要仔细的9.89.9(0)ln′ϕnn≠′(0)lnϕⅡ.变分法：定态微扰论有效，是必须找到（1）体系的哈密顿量在某一满足物理要求的试探波函数上的平均值必大于等于体系基态能量即由变分给出的平均值是基态能量的上限10HˆHˆHˆ+=0HE≥（2）Ritz变分法现可利用变分原理到具体问题上，以求体系的近似本征能量和本征函数。基本思想：根据物理上的考虑给出含一组参量的试探波函数A.求能量平均值，以表示，),,,r(21LααψL,,21ααB.对求极值，从而确定显然，（基态能量）9.109.11ψψψHˆψ),α,α(H21=LL,,21αα),,(0201Lαα00201E),,(H≥Lαα第九章含时间的微扰论-量子跃迁现在要处理的问题是：体系原处于的本征态（或叠加），而有一与有关的微扰作用到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使在一段时间中不变）。在的各定态中的概率当然不是常数，而是随时间变化的。也就是，体系可以从一个态0ˆHt)t(Hˆ11Hˆ0ˆH以一定概率跃迁到另一态。这称为量子跃迁。含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。(1)含时间的微扰论：与有关，体系的哈氏量原为，随有一微扰ˆHt0ˆˆH(r,P)t)t,r(VˆiHt∂ψ=ψ∂h)t,r(VHˆ)t(Hˆ0+=因不显含，而有则的特解为0Hˆt(0)0nnnˆH(r)E(r)ϕ=ϕψψ0Hˆti=∂∂h(0)niEtnn(r,t)(r)e−ψ=ϕh当微扰存在时，特别是与有关时，则体系处于的各本征态（或定态）的概率将可能随时间发生变化仍可按的定态展开。但由于不是的定态，所以展开系数是与有关。t0ˆHˆiHt∂Ψ=Ψ∂h()0ˆˆHHVr,t=+Ψ0HˆnψnψˆHtn'n'n'(r,t)a(t)(t)=ψΨ∑(0)n'iEtn'n'n'a(t)(r)e−=ϕ∑h代入含时间的薛定谔方程与标积得()()(0)nnnnnnndir,ta(t)Er,ta(t)dt′′′′′′′ψ+ψ∑∑h)t,r(nψ()()()(0)nnnnn'nn'Er,ta(t)Vr,tr,ta(t)′′′′′=ψ+ψ∑∑(0)(0)nn'i(EE)tnnn'n'n'dia(t)Vea(t)dt−=∑hh（为的本征态）(0)(0)nn'nn'(EE)ω=−h)t(aeV'n'nti'nn'nn∑=ω∫=rd)r()t,r(V)r(V'n*n'nnϕϕnϕ0Hˆ是时刻，以描述的体系，处于的本征态中的概率幅。实际上，上式是含时间的薛定谔方程在表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和。假设很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令)t(antHˆ0Hˆnϕ0Hˆ()t,rV()Vr,t(0)(1)(2)nnnnaaaa=+++L则有0)t(adtdi)0(n=h)t(aeV)t(adtdi)0('n'nti'nn)1(n'nn∑=ωh)t(aeV)t(adtdi)1('n'nti'nn)2(n'nn∑=ωhnnit(0)(1)(2)(0)(1)(2)nnnnn'nnnn'di(aaa)Ve(aaa)dt′ω′′′++=++∑hhLLM于是有解，它与无关由初条件时，体系处于即得于是有n)0(nA)t(a=t0tt=(0)k0iEtk0k(r,t)(r)e−ψ=ϕhnknAδ=nn'nkititk(1)nnn'n'knkn'diaVeVedtωω=δ=∑h又由∫=tt1ti1nk)1(kn01nkdte)t(Vi1)t(aωh)t(aeV)t(adtdi)1(knntinn)2(kn111nn1∑=ωh1k1n12021nn110ti1knttti2nn1ntt22)2(kne)t(Ve)t(Vdtdt)i1()t(aωω∫∑∫=h∴由此类推而m200012m1tttk(m)mnmm11tttnnn1a(t)()dtdtdti−−=∑∫∫∫LLhnk111itnk1V(t)eωLLkk(i)nni0a(t)a(t)==∑nnmnnm1m1m1m2m1m1m2ititnnmnnm1V(t)eV(t)e−−−−−−−ωω−⋅⋅(2)微扰引起的跃迁：若很小，即跃迁概率很小。我们只要取一级近似即可，则这表明，体系在时刻处于定态。在时刻，体系可处于的定态，而其概率幅为（）。nkV1tωi1ttnk)1(kndte)t(Vi1)t(a1nk0∫=h0t0Hˆk0(r,t)ψt0Hˆn(r,t)ψ)t(a)1(knkn≠因此，我们在时刻，测量发现体系处于的概率为例1：处于基态（）的氢原子，受位势tnk1022titk(1)knnnk112t1Pa(t)V(t)edtω→==∫h−∞→tn(r,t)ψ（为实参数）扰动,①求时，处于态的概率tγ0eExe)t(V−⋅⋅=0γ+∞→tnlm2ti(EE)tn1100nlm021PeEnlmx100eedt+∞−γ−→−∞=∫hhn1n122202(i)t(i)t020eEnlmx100edtedt∞γ+ω−γ−ω−∞=+∫∫h②求222202n1n1eE11nlmx100ii=⋅+γ+ωγ−ωh()222202222n1eE4nlmx100γ=γ+ωhmax100nlmP→321n23221n2)(16)(80Pωγγωγγγ+−+==∂∂③选择定则：由21n2ωγ=∴222max0100nlm22n1e1Pnlmx100→ε=ωh11112xr(YY)3−π=−22211112nlmx100nlr10lmYY003−π=⋅−∴对选择定则为：22l1m,1l1m,121nlr1034−π=⋅δδ−δδπr1l±=Δ0,1m±=Δ22220100n112222n1e2Pn1r103()→±εγ=γ+ωh当很大（即微扰时间很短），所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden近似）;当很小（微扰缓慢加上），所以氢原子经扰动后仍处于基态(Adiabatic近似）γ100n11P0→±≈γ100n11P0→±≈例2．将自旋为，磁矩为的粒子置于转动磁场中时，粒子处于的状态，讨论跃迁情况2hsˆgˆ=μ0BtsinBBtcosBBz0y0x===ωω为常数0B0t=zs2=h解：设时，粒子处于，末态为0t=21bzbs′bs,b12zzztitb12bsbs,b1201ˆaHedti′′ω′′→′′=∫h)tsinsˆtcossˆ(gBBˆHˆyx0ωωμ+−=⋅−=′)ee(2Bgtiti0ωωσσ−+−+−=h⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−0100σ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+0010σ仅与自旋相关，所以其它量子数应不变而时处于，所以仅项引起跃迁，而项不引起跃迁。于是H′bb′=0t0=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛01−σ+σ20202222121212141∫ω+ω−→−=t't)(ibb'dteBgPb,bhh22121212122022)(]t)[(sinBgb,bb,bω+ωω+ω=−−A.常微扰下的跃迁率：在某些实验中，微扰常常是不依赖于的（在作用时间内）（）t∫=t01tink)1(kndteVi1)t(a1nkωhrd)r()r(V)r(Vk*nnkϕϕ∫=nktinknke1V1ωω−=h0)0(a)1(kn=所以，时，体系处于本征态，而在时刻，体系处于的本征态的概率为（当时，一级近似就满足了）0t=0Hˆkt