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第十章量子散射的近似方法（1）一些描述散射的物理量在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。A．散射截面定义：用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射作用是很方便的。反之，知道散射截面的性质，可以推出力场的许多性质。而我们对原子核和基本粒子性质，很多是这样推出的。这也是量子力学中的逆问题。一束不宽的（与散射区域比。当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波描述。tirkieω−⋅相对通量，，单位时间通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数（对于单粒子，显然即为概率通量）λΦ这时，单位时间，经散射而到达方向中的粒子数为即比例常数一般是的函数；如入射方向为轴（且束和靶都不极化），仅为的函数，它的量纲为，即面积量纲(,)θφzθ[]2L(,dnd)λσθφ=ΦΩΩΦ∝ddnλ(,)θφdΩ散射微分截面定义：在单位时间内，单个散射中心将入射粒子散射到方向上的单位立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量（概率通量）之比。dn(,)dλσθφ=ΦΩ(,)θφλΦdnd(,)λΩσθφ=Φ而散射总截面对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样，理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单），而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要将这两个坐标系进行换算。(,)dσ=σθφΩ∫总a.能量之间关系实验室系：质心系：2011Emv2=2221121212mvmv11Em()m()2mm2mm−=+++所以，如是两粒子散射，则约化质量为，而2011vE2mμ=μ=1212mmmmμ=+01EEmμ=b.角度之间关系由速度合成知：11vvvc′+=c0φφ=cccosvvcosvθ′+=θ101csinvsinvθ′=θ101其中ccccccossincosvvsintanθ+γθ=θ+′θ=θ10c0212ccoscos(12cos)γ+θθ=+γ+γθc1vv=γ=′质心速度人射粒子经反应后在质心系中速度由图可直接得到如下推论：a.当，则的取值范围在；b.当，则；c.当，则的取值范围在，而则从变到。这时，一个可对应两个值。显然，入射粒子经反应后的能量越大，则值越小。1γ0c,θθ],[π01=γ0c12θ=θ1γ0θ]sin,[γ−101cθ011cos()−π−−γ0θcθcθ对于弹性散射c.散射微分截面之间的关系入射束的通量是指相对通量，所以在实验室和在质心坐标系中，通量相等。1c12211212mvvmmmvvmmmm==+=′γ+于是cφ=φ0ccccd),(d),(Ωφθσ=Ωφθσ00000ccc0000cc(,)dd(,cosdcos)dσθφΩ=θ=σφΩθθ由c0212ccoscos(12cos)γ+θθ=+γ+γθ000ccc232cc(12cos)(,)(,)1cos+γ+γθσ+γθθφ=σθφB．散射振幅：我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况考虑一个质量为的粒子被一位势散射（当，趋于0比快）。感兴趣的是满足这一条件的物理问题。至于库仑散射这里不讨论。实验室系：1mV(r)∞→r)r(Vr12011Emv2=质心系：所以，如是两粒子散射，则约化质量为，而2221121212mvmv11Em()m()2mm2mm−=+++2011vE2mμ=μ=2121mmmm+=μ01EmEμ=薛定谔方程其定态解为当粒子以一定动量入射，经位势散射后，在很大处，解的渐近形式（弹性散射）为)t,r(ti)t,r()]r(V2[22ψψμ∂∂=+∇−hhhtiEe)r()t,r(−=ϕψkhrikrikrke(r)ef(,)r⋅ϕ→+θφ这时，被称为定态散射波函数。事实上，将其代入的本征方程，在很大时，htiEkke)r()t,r(−=ϕψHˆr22222ikrikrikrr22ˆk1dLeˆHef(,)ef(,)22rdr2rr⋅ϕ=−θφ+θφμμμhh大时ikrikreV(r)eV(r)f(,)r⋅++θφ保留到比快即当很大时r122ikrikrikrikrkrk11ˆHef(,)eEef(,)e2rr⋅⋅⎡⎤⎡⎤ϕ=+θφ=+θφ⎢⎥⎢⎥μ⎣⎦⎣⎦h大时0)r(V→r1kkkEHˆϕϕ=r我们称为散射振幅,为散射波.当入射粒子沿方向入射，则散射与无关（束、靶都是非极化），即下面我们给出的物理意义：对于渐近解的通量（对单粒子，即为概率通量）f(,)θφikref(,)rθφzφf(,)f()θφ=θf()θikrikrikr*ikrieejef()ef()2rr−−⋅⋅⎧⎡⎤⎡⎤−⎪=+θ∇+θ⎨⎢⎥⎢⎥μ⎪⎣⎦⎣⎦⎩hikrikrikrikr*eeef()ef()rr−⋅−⋅⎫⎡⎤⎡⎤⎪−+θ∇+θ⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎭2r2f()kkˆnrθ=+μμhh*ikr(1cos)k1[f()e2r−−θ+θμhikr(1cos)f()e]−θ+θikr(1cos)rˆkn[f()e2r−θ+θμh应注意，我们是在很远地方测量()，而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小的立体角中进行。因此，上式的一些项的贡献可表为*ikr(1cos)f()e]−−θ+θ)r1(03+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛项微商对微商对r1θ0≠θ当r很大时，振荡很快，而是一光滑函数，这一积分比快。所以包含这一因子的项比快。∫ΔΩθ−φθθθddsin)(ge)cos(ikr1)cos1(ikreθ−)(gθ0→r12r1于是，在远处，对于渐近解的概率通量矢而当无位势时，，无散射,仅有沿方向的平面波。大处，在渐近区域,r22nˆr)(fkkjθμμhh+=0)(f=θkr对径向通量无贡献。所以，对散射没贡献。在远处，单位时间散射到方向上立体角中的概率为μkh),(φθΩdμkh222k1dnf()rsinddr=θ⋅θθφμh（为所张立体角对应的面积）Ωdr2所以，散射振幅的模的平方就是散射微分截面。而散射总截面为22),(fdkd),(fkdjdn),(iφθ=ΩμΩφθμ=Ω=φθσhhΩφθ=Ωφθσ=σ∫∫d),(fd),()k(T2现在问题是要从出发，求具有很远处的渐近形式为的解，从而获得22V(r)E2−∇ϕ+ϕ=ϕμhφikrikreef(,)r⋅+θφ),(),(fφθσ⇒φθ理(2)玻恩近似；Rutherford散射现在讨论如何近似求解，从而求假设对自由粒子产生一个散射。根据Fermi’sGoldenRule，从开始为动量本征态跃迁到末态动量本征态跃迁率为f()θ()σθ)r(VPψP'ψ由于平面波是取为（）因此，)E()r(V2w2P'P'PPρψψπh=→hrPie⋅Pr3)2()'PP('PPhπδ⋅−=3dPPP1(2)=π∫h即态密度为（在空间）于是对于跃迁到中的跃迁率为3)2(1hπP3233dPPdPd(2)2(2)(E)dE′′Ω=πρ′π=hhΩd3m2mEdEd(2)=Ωπh而入射粒子的概率通量为(入射波函数为）pjm=ipr/e⋅hppdwdndd(,)j′→ΩλΩΩσθφ==Φ2iPriPr3PP'32m2mEwdeV(r)edrd(2)′−⋅⋅→πΩ=⋅Ωπ∫hhhh所以，散射微分截面称为散射振幅的一级玻恩近似。22i(pp)r/2m()V(r)edr2′−⋅⎛⎞σθ=⎜⎟π⎝⎠∫hhi(pp()r2)/1mV(r)ed(r2f)′−⋅θ=−π∫hhi(pp)r/1U(r)edr4′−⋅=−π∫h()()22mUrVr=h当位势为有心势令（转移波矢）则V(r)V(r)=h)'PP(q−='kk−=(1)iqrcos'2p2mf()eV(r)rdrd'2θθ=−Ωπ∫h（计算时，取方向为轴）现为有心势于是有qz′(1)iqriqrp2m1f()2V(r)rdr(ee)iq2−θ=−π−π∫h(1)p202mf()V(r)sin(qr)rdrq∞θ=−∫h或这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅为方向(1)p01f()U(r)sin(qr)rdrq∞θ=−∫2sink2qθ=kz()()22mUrVr=h由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子哈密顿量的一个微扰，所以要求粒子动能比位能大，即要求高能。11.1例：注意到，不能利用Born近似处理库仑势，因上述表示的积分不能积出，但能用于屏蔽库仑势（ScreenedCoulombPotential）2rb0zeeV(r)4r−=−πε这近似描述电子入射到多电子的原子中，这些电子的电荷分布屏蔽了原子核的作用。2rb2002mzef()esin(qr)drq4∞−θ=πε∫h11(iq)r(iq)r2bb202mzeeedr42iq−−−+−=πε∫h所以，散射微分截面222202mze14q1b=πε+h2202mze111()1142iqiqiqbb=−⋅πε−+h高能时，则22222220d2mze1f()()d4(q1b)σ=θ=Ωπε+h22b1q22240d2mze1()d4qσ=Ωπεh由这时意味着，即很大，也就是相当于大多数的散射是在原子核附近发生。这时位势最强，几乎无屏蔽。k2mEq2ksin22sin2=θ=θh2240kdze1()d16Esin2σ=Ωπεθ1ebr→−b只要上述公式中改成，就是Rutherford用经典力学推出的Rutherford散射微分截面公式。（3）有心势中的分波法和相移当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此互不相干。21zzzA．散射截面和相移当入射粒子方向取为轴，则入射（无自旋）是对对称，即与无关.而相互作用势是各向同性。因此，经作用后波函数也与无关（在方向）代入方程得kzφφ)r(VV(r)φlkl0l0(r)Y(,)r∞=χψ=θφ∑kz其渐近解，在时有22llll22dl(l1)(r)(r)k(r)U(r)(r)0drr+χ−χ+χ−χ=22mU(r)V(r)=h222mEk=hr→∞22ll2d(r)k(r)0drχ+χ=所以，在有心势存在时，具有确定（在方向）的解为rlllAsin(krB(r))→∞χ⎯+⎯⎯→lllAsin(kr)2π−+δ=klkll0l0lsin(kr)2AY(,)r∞=π−+δΨ→θφ∑z当位势不存在时，解为而lllikrlikriilll0l0(i)eieAeAeY(,)2ir2ir−∞δ−δ=⎡⎤−=−θφ⎢⎥⎣⎦∑ikzlll0l0e4(2l1)ij(kr)Y(,)==π+θφ∑r,krl(l1)lsin(krl2)j(kr)kr→∞+−π⎯⎯⎯⎯⎯⎯→与比较入射波应相同，即球面入射波系数应相等likrikrikzl0l04(2l1)4(2l1)(1)eeeY(,)2kir2kir−=⎡⎤π+π+−→−θφ⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑kΨlllikrlikriilll0l0(i)eieAeAeY(,)2ir2ir−∞δ−δ=⎡⎤−−θφ⎢⎥⎣⎦∑kΨ→→Ψklllikrlikriilll0l0(i)eieAeAeY(,)2ir2ir−∞δ−δ=⎡⎤−−θφ⎢⎥⎣⎦∑lilleki)1l2(4Aδπ⋅+=lllil4(2l1)(1)iAe2i2ki−δπ+−=显然，对每一个分波，它们都是一个入射球面波和一个出射球面波（同强度）的叠加。但定态散射解中的出射波和平面波的出射波差－相因子。这表明：散射位势的效应是使每一个出射分波有一相移，相应于相因子为。llikrikr2irkl0l04(2l1)4(2l1)(1)ee[e]Y(,)2kir2kir−δ=π+π+−Ψ⎯⎯⎯→−θφ∑大时l2ileδlδ2ileδlikrikrl04(2l1)4(2l1