北大量子力学课件07自旋

第七章自旋在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩。如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为Lˆm2qˆeL=μ)eq(−=如在方向BLˆm2eBUeL⋅=⋅−=ΔrμBzLBLeUmBmB2mΔ==μhTJ10273.924B−⋅=μ显然是量子化的，它取个值在较强的磁场下，我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解释它。但是，当这些原子或离子置入弱磁场的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单。UΔ)1l2(+§7.1电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度，即不均匀，则受力αμμcosBBU−=⋅−=从经典观点看取值因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值所以原子应分布在一个带上。但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的αcos[1,1]−dBdBdzdz−μ−μdzdBcosUFαμ=−∇=银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩.而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。47z=0l=sμ（2）电子自旋存在的其他证据A．碱金属光谱的双线结构原子光谱中有一谱线，波长为5893Å但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。ÅÅNa1115893D5.9=25885D9.9=这一事实，从电子具有三个自由度是无论如何不能解释。B.反常塞曼效应AnomalousZeemaneffect原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶如钠和的两条光谱线，在弱磁场中分裂为条和条。这种现象称为反常塞曼效应。z1D2D46C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为，而是对于不同能级，可能不同，而不是简单为(称为因子)。根据这一系列实验事实，G.Uhlenbeck）（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设B2eμhB2egDμhDg1DgLandeg′①电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值，所以SsμseeSmμ=−2±hzee2mμ=hm所以以为单位，则（而）现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正ezzmeS=μem2e2gs−=1gl−=0023192.2)21(2gs−=++−=Lπα§7.2自旋－微观客体特有的内禀角动量既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取，还应有第四个变量，相应算符为。（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩z,y,xzSzSˆSmee−=μ所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动量（仅取二个值，）。对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来表征它。于是我们假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系。A.对易关系2gs−=SkijkjiSi]S,S[εh=B.由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值，所以于是是一常数2±h22z2y2x41SˆSˆSˆh===222311ˆS(1)422==+hhC.矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值有二个，所以可用矩阵表示。①若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值zyxSˆ,Sˆ,Sˆ22×zSˆzSzˆS⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=10012)S(zh相应的本征矢其对应的表示为，②在表象中的矩阵表示z11S,S,22↑=±=↓ssszm,Smm,SSˆh=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛01⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10xyˆˆS,SzS我们知道，这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得.由因此yxSˆ,SˆzSˆzSˆyxzSi]Sˆ,Sˆ[h=xyzSi]Sˆ,Sˆ[h−=++=Sˆ]Sˆ,Sˆ[zhszszm,S)Sˆ(Sˆm,SSˆSˆh+=++由ssˆ(m1)SS,m+=+hssˆSS,mAS,m1+=+∴2ssAm,SSˆSˆm,S=+−22szzsˆˆˆS,mSSSS,m=−−hsxyxysˆˆˆˆS,m(SiS)(SiS)S,m=−+2s22s2mm43hhh−−=2ss)1m21)(m21(h++−=ssA(Sm)(Sm1)=−++hssssˆSS,m(Sm)(Sm1)S,m1+=−+++h同理可得ssssˆSS,m(Sm)(Sm1)S,m1−=+−+−hxsssssssˆSS,m((Sm)(Sm1)S,m12(Sm)(Sm1)S,m1)=−+++++−+−h212122121Sˆxh=−得系数矩阵为转置得212122121Sˆx−=h⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛01102h⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=01102)Sˆ(xh21212i2121Sˆy−=h1m,S)1mS)(mS(1m,S)1mS)(mS((2im,SSˆsssssssy+++−−−+−+=h21212i2121Sˆyh−=−系数矩阵为转置得对于在方向有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−01102ih⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0ii02)Sˆ(yhnSˆφθ,nxyzˆˆˆˆSsincosSsinsinScosS=θφ+θφ+θ则本征矢i2i2cose2sine2−φφθ⎛⎞⎜⎟⎜⎟θ⎜⎟⎜⎟⎝⎠i2i2sine2cose2−φφθ⎛⎞⎜⎟⎜⎟θ⎜⎟−⎜⎟⎝⎠()inicossineˆS2sinecos−φφ⎛⎞θθ=⎜⎟θ−θ⎝⎠h2Snh=()i121cosasinea−φ−θ=θi2i2cose2sine2−φφθ⎛⎞⎜⎟⎜⎟θ⎜⎟⎜⎟⎝⎠()i12sinea1cosaφθ=+θ2Snh−=i2i2sine2cose2−φφθ⎛⎞⎜⎟⎜⎟θ⎜⎟−⎜⎟⎝⎠显然ˆS+=↑↓hˆS+↓=↑↓↓=↑hhzˆS2↑↑=±↓↓hzˆS()22⎛⎞=+−⎜⎟⎝↓⎠↑↑↓hhˆSa+=↑↓ˆS0−↓=↓↑↓=hˆS−↑=↓↑↑=↓hhˆS−=↓↑hˆS0+↑=↑↓↑=h()yˆSi2−↑=↑↓−↓h⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0ii02)Sˆ(yh⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=01102)Sˆ(xh()xˆS2↑=↑↓+↓hi2i2nzzcosesine22−φφθθ↑=↑+↓nxyzˆˆˆˆSsincosSsinsinScosS=θφ+θφ+θi2i2nzzcosesine22−φφθθ↑=↑+↓③PauliOperator；为方便起见，引入泡利算符于是，在表象中有（或称Pauli表象）称为泡利矩阵σ2Sh=zσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=σ0110)(xy0i()i0−⎛⎞σ=⎜⎟⎝⎠z10()01⎛⎞σ=⎜⎟−⎝⎠由此得kijkjii2],[σεσσ=12z2y2x===σσσxyyxσσσσ+xyyx1(2i2i)2i=σσ+σσxzxzxx1([,][,])02i=σσσ+σσσ=于是有∴zxyyxyxi22σσσσσσσ=−=izyx=σσσijjiδ2}σ,σ{=例．求的本征值，本征矢因已知在表象中的矩阵形式为yˆσyˆσzσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0ii0所以，在表象中的本征方程要不同时为，系数行列式应为0a]m)[(knksknky=−∑δσka000miimss=−−−1m2s=∴1ms±=yσˆzσˆ对于1ms=0aa1ii121=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−ia2=1a1=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛i12112aia0−−=12iaa0−=用Dirac符号1ms−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1i21()yˆiσ=−↑↓−↓↑1ms=()yˆ(ab)iabσ↑+↓=−−↓+↑()ab=↑+↓a1=bi=()yzz1i2↑=↑+↓sm1=−()yˆ(ab)iabσ↑+↓=−−↓+↑()ab=−↑+↓8.18.28.38.48.5ai=b1=()yzz1i12↓=↑+↓（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述A.自旋波函数（电子的自旋态）对于的本征方程为在其自身表象ssszmmmSˆh=zSˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=10012)S(zh而相应本征态的表示为z1211S20⎛⎞⎛⎞=χ==α⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠z1201S21−⎛⎞⎛⎞−=χ==β⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠αα2)S(zh=ββ2)S(zh−=是的本征值为的本征态在表象中的表示；是的本征值为的本征态在表象中的表示。显然正交对于任何一旋量在表象中，其表示为αzSˆ2hzSzSˆ2h−zSββα,χzS1212a(2)(2a−⎛⎞χ⎛⎞χ==⎜⎟⎜⎟⎜⎟χ−⎝⎠⎝⎠hh而和可由与标积获得121211212122aaaa−−−=χ+χ=α+β21a21a−βα,χ12†1212a(1,0)aa−⎛⎞αχ==⎜⎟⎜⎟⎝⎠12†1212a(0,1)aa−−⎛⎞βχ==⎜⎟⎜⎟⎝⎠B.考虑自旋后状态的描述由于电子除了之外，还有第四个动力学变量，它的特点仅取二个值。而所以，可在表象中表示体系波函数。对处于某状态的体系可按的共同本征矢展开。z,y,xzSzˆ[r,S]0=)S,r(zψ)S,r(z这即在表象中表示。如令()()ssmr,m(r,t)ψ=ψψz(r,S)zr,S(r,,t)22=ψ=ψhhzr,S(r,,t)22=−ψ=ψ−hh则表象中的表示为若是归一化的态矢量，则ψz(r,S)()12s12(r,,t)(r,t)2r,m(r,t)(r,,t)2−⎛⎞ψψ⎜⎟⎛⎞ψ==⎜⎟⎜⎟⎜⎟ψ⎜⎟⎝⎠ψ−⎜⎟⎝⎠hhβ)t,r(ψα)t,r(ψ2121−+=ψsssmr,mdrr,mψψ=ψψ∑∫代表体系处于而自旋向上的概率密度代表体系处于而自旋向下的概率密度()12**121212(r,t)(r,t),(r,t)dr(r,t)−−ψ⎛⎞=ψψ⎜⎟⎜⎟ψ⎝⎠∫**12121212[(r,t)(r,t)(r,t)(r,t)]dr−−=ψψ+ψψ∫212ψr212−ψr如同一般变量可分离型一样，当对和是变量可分离型时，则其特解为C．考虑自旋后，力学量的表述在表象中，的表示为HˆrzSˆzz(r,S,t)(r,t)(S)ψ=ϕχˆLψ=ϕz(r,S),ψϕ方程在表象中可表为()z1212ˆr,S−ψ=ψα+ψβ()z1212ˆr,S−ϕ=ϕα+ϕβˆLψ=ϕz(r,S)是在表象中的表示zzzzzSˆr,SLr,Sdrr,Sr,S′′′′′′ψ=ϕ∑∫1212111212122122ˆˆˆˆ(r)(r)L(r,P),L(r,P)ˆˆˆˆ(r)(r)L(r,P),L(r,P)−−ψϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ψϕ⎝⎠⎝⎠⎝⎠()1112zz2122ˆˆˆˆL(r,P),L(r,P)ˆr,SLr,S(rr)ˆˆˆˆL(r,P),L(r,P)⎛⎞′′′=δ−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ˆLz(r,S)zz11iˆˆˆSL(r,P,S)Sˆ2L2===hhzz12iˆˆˆSL(r,P,2ˆSLS)2===−hhzz21iˆˆˆSL(r,P,S)S2ˆ2L=−==hhzz22iˆˆˆSL(r,P,S)SˆL22==−=−hh直接由在表象中表示来获得表象中的表示例：求算符在表象中的表示iˆˆˆL(r,P,S)zˆSz(r,S)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)Pˆ,r(Lˆ),Pˆ,r(Lˆ)Pˆ,r(Lˆ),Pˆ,r(Lˆ22211211ˆrs⋅z(r,s)zyxsˆzsˆysˆxsˆr++=⋅对任一算符的平均值为0x0iyz0x0iˆrsy00z−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⋅iicossinersizxiyxiyznecos−φφ⎛⎞θθ⎜⎟θ−θ−⎛⎞⎝==⎜⎟+−⎝⎠⎠†ˆˆLLd=ψψτ∫11121212**121221122212ˆˆLL(,)drˆˆLL−−−⎛⎞ψ+ψ⎜⎟=ψ