北大数学物理方法(B)教案12Γ 函数

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WuChong-shiΓ1Γ§12.1ΓΓΓ(z)=Z∞0e−ttz−1dt,Rez0.!#$%&Euler!’()!*+t,-./#argt=00F123456789:;=?0@#AB!’CDAE!(Ft=0G)’HAIJ!’KLMNCOPQR!S!TUV0Z∞0e−ttz−1dt=Z10e−ttz−1dt+Z∞1e−ttz−1dt.WX$%R!0YZ’[t≥1\’]e−ttz−1t^_’‘ab#z’Fcde/f0g.4.2hi’MjkClmA/f’nopjk!Aqrs0@#et=∞Xn=0tnn!,KLtuvwxyN’ettNN!,e−tN!tN.ztuzde{vA|}~(}~vwA’Rezx0’(12.1) e−ttz−1 N!·tx0−N−1.12.1’oMN(Nx0)’!Z∞1tx0−N−1dtnrs’zZ∞1e−ttz−1dtFzdevA|}~)Aqrs’@Fcde/f0Mjk$AR!!Fde/f’jkCAqrs0@# e−ttz−1 =e−ttx−1,x=Rez.WuChong-shi§12.1Γ2@’tuzde{devA}~’Rez=x≥δ0’ e−ttz−1 ≤tδ−1,Z10tδ−1dtrs’z!Z10e−ttz−1dtFzde{devA|}~)Aqrs’@Fde/f0NQR!S’nΓ(z)=Z∞0e−ttz−1dtFzde/f0F12•{e!)’!¡¢‘£pM⁄F¥ƒ{’h§¤#Γ(z)=ZLe−ttz−1dt,Rez0,!¡¢Ltde{'t=0“«‹›’argt=α#’|α|π/20fiflC–12.2’,†.UV‡*!ICe−ttz−1dt,n·jV012.2•¶A•§¤‚!¡¢LhLtde{'t=0“«vw!„”»…›’oM‰LRet→+∞¿uIJ`´h0F=ˆ˜¯˘˙¨Γ˚¸˝˛ˇ—Rez00˘’’ƪz˘’˛—ˇŁØŒºª˘0æbTaylorıZ10e−ttz−1dt=∞Xn=0(−)nn!Z10tn+z−1dt=∞Xn=0(−)nn!1n+z.FRez0łøœ0ß¿GFde/f’GYZFcde{(z6=0,−1,−2,···)Aqrs’@Fcde/f(z6=0,−1,−2,···)0k’¿Gm¿nG!m¿Fcde{/f0Γ(z)=Z∞1e−ttz−1dt+∞Xn=0(−)nn!1n+z.WuChong-shiΓ3§12.2Γ1Γ(1)=10æFΓ)lz=1´h02Γ(z+1)=zΓ(z)0ΓΓ(z+1)=Z∞0e−ttzdt=−e−ttz ∞0+Z∞0e−tztz−1dt=zZ∞0e−ttz−1dt=zΓ(z).0•º—!Rez00#Γ(z+1)$zΓ(z)%˘(z=0,−1,−2,···&’)’’()ª*’+’,-./˘0120•3ºŁ˘’4567,-./81Γ˚¸ª09’Œ,-./:;1Γ(z)=1zΓ(z+1).¯=˚¸?˘Rez0¯’@˚¸?˘Rez−1¯ABCDEFRez0¯GHA#I’Γ(z+1)/zJ@Γ(z)EFRez−1¯ª0KL’MNªOPQRÆΓ(z)’JS’NΓ(z)=1zΓ(z+1),z6=0T1Γ(z)EFRez1¯˝’Kz=0UΓ˚¸ºVWU’resΓ(0)=10•XY¯Z[\’]ŒΓ˚¸ªEFRez−2’Γ(z)=1z(z+1)Γ(z+2),z6=0,−1.z=−14Γ˚¸ºVWU’resΓ(−1)=−10•M^_’JŒΓ˚¸ª˘’Kz=0,−1,−2,···%Γ˚¸ºVWU’resΓ(−n)=(−1)nn!.WuChong-shi§12.2Γ‘abc4de1tuxyn’Γ(n)=(n−1)!.x@#f@’ΓH#gh03ijk+.Γ(z)Γ(1−z)=πsinπz.l¿jk‰e$12.4m0de2Γ(1/2)=√π0oMF{en3)lz=1/2’‘aowΓ(1/2)0(@#]pq#x)´h0de3ΓFcdeIr0@#π/sinπz6=0’KLΓ(z)Γ(1−z)6=00’–Fz=z0Γ(z0)=0’stΓ(1−z0)=∞0o·«uF1−z0=−n(v´z0=n+1)’n=0,1,2,···\0ß\Γ(z0)=Γ(n+1)=n!’wKxyz0@ΓFcdeIr012.3){“|Γ(x)(x#¥)}0C'¥~flm“VLΓ!012.3Γ4hl¿Γ(2z)=22z−1π−1/2Γ(z)Γz+12.l¿jk12.4m05Γı’´Stirlingl¿‚[|z|→∞’|argz|π\’Γ(z)∼zz−1/2e−z√2πn1+112z+1288z2−13951840z3−5712488320z4+···o,lnΓ(z)∼z−12lnz−z+12ln(2π)+112z−1360z3+11260z5−11680z7+···.F.)lnn!∼nlnn−n.WuChong-shiΓ5§12.3ψψΓtψ(z)=dlnΓ(z)dz=Γ0(z)Γ(z).Γn’hL“ψ(z)œn‚1.z=0,−1,−2,···ψ(z)Ag’†#−1A|L’ψ(z)Fcde/f02.ψ(z+1)=ψ(z)+1z.ψ(z+n)=ψ(z)+1z+1z+1+···+1z+n−1,n=2,3,···.3.ψ(1−z)=ψ(z)+πcotπz.4.ψ(z)−ψ(−z)=−1z−πcotπz.5.ψ(2z)=12ψ(z)+12ψz+12+ln2.6.ψ(z)∼lnz−12z−112z2+1120z4−1252z6+···,z→∞,|argz|π.7.limn→∞ψ(z+n)−lnn=0.ψpψ(1)=−γ,ψ0(1)=π26,ψ12=−γ−2ln2,ψ012=π22,ψ−12=−γ−2ln2+2,ψ0−12=π22+4,ψ14=−γ−π2−3ln2,ψ34=−γ+π2−3ln2,ψ13=−γ−π2√3−32ln3,ψ23=−γ+π2√3−32ln3.γ=−ψ(1)¸º¡¢£¸’⁄ÆEuler£¸γ=0.57721566490153286060651209008240···.¥˝γ=limn→∞nXk=11k−lnn#.Fƒψ’hL§¤“'“#.¿IJ∞Xn=0un=∞Xn=0p(n)d(n)WuChong-shi§12.3ψ6«‹’()p(n)‹d(n)n›“¿0#|fijrs’p(n)fl–Md(n)fl†2’´limn→∞un=limn→∞n·un=0.–d(n)nmfl›“¿’‘acRrAgr’d(n)=(n+α1)(n+α2)···(n+αm),´unoAg’shR!!¿#un=p(n)d(n)=mXk=1akn+αk.ƒψ‡·’´h¤NXn=0un=mXk=1ak[ψ(αk+N)−ψ(αk)]=mXk=1ak[ψ(αk+N)−lnN−ψ(αk)],()ƒ|mPk=1ak=00fi⁄N→∞’´∞Xn=0un=limN→∞mXk=1ak[ψ(αk+N)−lnN−ψ(αk)]=limN→∞mXk=1ak[ψ(αk+N)−lnN]−mXk=1akψ(αk)=−mXk=1akψ(αk).12.1¤IJ∞Pn=01(3n+1)(3n+2)(3n+3)«‹0@#1(3n+1)(3n+2)(3n+3)=161n+1/3−131n+2/3+161n+1,KL’{e{“¤‹l¿’∞Xn=01(3n+1)(3n+2)(3n+3)=−16ψ13−2ψ23+ψ(1).lψp’´∞Xn=01(3n+1)(3n+2)(3n+3)=14π√3−ln3.12.2¤IJ∞Pn=01n2+a2«‹’()a00WuChong-shiΓ7@#1n2+a2=i2a1n+ia−1n−ia,KL∞Xn=01n2+a2=−i2a[ψ(ia)−ψ(−ia)].ƒ{e“ψn4’ψ(ia)−ψ(−ia)=−1ia−πcotiπa=i1a+πcothπa,nhL¤∞Xn=01n2+a2=12a21+πacothπa.F–un¶%g’•–’d(n)=(n+α1)(n+α2)···(n+αm)(n+β1)2(n+β2)2···(n+βl)2,sun=p(n)d(n)=mXk=1akn+αk+lXk=1b1kn+βk+b2k(n+βk)2.‚,’rsłømXk=1ak+lXk=1b1k=0.ψ‡·’´∞Xn=0un=−mXk=1akψ(αk)−lXk=1b1kψ(βk)−b2kψ0(βk).12.3¤IJ∞Pn=01(n+1)2(2n+1)2«‹0@#1(n+1)2(2n+1)2=4n+1+1(n+1)2−4n+1/2−1(n+1/2)2,KL∞Xn=01(n+1)2(2n+1)2=−4ψ(1)−ψ0(1)+4ψ12+ψ012=2π23−8ln2.WuChong-shi§12.4B8§12.4BBg$A&Euler!‚B(p,q)=Z10tp−1(1−t)q−1dt,Rep0,Req0.„t=sin2θ’¶hLB”Am¿B(p,q)=2Zπ/20sin2p−1θcos2q−1θdθ.FB)b*»s=1−t’nhLB(p,q)=Z10tp−1(1−t)q−1dt=Z01(1−s)p−1sq−1(−ds)=Z10sq−1(1−s)p−1ds,´B(p,q)tup‹qt‚B(p,q)=B(q,p).BhLΓm…“S’B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q).FRep0’Req0łøœ’YZΓ(p)=Z∞0e−ttp−1dt=2Z∞0e−x2x2p−1dx,Γ(q)=2Z∞0e−y2y2q−1dy.uΓ(p)Γ(q)=4Z∞0Z∞0e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy.„x=rsinθ’y=rcosθ’Γ(p)Γ(q)=4Z∞0Zπ/20e−r2(rsinθ)2p−1(rcosθ)2q−1rdrdθ=4Z∞0e−r2r2(p+q)−1drZπ/20sin2p−1θcos2q−1θdθ=Γ(p+q)B(p,q).‰—./’NB˚¸ªp$q˘0./’4¿T`B(p,q)p$q⁄0WuChong-shiΓ9FB‹Γ·¿B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q).(F)´jΓQn’´ijk+.Γ(z)Γ(1−z)=πsinπz‹hl¿Γ(2z)=22z−

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