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-192-第十六章差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。§1差分方程1.1差分方程简介规定t只取非负整数。记ty为变量y在t点的取值，则称tttyyy−=Δ+1为ty的一阶向前差分，简称差分，称tttttttyyyyyyy+−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ+++12122)(为ty的二阶差分。类似地，可以定义ty的n阶差分tnyΔ。由tyt、及ty的差分给出的方程称为ty的差分方程，其中含ty的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程02=+Δ+Δtttyyy也可改写成012=+−++tttyyy。满足一差分方程的序列ty称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。称如下形式的差分方程)(110tbyayayatntntn=+++−++L（1）为n阶常系数线性差分方程，其中naaa,,,10L是常数，00≠a。其对应的齐次方程为0110=+++−++tntntnyayayaL（2）容易证明，若序列)1(ty与)2(ty均为（2）的解，则)2(2)1(1tttycycy+=也是方程（2）的解，其中21,cc为任意常数。若)1(ty是方程（2）的解，)2(ty是方程（1）的解，则)2()1(tttyyy+=也是方程（1）的解。方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I）先求解对应的特征方程00110=+++−aaannLλλ（3）（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。（i）若特征方程（3）有n个互不相同的实根nλλ,,1L，则齐次方程（2）的通解为tnntccλλ++L11（ncc,,1L为任意常数）（ii）若λ是特征方程（3）的k重根，通解中对应于λ的项为tkktccλ)(11−++L，),,1(kiciL=为任意常数。（iii）若特征方程（3）有单重复根iβαλ±=，通解中对应它们的项为tctcttϕρϕρsincos21+，其中22βαρ+=为λ的模，αβϕarctg=为λ的幅角。（iv）若iβαλ±=是特征方程（3）的k重复根，则通解对应于它们的项为ttccttcctkkktkkϕρϕρsin)(cos)(12111−+−+++++LL-193-)2,,1(kiciL=为任意常数。（III）求非齐次方程（1）的一个特解ty。若ty为方程（2）的通解，则非齐次方程（1）的通解为ttyy+。求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的)(tb也可使用待定系数法。例如，当)()(tpbtbkt=，)(tpk为t的k次多项式时可以证明：若b不是特征根，则非齐次方程（1）有形如)(tqbkt的特解，)(tqk也是t的k次多项式；若b是r重特征根，则方程（1）有形如)(tqtbkrt的特解。进而可利用待定系数法求出)(tqk，从而得到方程（1）的一个特解ty。例1求解两阶差分方程tyytt=++2。解对应齐次方程的特征方程为012=+λ，其特征根为i±=2,1λ，对应齐次方程的通解为tctcyt2sin2cos21ππ+=原方程有形如bat+的特解。代入原方程求得21=a，21−=b，故原方程的通解为21212sin2cos21−++ttctcππ例2在信道上传输仅用三个字母cba,,且长度为n的词，规定有两个a连续出现的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。解令)(nh表示容许传输且长度为n的词的个数，L,2,1=n，通过简单计算可求得：3)1(=h，8)2(=h。当3≥n时，若词的第一个字母是b或,c则词可按)1(−nh种方式完成；若词的第一个字母是a，则第二个字母是b或c，该词剩下的部分可按)2(−nh种方式完成。于是，得差分方程)2(2)1(2)(−+−=nhnhnh，),4,3(L=n其特征方程为0222=−−λλ特征根311+=λ，312−=λ则通解为nnccnh)31()31()(21−++=，),4,3(L=n利用条件3)1(=h，8)2(=h，求得nnnh)31(3232)31(3232)(−+−+++=，),2,1(L=n在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数ncc,,1L如何取值，在+∞→t时总有0→ty，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方-194-程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。1.2常系数线性差分方程的Z变换解法常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用Z变换，将差分方程变换为代数方程去求解。设有离散序列)(kx，),2,1,0(L=k，则)(kx的Z变换定义为∑∞=−==0)()]([)(kkzkxkxZzX（4）其中z是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。)(zX的Z反变换记作)]([)(1zXZkx−=1.2.1几个常用离散函数的Z变换（i）单位冲激函数)(kδ的Z变换∑∞==−−=×==001]1[)()]([kkkkzzkkZδδ即单位冲激函数的Z变换为1。（ii）单位阶跃函数)(kU的Z变换∑∑∞=∞=−−×==001)()]([kkkkzzkUkUZ，即)1|(|1)]([−=zzzkUZ（iii）单边指数函数kakf=)(的Z变换（a为不等于1的正常数）∑∞=−−==0)|(|][kkkkazazzzaaZ1.2.2Z变换的性质（i）线性性质设)()]([11zFkfZ=，)()]([22zFkfZ=，则)()()]()([2121zbFzaFkbfkafZ+=+其中ba,为常数。收敛域为)(1zF和)(2zF的公共区域。（ii）平移性设)()]([zFkfZ=，则)]0()([)]1([fzFzkfZ−=+，])()([)]([10∑−=−−=+NkkNzkfzFzNkfZ，])1()([)]1([1zfzFzkfZ−+=−−，])()([)]([11∑−=−−+=−NkkNzkfzFzNkfZ例3求齐次差分方程-195-0)(2)1(3)2(=++++kxkxkx，0)0(=x，1)1(=x的解。解令)()]([zXkxZ=，对差分方程取Z变换，得0)(2)(3)(2=++−zXzzXzzXz，2123)(2+−+=++=zzzzzzzzX，对上式取z反变换，便得差分方程的解为kkkx)2()1()(−−−=。§2蛛网模型2.1问题提出在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产；随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会反复出现。如何从数学的角度来描述上述现象呢？2.2模型假设（i）设k时段商品数量为kx，其价格为ky。这里，把时间离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。（ii）同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量，把)(kkxfy=（5）称之为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低，故可以假设：需求函数为一个单调下降函数。（iii）下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把)(1kkygx=+（6）称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调上升的函数。2.3模型求解在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于),(000yxP，则0P为平衡点。因为此时)(00ygx=，)(00xfy=，若某个k，有0xxk=，则可推出0yyl=，0xxl=，),1,(L+=kkl即商品的数量保持在0x，价格保持在0y，不妨设01xx≠，下面考虑kkyx,在图上的变化),2,1(L=k。如下图所示，当1x给定后，价格1y由f上的1P-196-点决定，下一时段的数量2x由g上的2P点决定，2y又可由f上的3P点决定。依此类推，可得一系列的点),(111yxP，),(122yxP，),(223yxP，),(234yxP，图上的箭头表示求出kP的次序，由图知：),(),(lim000yxPyxPkk=+∞→，即市场经济将趋于稳定。并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的f与g的图形如下图所示，得出的L,,21PP就不趋于0P，此时，市场经济趋向不稳定。上两图中的折线L,,,433221PPPPPP形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，f取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平，g取决于生产者的生产、管理等能力。当已经知道需求函数和供应函数之后，可以根据f和g的性质判断平衡点0P的稳定性。利用结论：当||01xx−较小时，0P点的稳定性取决于f与g在0P点的斜率，即当|)('||)('|00ygxf（7）时，0P点稳定，当|)('||)('|00ygxf（8）时，0P点不稳定。这一结论的直观解释是：需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。设|)('|0xf=α，|)('|10yg=β，在0P点附近取f与g的线性近似，由（5），（6）式得-197-)(00xxyykk−−=−α（9）)(001yyxxkk−=−+β（10）上两式中消去ky，得01)1(xxxkkαβαβ++−=+（11）（11）式对L,2,1=k均成立，有01)1(xxxkkαβαβ++−=+012)1)(()()(xxxkkαβαβαβαβ+−+−=−−022312)1()()()(xxxkkαβαβαβαβ+−+−=−−−………………………………………………022132)1()()()(xxxkkkαβαβαβαβ+−+−=−−−−01121)1()()()(xxxkkkαβαβαβαβ+−+−=−−−以上k个式子相加，有01101])(1[)(])()(1[)1()(xxxxxkkkkkαβαβαβαβαβαβ−−+−=−++−+++−=−L（12）此为（11）式的解。若0P是稳定点，则应有：01limxxkk=++∞→结合（12）式考虑，0P点稳定的条件是1αβ（13）即βα1同理，0P点不稳定的条件是1αβ（14）即βα1此时，∞=++∞→1limkkx。这与（7），（8）式是一致的。2.4模型的修正在上面模型假设的第（iii）点中引进了供应函数，并且知道g取决于管理者的生产、管理水平。如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定该商品生产数量1+kx时，不仅考虑了前一时期的价格ky，而且也考虑了价格1−ky。为了简化起见，不妨设1+kx由)(211−+kkyy决定，则供应函数可写成-198-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=−+)(2111kkkyygx在0P附近取线性近似，则有)2(20101yyyxxkkk−+=−−+β（15）由（9）式有)(00xxyykk−−=α)(0101xxyykk−−=−−α将上两式代入（15）式，整理得011)1(2xxxxkkkαβαβαβ+=++−+，),3,2(L=k这是一个二阶线性差分方程，其特征方程为022=++αβαβλλ经计算，可得其特征根48)(22,1αβαβαβλ−±−=（16）结论：若方程的特征根均在单位圆内，即1||1λ，1||2λ，则0P为稳定点。当8αβ时，（16）式有两个实根，因448)(22αβαβαβαβλ−−−−=，则有2||2λ，故此时0P不是稳定点。当8αβ时，（16）式有两个共轭复根，此时2)(8414||212222,1αβαβαβαβλ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=要使0P为稳定点