复旦大学高等数学课件02数列的极限1-2

§2数列的极限高等数学中极限是一个重要的概念。因为高等数学中的一些重要概念如:微分、积分、级数等，都是以极限为理论基础的。一、数列的概念1、概念的引入1A2AR,,,,,321nAAAA)(nAAn圆内接正多边形正六边形的面积正十二边形的面积162n正边形的面积nA……12,,,,nxxx2、定义:按照某一法则得1x第一个数2x第二个数nxnN第n个数依次排列着，这列有序的数：称为数列。记为nx其中每个数称为数列的项，称为数列的通项(或一般项).nx;,21,,81,41,21n:2)1(1nn,2)1(1,31,23,1nn:}21{n例如：注意:在几何上,数列可看作数轴上的一个动点。1x2x3x4xnx:}21{n12n1801412:2)1(1nn133410321(1)2nn(,)1,2,nnxnnx也可看作直角坐标系上：:}21{nnxn0:2)1(1nnnx0n需要讨论的是：,)(n当n无限增大时，)(nfxn对应的是否能无限接近于某个确定的数值，如果是，如何确定?通过上面演示实验的观察：当n无限增大时，nnx21无限接近于0；nxnn2)1(1无限接近于0.0210nnx1001给定100121n由,2lg2时只要n10010nx有10001给定,2lg3时只要n100010nx有100001给定,2lg4时只要n1000010nx有n21就上例而言：1、定义:如果对于任意给定的正数(无论多么小)，总存在正整数N，使得对于nN时的一切，nx不等式都成立，nxA那么就称常数A是数列的极限,nx或称为数列收敛于A.nx记为Axnnlim)(nAxorn如果数列没有极限,则是发散的。limnnxA0,0,NN定义：nN当时，nxA恒有注意:1）“正数可以任意给定”；2）正整数N与任意给定的正数有关；lim.nnnnxAxAnN3）当n充分大时，0n返回几何解释:x1x2x1Nx3x2Nx2AAA极限运算已经不是有限运算了，它叩开了无穷运算的大门，我们即将迈入无穷的王国，将有许多瑰丽的景色期待着我们。0)1()1(lim:.12nnn数列证明例1lim,1.2nnaa验证：设例nnxAy“放大处理”基本思想：limnnxA利用数列极限定义证明时，由不等式性质，作出如此放大处理：ny从而可以从中，寻求正整数N，由放大后的部分能小于预先给定的，则原来的部分更满足，从而得到证明。三、无穷小量与无穷大量定义:{},n设有数列,0如果对任何正数都存在正整数N，使得nN时，n有n则称时，{}n是无穷小量。记为:lim0nn注意：（一）无穷小量（二）无穷小量的运算性质0021NNnnnnbaba221）同一过程中，无穷小量的代数和是无穷小量。证明：{}na设、是当时的两个无穷小量，{}nbn0即：使得;2na当时，恒有1nN;2nb当时，恒有2nN12max{,},NNN取当时，恒有nN即证注意：1）有限多个无穷小量的代数和是无穷小量；无穷多个无穷小量的代数和是如何呢？2）有界量与无穷小量的乘积是无穷小量；3）两个无穷小量的乘积是无穷小量；（可推广到有限多个）思考：2）两个无穷小量之比将会出现什么情况？1）证明，当时，函数不是无穷小量。[]xxx（三）无穷大量定义:{},na设有数列如果对任意的数k0，都存在正整数N，使得nN时，nak有n则称时是无穷大量。{}na（四）无穷小量与无穷大量的关系)0(0limnnnaanna1lim,,0Nk0nakan1,0limnna设0na且使得nN时，nna1lim)0(limnnnaa,,0Nk0nakan11)0(01limnnnaa定理:证明：恒有1nak使得nN时，恒有nak四.数列极限的求法BAbannn)(limABbannn)(lim1、收敛数列的性质1）数列极限的常用运算性质BbAannnnlimlim设则当B≠0时，limnnnaAbBlim1nna例3、当证明：0,a（作为结论）推论：AannlimmmnnAalimAannlimmmnnAalim当时，1qlim0nnq结论：为非负整数时有和当kmba,0,000kkkmmmnbnbnbanana110110lim000akmbkmkmm0为有限值7(5)37lim4378nnnnn例5、求44332lim472nnnnnn例4、求例6、求2arctanlim435nnnnn例7、求33311212lim()nnnnn例如：数列1nnxn有界；2）有界性定义:{},nx对数列若存在正数M，使得一切自然数n，恒有成立，nxM则称数列有界，否则，称为无界。nx2nnx无界。数列limnnxA3）定理：收敛数列必有界。证明：如果数列收敛，即{}nx由定义，对则使得当nN时，,,N恒有,nxAnAxA即1max{,,,,}NMxxAA取∴对一切正整数n，皆有nxM即有界。{}nx4）夹逼性定理设有数列,,,nnnabc如果自某项以后均有nnncba，且limlimnnnnacA则limnnbAnaAncAAanAcnAnnncbaAAbnnlim证明：设对一切正整数n，均有nnncba∵数列的极限与该数列前有限项无关，0,∴给定取正整数N1，使nN1时，取正整数N2，使nN2时，1,2max()NNN记当nN时，nAaA即nAcA即nAbA即nbA即limnnn例8、求（作为结论）例9、求1lim(123)nnnn例10、计算极限思考题：333lim12nnn计算极限3444318lim()18nnnnnn1,1nnnxxxn2、单调有界数列单调数列单调增加数列：单调减少数列：1,1nnnxxxn定理单调有界数列必有极限。1x2x3xAnx1nxMx有界数列的点都落在数轴上某一区间nx.MM，nnnx)11()11()11(!1)21)(11(!31)11(!21!111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1!1)1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132)111()111(!1)121)(111(!31)111(!21!1111nnnnnnnxn,2,11nxxnn1lim(1)nnn例11、证明的存在。证明：先证单调性由二项式定理nx即单调增加；)11()11(!1)21)(11(!31)11(!21!111nnnnnnnxn!1!31!2111n1221212111n1221212111n)1(211212qa31lim(1)nnn1lim(1)nnennx再证明有界性nx即有界；∵单调有界数列必有极限存在，记1111:0,,1,2,2nnnnaaaana例12、设数列na证明该数列收敛，并求出其极限。注意：思考题：113181:0,,(3)1,2,4nnnnaaaana设na证明该数列收敛，并求出其极限。3.Cauchy收敛准则（对于一般数列）收敛数列nx时，正整数NmnN,,0mnaa证明：)(必要性”“收敛nxAxnnlim020即，时当NnN,2Axn有时，当同样，Nm2Axm也有有时，当NnNm,)()(AxAxxxmnmnAxAxmn22”“涉及实数系的连续性等略，正整数对某个即N,0mnxxNmn,,，正整数对，取N21NNNxxmn212111NNN212121212NN111123nxn例13、设证明其发散。证明：nx要证明发散nxCauchy即证不满足收敛准则的条件nx所以是发散的。