复旦大学高等数学课件03函数的极限1-3

1§3函数的极限＊数列极限是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无穷大时的极限。＊函数极限是定义在实数集上的函数当自变量连续地趋于某个值(有限或无限)时的极限。海豹2一.自变量趋于有限值时函数极限()fxA定义:（精确的）0如果对任意给定的正数，0总存在，00xx使得当时，有0()fxxx则称在时，以A为极限。Axfxx)(lim0记为定义:（通俗的）设函数f在有定义（点可除外），0(,)Ux0x当时，0xx函数f(x)无限地接近于常数A，即f(x)-A趋于0，0()fxxx则称在时，以A为极限。3Axfxx)(lim0定义:（数列极限的形式）0,1,2,nxxn其中lim()nnfxA均有邻域的定义:对A的任何邻域，存在的某个0xnx对任意收敛于的数列，0x邻域，当x属于该邻域而非时，f(x)落在A的0x邻域中，也即：()(,)fxUAAxfxx)(lim00,0,对00(,)xUxxx当且时，()yfxAAA0x0x0xxyo4二.极限的性质02)lim()()xxfxgx0()3)lim()xxfxgx)(lim)(lim00xgxfxxxx)(lim)(lim00xgxfxxxx)(lim)(lim00xgxfxxxx)0)(lim(0xgxx只要海星1、定理(极限的四则运算)00lim()lim()xxxxfxgx若与均存在，01)lim()()xxfxgx则：5nx对BA)()(lim0xgxfxx0xxn0limxxnn)()(limnnnxgxf)(lim)(limnnnnxgxfBA)(lim)(lim00xgxfxxxx证明：00lim()lim()xxxxfxAgxB1）设由数列极限形式的定义得：lim()lim()nnnnfxAgxB均有再由数列极限形式的定义得：同理可证2）、3）.6iniinxaxP0)()()(lim0xQxPmnxxn次多项式m次多项式)(lim0xPnxxiniixxxa00lim)()(00xQxPmn)0)((0xQm只要)lim(00ixxniixa)(0xPniniixa00利用有限次的运算法则可求得也可求得722468lim54xxxxx例1、求011limxxx例2、求8)()()(xhxgxfAxhxfnnnn)(lim)(limAxhxfxxxx)(lim)(lim00Axgnn)(limAxgxx)(lim02、夹逼性（定理）质设对某r0，00xxr当时，00lim()lim()xxxxfxhxA且0lim()xxgxA则证明：由数列极限形式的定义：()()()nnnfxgxhx又由数列的夹逼性nx由的任意性，及数列极限形式的定义93、有界性（定理）0lim()xxfx如果存在，0,00xx则时，0x函数f(x)有界（点除外）.4、保号性00lim(),lim()xxxxfxAgxBAB且设0,00xx则时，()()fxgx10Axfxx)(lim0Bxgxx)(lim0AxfA)(BxgB)(时10100xxAxf)(时20200xxBxg)(2)(2BAAxfBAA2)(2BABxgBAB证：02AB取2)(2BAAxfBA即2)(2BAxgBAB)(2)(xgBAxf)()(xgxf即11()fxB推论10lim()xxfxAB设0,00xx则时，推论200lim()lim()xxxxfxgx如果和均存在，00()()xxrfxgx且当时，.证明（反证法）AB00lim()lim()xxxxfxgx假设BA由保号性00,0rxxr时，)()(xgxf与条件矛盾，()()fxgx)(lim)(lim00xgxfxxxx则00lim()lim()xxxxfxgx12三.单侧极限)0(0xx00xxxAxforAxfxx)0()(lim00)0(0xx),(00xxxx),(00xxxx0x左右,0,0给定对Axfor)0(01、定义:如果存在实数A，00()xxxfxA当时，则称A为f在x0处的左极限右极限0lim()xxfxA记作130lim()xxfxA1(,0)sgn()001(0,)xxxxAxfxfxxxx)(lim)(lim002、极限、左右极限的关系定理:例3、对于符号函数讨论点x=0处的极限。101()21xfxxaxx例4、求常数a,使函数在x=1处的极限存在。14四、自变量趋于无穷时函数的极限1、定义:0,0,X如果对任意给定的()xXfxA当时，则称x趋于无穷大时，f(x)以A为极限，lim()xfxA记作sinxxx观察函数当时的变化趋势15:xAxfXx)(时，当)(x)(Xx))(lim(AxfxAxfxfxx)(lim)(lim00XAxfx)(lim2、定义:则称x趋于正无穷大时，f(x)以A为极限，（负无穷大）lim()xfxA记作定理:163、几何解释:xxysinXXA当x-X或xX时，函数y=f(x)图形完全落在以直线y=A为中心线，宽为2ε的带形区域内。17例5、证明sinlim0xxx()2arctanlim()xfxxfx例6、求1lim1xxxxx例7、求18五、无穷小量与无穷大量,00,)0(X00xx当)(Xx,)(xx)0)(lim(xx(一)无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。对于函数：()lim()0xx若()x则称在相应的变化过程中，为无穷小量。1、定义0xx则称α(x)当（当）时的无穷小量0)(lim0xxx记作19Axfx)(lim)()()(xAxf2、无穷小量与函数极限的关系定理：()x其中α(x)是当时的无穷小量3、无穷小量的运算性质1）有限多个无穷小量的代数和是无穷小量；无穷多个无穷小量的代数和是如何呢？2）有界量与无穷小量的乘积是无穷小量；3）两个无穷小量的乘积是无穷小量；（可推广到有限多个）思考：两个无穷小量之比将会出现什么情况？200M0)0(X00xx当)(Xx()fxMx))(lim(xfx(二)无穷大量是个绝对值无限增大(趋于∞)的变量(变化趋势)对于函数：（无论多么大），总0xx则称f(x)当（当）时的无穷大量0lim()xxfx记作正无穷大量)(lim)(0xfxxx负无穷大量)(lim)(0xfxxx21(三)无穷小量与无穷大量的关系)0)((0)(lim)(xfxfx)(1lim)(xfx安康鱼定理：关于无穷大量的讨论都可归结为无穷小量的讨论。意义：22结论:mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当0lim00110110000,0,ab当m和n为非负整数时有23ACxoBD六.两个重要极限(0)2AOCxx,sinBDx,xAB,tanACx0sinlim1xxx1、证明：sin0xxx函数对于一切都有定义，作单位圆，记圆心角AOC作点A的切线，得.扇形AOB的圆心角为AOBx，的高为BD，AOB又AOB扇形AOC即12OAABACOA2112OABD24xsin1sincosxxx)(xxtanxxxxxxsintansinsinsinsin(0)x：两边除以11sincosxxx即(,0)2x上式对于也成立；0limcos1xx再证)2,0()0,2(x0(0)x2sin22x222x22x01cosx有0lim(1cos)0xx0limcos1xx0sinlim1xxx)2,0()0,2(x250sinlimsinxmxnx例8：求()0sin()lim1()结论:注意：（）中的变量、函数必须相同且为无穷小量。1limsinxxx例9：求201sinlimsinxxxx例10：求30tansinlimxxxx例11：261xxxxxx11111lim(1)xxex2、证：1lim(1)xxex1）先证对于正实数x，有1x当时，1)11()11()111(xxxxxx即1lim(1)nnen利用得xxx)111(lim11)111()111(limxxxxe同理可得11lim(1)xxx11lim(1)(1)xxxxe27exxx)11(lim由夹逼性得1lim(1)xxex2）再证yxyx)11()11(yyy)1(yy)111(yx令xy当时，yyxxyx)111(lim)11(lim)111()111(lim1yyyyeexxx)11(lim)1()1(lim10xyeyoryy28e)()()(11lim结论:注意：（）中的变量、函数必须相同且为无穷大量。24lim(1)xxx例12：求2620lim13xxx例13：求2lim()2xxxx例14：求29综合练习3、求lim(sin1sin)xxx1、设，求0tan3lim.(2)xxfx0()1lim2xfxx2、求limtttxxtx304、求242lim3xxxxx5、问当时，下列函数极限是否存在？3x1323sin(3)3()313xxxefxxe