复旦大学高等数学课件04连续函数1-4

1§4连续函数＊现实世界中”连续不断”的现象在数学上的反映，就是函数的连续性。＊函数连续的直观意义：当自变量在某点处有微小变化时，函数也在此点处有微小的变化。＊微积分讨论的对象主要是连续函数或只有个别间断点的函数。2一、函数在一点的连续性0xxx设)()(0xfxfy而1、函数的增量xy00xxx0)(xfyxyxy00xxx0xy)(xfy),(0xUx设函数f在有定义，0(,)Ux0x，称为自变量在点的增量，x称为函数f(x)相应于的增量。3)()(00xfxxfy0lim0yx如果002)lim()()xxfxfx3)0,0，)()(0xfxf00(,)4)()nnnxUxxxxn)()(lim0xfxfnn2、定义0xxx时当0xx)),((0xUx1）设函数f在有定义，0(,)Ux则称函数f在x0处连续，或称x0是f的连续点。40xxaa1,1lim00''aaxx'0,0,0',0xxx即00xa’对于'10xxa100xxxaa),(0xUx0xa),(0xUx0xxaa),0('Ux0'1'xa10xxa0()(1)(,)xfxaax例1、证明在连续证：0,0,即证由连续的等价定义得0xxaa'0xa100xxxaa),(0xUx00xxaa0()(1)(,)xfxaax在连续。53、性质0x1）如果函数f和g在处连续，则两个函数的和f+g差f-g积fg0(()0)gx商fg在x0处连续，证：)(0xCgf、)()(lim00xgxgxx)()(lim00xfxfxx)()(lim0xgxfxx)()(00xgxf)(lim)(lim00xgxfxxxx同理可证积商。∴f±g在x0处连续，6)()(lim)(lim00xQxPxfmnxxxx)(0xf)()(00xQxPmn()()()()()nnmmPxfxPxQxQx例2、设，其中和分别为0()0,mQxn次和m次多项式，且对于常数函数f(x)=C与函数g(x)=x，容易0fx在处连续。解：从定义证明其连续性，然后由连续的四则运算法则可以得到：7)(0)(xCxgu)()(lim00xgxgxx)(lim0xgfxx)(0uf)(0xgf)(0xgfgDx0fDxgu)(00)(lim0ufuu2）设有函数f和g，如果g在x0连续，f在u0连续，0fgx则在处连续。证：00limxxuu即00()()yfuugx又在处连续0fgx则在处连续。8二、函数的间断点003)lim()()xxfxfx函数f在x0连续的三个条件：1）f(x)在x=x0有定义0lim()xxfx2）存在（有限）缺一不可1、间断点的定义函数f在x0连续的三个条件中有一个不满足，则称函数f在x=x0处不连续即间断，并称x0为f(x)的间断点（不连续点）.间断点有第一类、第二类间断点。9oxy112xy1xy22、第一类间断点1）可去间断点x0定义0lim()xxfx存在，但00lim()()xxfxfxorf(x0)无意义。1111012)(xxxxxxf例3、讨论函数在x=1处的连续性。解：)(lim1xfxxx2lim12)(lim1xfx)1(lim1xx2)(lim1xfx1lim()xfx1lim()xfx210)1()(lim1fxfx(1)1f而()fx在x=1处不连续，为可去间断点。可去间断点可对间断点补充或调整使之连续。注意若x=x0是f(x)的可去间断点，可构造)(lim)()(0xfxfxFxx0xx0xxF(x)在x=x0连续。(1)2f如上例，令201()11xxfxxx则在x=1处连续。oxy1121121arctanlim0xx21arctanlim0xx2）跳跃间断点x0定义00lim(),lim()xxxxfxfx存在，00lim()lim()xxxxfxfx但1()arctanfxx例4、在x=0处不连续。解：01limarctanxx不存在，∴f(x)在x=0处不连续。12oxy0)(lim0xfx)(lim0xfx3、第二类间断点1）无穷间断点x0定义0xx当时，f(x)的左右极限至少有一个无限地增大。10,()0,xfxxxx例5、讨论函数解：在x=0处的连续性。∴x=0为f(x)的无穷间断点。13xy1sin2）振荡间断点1()sinfxx例6、讨论在x=0处的连续性。解：∵在x=0处无定义，01limsinxx且不存在，∴x=0为第二类振荡间断点。14可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x15223(1)(3)()xxxxfxxaxa＝41)3)(1(lim)(lim11xxxxfxx223()xxfxxa例7、求的间断点（a为常数）解：1,3lim()xaafx1）当时，∴x=a是无穷间断点；2231()1xxafxx2）当时，∴x=a=1是可去间断点；2233()3xxafxx＋3）当时，43)3)(1(lim)(lim33－＋－－xxxxfxx∴x=a=-3是可去间断点。16三.区间上的连续函数)()(lim00xfxfxx),(0xUx)()(lim00xfxfxx),(0xUx1、定义f(x)在x0左（）连续，右定义定理：f(x)在x0连续f(x)在x0既左连续又右连续。17lim()()xafxfalim()()xbfxfb2、定义区间上的连续函数1）f(x)在(a,b)连续定义0(,)xabf(x)在处连续。2）f(x)在[a,b]上连续定义f(x)在(a,b)内连续，且在x=a是右连续在x=b是左连续连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。18定理:)()(lim00xfxfxx一切初等函数在其定义区间内都是连续的。一切初等函数函数在某点连续的所有性质同样适合于函数在区间上的连续。例8、求2lim(sin1)xInx19)(lim0xgfxx)(limufau)(af)(lim0xgfxx0(1)limxInxx例9、求0lim(),xxgxa一般地，若而函数f(x)在u=a处连续，则20四.闭区间上连续函数的性质1、有界性定理,()abfxC设f(x)在[a,b]上有界0,,,()MxabfxM即开区间上的连续函数呢？2、最大最小值定理,()abfxC设f(x)在[a,b]上必能取到其最大值和最小值，即必12,,,ab)()()(12fxffbaxxff,)(max)(1baxxff,)(min)(2ab21xyo)(xfy21xyo2)(xfyxyo)(xfy211开区间上的连续函数呢？在闭区间上有有限个间断点呢？22ab321xyo)(xfy0)(f3、零点存在定理,()abfxC设()()0fafb且,,ab至少一点几何解释()yfx连续曲线的两个端点位于x轴的两侧，则曲线弧与x轴至少有一个交点。23例11、试证实系数三次方程必有实根。例10、证明在(1,2)内有一个实根，310xx并求出其近似值，使误差不超过110.24MBCAmab1232x1xxyo)(xfybaxxfm,)(minbaxxfM,)(max()fc4、介值定理,()abfxC设,,cmM则对,ab至少几何解释()yfx连续曲线yC与水平直线至少有一个交点。25证：由最值定理，12,[,],ab12(),();fmfM不妨设12,(,),cmM对作辅助函数()()xfxc12[,](),xC且11()()0,fc22()()0,fc由零点存在定理，至少一点12(,)(,),ab()0,则().fc26五.无穷小量在极限中的运用lim()lim()0xx)1,0(AA定理：(),()xx设在某一变化过程中均为无穷小量，即()()lim0()xxx1）若()()xx则称比高阶的无穷小量；()()lim()xxAx2）若()()xx则称与同阶的无穷小量；3）若()()lim1()xxx()()xx则称与等阶的无穷小量。记为()~()xx记为()(())xox记为()(())xOx27)0(~)1(.2xxxIn)0(~1.1xxex01limxxex例11、计算结论：011limnxxx例12、计算28,~sinxx,~)1(xxInxnxn1~11,~tanxx,~1xex(1)1~xx)0,0(x结论：更一般地，综上所述：当x→0时，注意：等价≠相等211cos~,2xxsin~,arcxxtan~,arcxx31tansin~,2xxx(1)1~xx(0)29例15、计算22tan5201limxxex201cos()limsin(3)xxxxx例13、计算30sintanlimsin()xxxx例14、计算3020sin2limarctan3xxxx例16、计算例17、计算11lim1nmxxx31例18、求极限20sin(11)lim(1)1xxxx求极限322201314limsin3xxxx思考：32七.曲线的渐进线1limlim[()()]xxfxaxbx00)(lim)(limxbaxxfxxa1、定义：lim[()()]0xfxaxb若则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的渐近线。2、如何求渐近线设y=ax+b是渐近线()()limxfxaxbx则()limxfxax即33xxfax)(limlim()xbfx)(lim0xfxx))(lim)(lim(00xforxforxxxx])([limaxxfbxlim[()()]0xfxaxb再由lim[()]xbfxax得1）当a=0时，y=b是y=f(x)的水平渐近线；2）y=f(x)的垂直渐近线呢？（与x轴垂直的渐近线）曲线y=f(x)以x=x0为垂直渐近线34arctanyxx例19、求的渐近线sinlim(1)xxxx例20、求的渐近线35六.极限计算方法的小结1、代入法利用函数的连续性、初等函数定义域内的连续。2、对函数初等变换，然后利用极限的四则运算法则3、利用两个重要极限4、利用无穷小量的性质5、利用等价无穷小替代方法6、利用左右极限7、利用L’Hospital法则求未定型的极限8、利用夹逼性、单调有界数列必有极限等定理36综合练习21tan0limcosxxx1、求2、求1tan012sinlim1sinxxxx373、求limtttxxtx4、求cot0lim[