复旦大学高等数学课件07微分的概念与运算2-3

§3微分运算1一、基本初等函数的微分公式dxxfdy)(对可微函数y=f(x)，其微分1）基本初等函数的微分公式（p67）由求导公式和求导运算法则，可直接得到如下微分公式和微分运算法则。2）微分运算法则1.()dfg()()dfdgdfdg2.()dfggdffdg,设f和g均是可微函数，是常数，则23.()fdg)0(g2gdffdgg4.()dydxfx1[()]fydy5.[(())]dfgx()()fugxdx3二、一阶微分形式的不变性dtttf)()]([()()dyftdtdxxf)(dxxfdy)(()fx设函数y=f(x)有导数1）若x是自变量，则2）若x是中间变量时，即另一变量t的可微函数()xt函数，则所以，无论x是自变量还是中间变量，函数y=f(x)的微分形式dxxfdy)(始终保持不变。42(1)xyInedy例1、求例2、对于y=f(x)求2.dy5例3、设，求arctan(1)xyetandydx例4、设y=f(x)由方程确定，求dy.23sin3xxyxy6三、隐函数求导(,)0Fxy22221,xyab02cosInxyxy显函数：函数y可用变量x的方程来表示y=f(x)隐函数：y与x的关系不易或不能相互显表示，而是由一个解析式表示如：隐函数的F(x,y)=0求导法则：用复合函数求导法则同时对方程两边求导。7cos20xyInxyy例5、求33(,)22333xyxy例6、设曲线C的方程为，求过C上点的切线方程，并证明曲线C在该点的法线通过原点。441xxyyy例7、求在点(0,1)处的值。8四、参数方程求导],[)()(ttytx平面直角坐标系中，一般曲线可以用参数给出，确定y与x间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。22tytx例8、求y9dtdxdtdydxdy)()(tt问题：消去参数困难或无法消去参数时，如何求导？()()xtyt设在方程中，()0,t(),()xtyt若函数都可导，且则曲线的切线的斜率：(),()xtyt若函数二阶可导，()()dtdtdttdx2()()()()1[()]()tttttt22dyddydxdxdx则1033cossinxatyat例9、求由方程表示的函数的22dydx例10、设曲线由极坐标方程所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线()rrre上点处的切线的直角坐标方程。2,2e11思考题)()(ttyx，可知对吗？设由)()(tytx，)()(ttyx)0)((t12五、微分的应用00xxxxdyyxxf)(01、近似计算2）函数的近似值0()0fx若y=f(x)在点x0处的导数，x且很小时，1）函数增量的近似值f(x)在点x=x0附近的近似值由微分定义可知：)()(00xfxxf)()(0xoxdfxxxxf)(0的高阶无穷小xxxfxfxxf)()()(00013xxfxfxxf)()()(000xffxf)0()0()(3）f(x)在点x=0附近的近似值00xxx令常用的近似公式x（很小时）11)11nxxn2)sinxx（x为弧度）3)tanxx（x为弧度）4)1xex5)ln(1)xx14注意：0()xorxx0,x1）正确选择x0和，原则上所选0()xorxx00()()fxfx、使易计算，相应的尽可能的小。x2）自变量增量可取负值。例11、计算的近似值。3998.5例12、计算的近似值。315微分的真正作用是“自然规律的数学表示”，也即“自然规律的数学模型”。例13、矩阵水闸门的压力研究求水利工程中，矩阵闸门上的总压力。F0xxxbh2、微分的实际应用163、误差估计1）绝对误差如果某个量得精确值为x，它的近似值为x0，0xx那么为x0的绝对误差。2）相对误差000xxxx绝对误差与的比值为x0的相对误差。在实际问题中，精确值x是不知道的，故绝对误差、相对误差无法求得，只能根据测量仪器的精度等因素，设法确定误差的范围，0xxx称为绝对误差限，x170xx为相对误差限。微分运算提供了：先测量x的值，再根据关系式y=f(x)来计算y，这就要求根据x的误差范围估计y的误差范围的估计方法。dyyxxf)(0xxf)(00()yxfx取)()(000xfxfyxy0000)()(xxfxfxx*000*)()(xyxfxfx182.410.005,例14：正方形边长为米求出它,的面积并估计绝对误差与相对误差。