复旦大学高等数学课件05导数的概念2-1

1第二章微分与导数2§1微分与导数的概念微分的原始思想在于寻找一种方法,当因变量的改变很微小时,能够精确而又简便地估计出这个改变量。实例：求第一宇宙速度设某时刻卫星处于地球表面附近的点A（见图）其运动速度沿圆周切线方向，一秒钟后，卫星受运动到点C，求：维持卫星作环绕地球的飞行所需的最低速度v.一、问题的提出BoAC3BoACOA和OC近似地取为地球的平均半径BC为自由落体在第一秒飞过的路程，即2114.9()2BCgm点O、B、C大致在一条直线上，故6371000m，解：AB长度为卫星的最小飞行速度的大小。222(63710004.9)6371000AB显然，计算量甚大，即使用计算机（字长较短）计算也可能产生误差。将上式改写为22263710004.94.9AB可见第二项远远小于第一项，以至于可忽略不计。所以，把计算简化为：2263710004.97.9ABkm维持卫星作环绕地球的飞行所需的最低速度：7.9/vkms420xA0x0xxx2)(xxx0xx02020)(xxxA20)(2xxx2AB对作几何解释：0x作一个边长为的正方形，当边长由变0xOAxBC，记其面积为，20Ax这就是微分概念。0xx化到，x的线性函数)(xo（高阶无穷小）02xAxx时，用近似代替，2Axx即此式有两个优点：1)2xxx是的一次线性函数，便于计算；2)x2Axx当很小时，与的误差有良好的精度。5二、微分的概念)()()(xoxkxfxxfxkxdforxkdy)(1、定义(,)Ux设函数y=f(x)定义于，如果存在常数k，kx则称函数f在x处可微，且称为y=f(x)在x处的微分。记作说明：()xkkx1）k仅与x有关而与无关，x2）dy是的线性函数()ydyoxx3）是比高阶无穷小ydyx4）当很小时，dyy是的线性主部。6dykdx2、定理设函数f在x处可微，则f在x处连续。记作dy或df(x);则微分关系式为：如果函数f在区间(a,b)中每一点处均是可微，则称f是(a,b)上的可微函数。当f(x)在x处可微且时，0x将称为自变量的微分，记作dx;x将的线性主部k(x)dx称为因变量的微分，y7三、导数的概念若f(x)在x处可微，()ykxox则有关系式即(1)ykox∴k是因变量的增量与自变量的增量之比的极限。81、定义设函数y=f(x)在内有定义，0(,)Ux则称这个极限值为y=f(x)在点x0处的导数。0xxy记为000()()limxxfxfxxx等价定义即xyyxxx0lim00limxyxxxfxxfx)()(lim000如果极限存在，,0xxdxdy,)(0xf也可记为如果上述极限不存在，函数y=f(x)在点x0处不可导（不可导的原因很多）.0().xxdfxdx可导和可微都是研究关于变化的性态，yx它们之间必然有本质的联系。9”“)(xoxkyxxokxy)(k()kfx定理：函数f在点x可微f在点x可导证：∵f(x)在点x可微00()limlimxxyoxkxx则即函数f(x)在点x可导，且”“∵函数f(x)在点x可导，)(lim0xfxyx()yfxx即)0()()(xxxfy)0(0x)()(xoxxf由微分定义，函数f在点x可微，且()kfx)(xfk∴可导可微10dxxfdy)(()dyfxdx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商为该函数的导数。所以导数也叫微商。所以求函数的微分可归结为求该函数的导数。21sin0()(0)00xxfxfxx求：例1、112、导函数如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，此时函数f(x)对于(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，即构成一个新的函数，称为f(x)的导函数（简称导数），即y=f(x)在(a,b)内可导。记为,y,)(xf,dxdy)(xfdxd0()()limxfxxfxyx即),()(:baxxfxf导函数0)()(0xxxfxf结论12)(0'xf)(0'xf3、单侧导数1）点x0的左导数000()()limxfxxfxx若存在，'0()fx即为f(x)在点x0的左导数，记为；2）点x0的右导数000()()limxfxxfxx若存在，'0()fx即为f(x)在点x0的右导数，记为.结论：0()fx存在00(),()fxfx存在且相等134、可导与连续的关系f(x)在x0可导f(x)在x0连续f(x)在x0必不可导f(x)在x0不连续说明:f(x)在x0可导?f′(x)在x0连续10()100xxxfxex例2、讨论在x=0的可导性14四、导数的意义1、变化率、变化速度1）t0时刻质点运动的瞬时速度：是因变量y在点x0处的变化率，反映了y随自变量x的变化而变化的快慢程度。Newton第二定律：Fma在匀速的情况下，vat速度的定义是svt什么是变速直线运动的（瞬时）速度？加速度的定义是15速度问题时间：00(0)tttt路程：00()()ssttst在该时间段内的平均速度：00()()sttstsvtt令0t取极限，得到时间t0的瞬时速度00000()()()limlimttsttstsvttt重要的数学模型——导数)(0ts这就是导数的物理意义。时间t0的瞬时加速度也就解决了。162）设t时刻细菌的总数N(t)，则在时段00[,]ttt中细菌数的变化量为00()(),NNttNtNt是细菌在该时段的平均增长率，当时，其极限0t00lim()tNNtt为t0时细菌的瞬时增长率。17均匀不均匀速度svtdsvdt加速度vatdvadt电流强度qitdqidt线密度mldmdl角速度tddt18数学上统称为函数的变化率。种群的生长率和死亡率；放射性物质的衰变率；用导数来度量某个量的变化速度、变化率，在实际应用中是很多的。如：经济函数的变化率（边际成本、边际收益、边际利润等）；资金流动比率，人口学中的人口增长速率；物理学中的光、热、磁、电的各种传导率；化学中的反应速率等等。19例3、某商品的生产量为q时，生产总成本为C(q)，导数C’(q)称为边际成本，记为M(q).即(1)()()'()(1)CqCqMqCqqqM(q)的经济含义：当产量为q时，再多生产一个产品所多花的成本；也就是生产第q+1个产品的成本。200xxoxy)(xfyC0PTMQPyx0PPTPPP00tanKtanlimxyx0lim)(0xf2、导数、微分的几何意义曲线上某一点处的切线斜率——导数的几何意义P0的切线斜率切线方程))((000xxxfyy)()(1000xxxfyy法线方程210xxtan)(0xfKoxy)(xfyC0PTMQPyxdyxxfMQ)(0xxfdy)(0y当是曲线的纵坐标增量时，切线纵坐标对应的增量——微分dy几何意义22例4、求椭圆上任一点处22221(0)xyabab00(,)xy的切线方程；并由此证明：从椭圆一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，必经过它的另一个焦点。0xya-ab-b-cc(x0,y0)12345