复旦大学高等数学课件08微分学中值定理2-4

1§4微分学中值定理微分和导数是讨论小增量的有效工具。微分中值定理是研究宏观增量、函数特征的一个有力工具，不仅是微分学中最重要的结论之一，而且在积分学、级数理论等以高等数学为基础的许多后续课程中，发挥着重要的作用，也是研究问题的重要辅助手段。xabx1x2xx02一、函数极值和Fermat定理))()((0xfxf0()Ux设有函数f，如果在中的一切x，0()()fxfx恒有成立，则称x0为函数f的局部极大值点，（小）简称极大值点；（小）称f(x0)为函数f的局部极大值，（小）简称极大值。（小）注意：极值是局部的概念，只取决于点x0邻近f的形状；在(a,b)内，f的极小值完全可能大于其极大值；f在(a,b)中极值点可以有无数个。3Fermat定理：设点x0是函数f的一个极值点，且f在x0处可导0()0fx则必有.证：00(,)()()Uxfxfx，不妨设在内，0)()(00xxxfxf当xx0时，00()()0fxfxxx当xx0时，00)()(lim00xxxfxfxx)(0xf00)()(lim0xxxfxfxx00)(0xf4Fermat定理的几何意义若曲线f(x)在其极点处可导，或者说在该点存在切线，那么这条切线必定平行于x轴。二、Rolle定理设函数[,],abfC在(a,b)内可导，且()()fafb(,),ab0)(f则至少存在一点几何意义：满足定理条件的函数至少有一点C，在该点处的切线平行于x轴，也与曲线两端点的连线平行。ab12xyo)(xfyC5[,]()abfxC0)(xf),(ba)()(bfaf又在处可导，f()0;f证：必有最大值M和最小值m，1）若M=m,则f(x)=M()0;f都有Mm2）若∴最值不可能同时在端点取得(),Mfa设(),Mf不妨设(,)Mab即内，()Mfb当然则()()(),Mffafb由极值点的定义，(,)ab显然是极大值点，由Fermat定理，()0.f6)()()]()([222fbabfaf[,]()abfxC例1、设在(a,b)内可导，a0，则在(a,b)内至少存在一点，[0,1](),fxC例2、设且[0,1](),fxD(0)(1)0ff11,2f证明:(0,1),()1f7三、微分学中值定理))(()()(abfafbfab12xxoy)(xfyABCDNMLagrange中值定理设函数[,],abfC在(a,b)内可导，(,),ab则至少存在一点几何意义：一点C，在该点处的切线平行于弦AB.在曲线弧AB上至少有)()()()()(axabafbfxfx作辅助函数证:显然[,](),abxC在(a,b)内可导，且()()afa)()(afb8()0∴由Rolle定理可知(,),ab则至少存在一点()()()()0fbfafba即ababff)()()())(()()(abfafbf)())(()()(abfafbf()()[()]()fbfafababa)(10()()()fxxfxfxxx)(10公式均为Lagrange)(,)(,)(xaxba记9))(()()(0101xxfxfxf10xx0)()(01xfxf推论1设f是(a,b)上的可微函数，(,),()0xabfx对任何则f在(a,b)上恒为常数。证:01,axxb对由Lagrange公式()0fx又10()()fxfx即∴f(x)恒为常数。10)()()(xgxfxF)(gf0CxF)(Cxgxf)()(推论2设f和g均是(a,b)上的可微函数，则必有常数C，,fg且由推论1在(a,b)上恒成立。()()()Fxfxgx令()()fxgxC即证:利用中值定理可证明一些不等式。11xInxxInx1)1(11例3、证明当x0时，例4、求极限lim[arctanln(1)arctanln]nnnn四、柯西中值定理()0,gx)()()()()()(gfagbgafbfCauchy中值定理设函数f和g均是[a,b]上连续，在(a,b)内(,),xab可导，且(,),ab则至少存在一点几何意义：在该点处的切线平行于弦AB.在曲线弧AB上至少有一点，((),())Cgfxoy()()xgtyft()ga()gbAB1()gC2()gD()gxNM1213)]()([)()()()()()(agxgagbgafbfxfx)()(afb0)(0证:作辅助函数显然[,](),abxC在(a,b)内可导，()()afa且由Rolle定理，(,)ab至少存在一点,()()()()()()fbfafggbga即即等式证得。14()2[(1)(0)]fff例5、设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0,1)证明至少存在一点，使