复旦大学高等数学课件09L'Hospital法则2-5

1§5L’Hospital法则我们已经知道两个无穷小量、两个无穷大量之比这类极限有的存在，有的则不存在，通常把这一类极限称为“未定型”的极限。此类极限不能直接运用“商的极限等于极限的商”.本节介绍的L’hospital法则就是处理这类不定型极限的有效方法。2一、不定型主要有以下几种形式型、000型、型、型、型、00型、01型，00其中型、型为最基本的不定型，其它不定型均可化为这两类不定型。3二、L’Hospital法则型0000lim()lim()0xxxxfxgx)()()(lim0orxgxfxx存在定理：0()xU设1）函数f、g在内有定义，且0()xUfg、2）在这个内，存在（x0除外），()0gx且0()lim()xxfxgx3）存在（or），0()lim()xxfxgx则40010)()(xxxxxgxg00)(xxxUx)()()()()()(00xgxgxfxfxgxf)()(gf)()(lim)()(lim00gfxgxfxxx)()(lim0xgxfxx证：0010)()(xxxxxfxf设在[x0,x]上，11()()fxgx、满足Cauchy中值定理0(,),xx∴必存在一点0xx0x当时，5注意：)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx)()(lim0xgxfxx1）定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的极限存在或为；2）定理的结论是：函数之比的极限等于导数之比的极限；0()lim()xxfxgx()()fxgx、3）若还是未定式，且满足定理中对f(x)、g(x)所要求的条件，则可继续使用法则，直到不再是未定型为止。00(,,,)xorxx4）当结论仍成立。60002limsinxxxeexxx例1、求011limln(1)xxx例2、求7三、L’Hospital法则型00lim()lim()xxxxfxgx0()xU定理：设1）函数f、g在内有定义，且0()xUfg、2）在这个内，存在（x0除外），()0gx且0()lim()xxfxgx3）存在（or），)()()(lim0orxgxfxx存在0()lim()xxfxgx则00(,,,)xorxx当结论仍成立。80lncotlimlnxxx例3、求例4、求1lim(1)xxx90xxxlnlim同理说明ln,,xxxex当时，但它们趋于的速度有快由慢。依次是：指数函数，幂函数，对数函数。oxyxylnxyxeylim(,0)xxxe例5、计算10四、其他不定型的极限10100000或通过适当的恒等变形将其化为基本型，再用L’Hospital法则来求极限。0型1limlnln(1)xxx例6、求1101010000型011lim(cot)xxxx例7、求120001换底或取对数0000,1,型1ln0lim(cot)xxx例8、求)(0即求()lim()gxfx()()ln()lim()limgxgxfxfxelim()ln()gxfxeln01ln0ln0即1lnlimarctan2nnn例9、求13说明021lim6(1)xxxxxxeeee例10、求有效，使用前宜先约去可约因子，特别是极限不为零的因子，宜将确定后的极限值提到极限号外，可简化运算过程。1）L’Hospital法则是求未定型极限的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用（尤其是等价方法）更142）L’Hospital是求未定型极限的一种有效工具，但不是万能的，有时会失效。limxxxxxeeee例12、求21limsinnnnn例11、求150x3）当时，出现11sin,cos;xx201sinlim1xxxxe例13、求均不宜用L’Hospital法则。x或当时，出现sin,cos;xx4）进行恒等变形或变量代换，以简化计算。210000limxxex例14、求16综合练习211lim(arctanarctan)1nnnn1、求2、求1ln20lim(tan)xxx3、设存在，求()fx20()()2()limhfxhfxhfxh17思考题设是不定型极限，()()fxgx如果的极限不存在，()()fxgx是否的极限也一定不存在？举例说明。()()fxgx