复旦大学高等数学课件10Taylor 公式2-6

1§6Taylor公式00lim()()xxfxfx一、问题的提出)()(0xfxf0000()()()()0()fxfxfxxxxx1、设f(x)在x0处连续，则0()()fxfx即2、设f(x)在x0处可微，则000()()()()fxfxfxxx即2xeyxy1oxeyoxy)1ln(xy精确度不高误差不能估计例如，当很小时，x1xexln(1)xx3寻找函数P(x)，使得()()fxPx且误差R(x)=f(x)–P(x)可估计。由于多项式是一类比较简单的函数，故往往用其近似代替复杂的函数作运算。二、带Peano余项的Taylor公式函数f在x0处n阶可微，试找出一个关于x-x0的n阶多项式nnxxaxxaxxaa)()()(0202010使此多项式与f之差是比(x-x0)n高阶的无穷小。4000()()(())()niniifxaxxoxx)])(()([lim)(lim00000niniixxxxxxoxxaxf)(0xf))(()()()(1010100niniixxoxxaxxxfxf0a)])(()([lim)()(lim101010000niniixxxxxxoxxaxxxfxf假设成立着：讨论多项式f(x)各项的系数ai与f(x)的关系（）代入式，移项后得10)(axf5))(()()())(()()(2020220000niniixxoxxaxxxxxfxfxf)])(()([lim)())(()()(lim202022000000niniixxxxxxoxxaxxxxxfxfxfHospitalL)(2)()(lim000xxxfxfxx)(210xf2ankxfkakk,,1,0)(!10)(01aa、（）把代入式，移项后得依此类推可得6定理：))(())((!1)(000)(0niinixxoxxxfixfiinixxxfixfxR))((!1)()(00)(00)(0xR0)(0xR(1)0000()()()()0nRxRxRxRxnxxxxxR)()(lim00010()lim()LnxxRxnxx020()lim(1)()LnxxRxnnxx0(1)0()lim!()nLxxRxnxx)(!)()(lim00)1()1(0xxnxRxRnnxx()01()0!nRxn))(()(0nxxoxRTaylor系数设函数f在x0处n阶可导，则称为f(x)在x=x0处带Peano余项的Taylor公式。证：记同理可得()10011()()()()(1)!niiiRxfxfxxxi7三、带Lagrange余项的Taylor公式)())((!1)(00)(0xRxxxfixfniini10)1())(()!1(1)(nnnxxfnxR系数Taylor用来估计绝对误差定理：设函数f在含x0的开区间(a,b)内有n+1阶导数，0(,)(,)xabxx，则，成立称为带f(x)在x=x0处Lagrange余项的Taylor公式。8四、Maclaurin公式)(!)0()0()0()()(nnnxoxnfxffxf1)1()()!1()(!)0()0()0()(nnnnxnfxnfxffxfx0nnxnfxffxf!)0()0()0()()(近似公式：9)(!!2!112nnxxonxxxe)(!0nniixoix35212sin(1)()3!5!(21)!nnnxxxxxoxn24221cos1(1)()2!4!(2)!nnnxxxxoxn)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx)()1(!432)1ln(1432nnnxonxxxxxx常用的Maclaurin公式（带Peana余项）10例1、求f(x)=lnx在x=e点处的Taylor公式。20sin(1)limtanxxexxxxx例2、求结合Taylor公式求极限2220sincoslimtanxxexxxxx例3、求