复旦大学高等数学课件11函数的单调性和凸性2-7

1§7函数的单调性和凸性函数的导数描述了函数局部的变化形态（函数变化的快慢），本节将在微分中值定理的基础上，以导数为工具，从整体上研究函数的变化状况。2一、函数的单调性定理：0)(),(xfbax)0)((xf),(,baxxxxxxxfxfxfxx)()(lim)(0设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f在[a,b]上单调增加（单调减少）成立。证：设f在[a,b]上单调增加()()0fxfxxx有∵f在(a,b)可导，xyo)(xfyabAB0)(xf3],[,21baxx),(ba))(()()(1212xxfxfxf0)()(12xfxfxyo)(xfyabBA0)(xf()0fx设在(a,b)内12xx假设由微分中值定理即f单调增加。4结论：)0)((xf如果函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，(,)()0xabfx且有则f在[a,b]上严格单调增加。（严格单调减少）求函数单调增减区间的步骤1）求出f的Df及间断点()0()fxfx2）求出和不存在的点3）上述各点将Df分成若干区间()fx4）在此区间上确定的符号，从而判断在此函数的单调性。可列表讨论。52133()(2)fxxx例1、讨论函数的单调性3sin6xxx例2、证明当x0时，().aaxaxa例3、设x0ae，证明6二、函数的极值注意:驻点：()0fx满足的点。1）极值点2）极值点只可能出现在函数的驻点或不可导点之中。3()fxx例4、，在点x=0的情况。23()fxx驻点7定理(极值第一充分条件)()0fx()0fx(()0)orfx()0fx0()xU设函数f(x)在内连续，且可导（x0可除外），00(,)xx则1）若在时，00(,)xx而在时，f(x)在x0取到极大值，x0为极大值点；()0fx00(,)xx2）若在时，()0fx00(,)xx而在时，f(x)在x0取到极小值，x0为极小值点；0xx3）若在时，f(x)在x0没有极值。8),4()4,2()2,0()0,(ff024min(4)2fxyoxyo0x0x(是极值点情形)xyo0x0xxyo(不是极值点情形)上例1（PPT6）无定义没有极值90()0fx定理(极值第二充分条件)设函数f(x)在点x0具有二阶导数，且0()0fx则1）若时，x0为f(x)极大值点；0()0fx2）若时，x0为f(x)极小值点；0()0fx3）若时，则不能判定x0是否为极值点。证：1）220000001()()()()()()(())2fxfxfxxxfxxxoxx00()0,fx由在x=x0的Taylor公式，2200001()()()(())2fxfxxxoxx20002200()()(())1()()2()fxfxoxxfxxxxx00020()()1lim()()2xxfxfxfxxx10同理可证2）、3）.由保号性得020()()0()fxfxxx0()()fxfx∴x0为f(x)极大值点；例5、求函数在(0,1)内的()(1)nfxnxxnZ极值M(n),并计算lim().nMn111）若为的极值，证明它是极小值；()fx00()(0)fxx2）若为的极值，那么是极大值？极小值？(0)f()fx且满足(,)2()2()[()]1xxfxxfxfxe例6、设函数f(x)在上具有连续的二阶导数12三、函数的最值oxyoxybaoxyabab极值是函数的一种局部性质，而最值是整体性质。且不在端点取到必在此开区间内某极值点上取到。设函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在，经常需要研究如何花费最小代价去获取最大收益的问题，在许多情况下，可归结为求一个函数在某一范围内的最大值或最小值问题。函数的最大值与最小值统称为函数的最值。13说明:最值的求法函数f在[a,b]上取到最值点必是三类点之一：1）f的驻点；2）f的不可导点；3）区间的端点；比较上述点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。21233()(1)fxxx例7、求在[0,2]上的最值。14定理说明开区间上函数f的最值呢？设函数f在(a,b)上具有连续导函数，f只有唯一的零点x0，0()0fx如果，则x0是f的最小值点；0()0fx如果，则x0是f的最大值点。处理实际问题时，如果函数在区间内只有唯一极值点，则这个极值就是最值。15例8、直线y=t(t0)与曲线交于两点A,221xyxB，过A，B的平行于y轴的两条直线与y=t和x轴围成一个矩形，将这矩形绕x轴旋转一周，可得一个圆柱体，求此圆柱体的最大体积。例9、设正数x和y满足x+y=100,n是一个正整数。试证：当x=y时，达最小值，达最大值。nnxynnxy例10、在对污染的测定时，要求与污染源的距离至少1km.当污染源相对集中时，空气受污染的程度与释放的污染量成正比，与污染源的距离成反比（设比例系数为1).现有两相距10km的工厂区A与B,它们释放的污染分别为60μg/ml与240μg/ml.计划在A、B间建一居民小区，问居民小区建在何处所受的污染最小？1617例11、用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料来制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍。问如何确定它的底面积半径和高才能使得用料最省？用同样的方法可以推出，若圆柱形的有盖注意：容器是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省。许多圆柱形的日常用品都是采用这样的比例设计的。18例12、对产品从生产到销售的过程进行经济核算时，至少涉及三个方面的问题：成本、收益和利润。设产量为Q,总成本C(Q)一般可以表示成两部分的和0()()CQCvQQC00称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、财产保险费等），一般认为与产量无关，而称为可变成本（如原材料、能源等），()vQQ()vQ是一个正值函数，表示在总共生产Q件产品时，每生产一件的可变成本。()CQ的导数称为边际成本，其经济意义()CQ是在总共生产Q件产品的情况下，生产第Q件产品的成本。19()()EQpQQ总收益是指把Q件产品销售出去后得到的收入，称为价格函数，表示在总共生产Q件()pQ产品的情况下，每件产品的销售价格。一般说来，生产量越大，每件产品的价格就越便宜，因此是Q的()pQ单调减少函数。()EQ的导数称为边际收益，其经济意义是()EQ在总共生产销售了Q件产品的情况下，销售出第Q件产品所得到的收入。总收益减去总成本便是总利润。将利润函数记为(),PQ则()()()PQEQCQ当E(Q)和C(Q)二阶可导时，得到经济学中的20最大利润原理：当且仅当边际成本与边际收益相等，并且边际成本的变化率大于边际收益的变化率时，可取得最大利润。即()()()0,PQEQCQ()()()0.PQEQCQ21数学建模：用数学技术去解决实际问题，首先必须将所考虑的现实问题通过合理简化，用数学工具将它归结为一个相应的数学问题，这个过程称为数学建模，所得到的数学问题称为数学模型。数学建模中，最重要、最常用的数学工具是微分。22例13、在供水、化工生产等过程中，都有一个对液体进行过滤，除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例，建立数学模型。23四、函数的凸性定义研究曲线的弯曲方向。设f在[a,b]上连续，如果对(a,b)上任意两点x1，x2,)]()([21)2(2121xfxfxxf恒有那么称f在[a,b]内是下凸的；)]()([21)2(2121xfxfxxf如果恒有那么称f在[a,b]内是上凸的。xyoABCx1x224定理xyo)(xfyxyo)(xfyabABabBA0y0y设f在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，若在(a,b)内()0fx1）则曲线f在[a,b]上是下凸的；()0fx2）则曲线f在[a,b]上是上凸的。()fx递增()fx递减252)]()([212121xxfxfxf)]()([2102xfxf)]()([2110xfxf)])(())(([211002xxfxxf)2(210代入用xxx))](()([4112xxff),(01xx),(20xx))()((4112xxf0),()]()([2122121xfxfxxf0)(f证：1202xxx记由微分中值定理再由微分中值定理即下凸26五、曲线的拐点定理定义曲线上凸与下凸的分界点称为拐点。（拐点的判别法）0()xU设函数f在内连续，且具有二阶导数（x0点可除外），()fx1）如果在x0的两侧的符号相反，00(,())xfx则为拐点；()fx2）如果在x0的两侧的符号相同，00(,())xfx则不是拐点。27求曲线的上凸、下凸区间及拐点的步骤：fD1）求曲线f的，()0()fxfx2）求出内和不存在的点，fDfD3）上述各点将分成若干区间，()fx4）讨论其区间上的符号，确定曲线的凸向并求出拐点。例14、讨论的单调性、极值、凸性及拐点。2xye28六、函数图象的描绘利用函数特性描绘函数图形。作函数图形的一般步骤：fD1）确定曲线的，分析其对称性、周期性等；0,0ff2）计算的点及不可导点。3）上述各点将定义域分成若干区间，讨论各部分区,ff间上的符号，确定f的单调性、极值点、上凸、下凸区间以及拐点。4）讨论图形有无渐近线（斜、垂直、水平）。5）标出图形上的特殊点如：极值点、拐点、交点等，根据上述函数的特殊性描出图形。2922()2xxxe00x22(1)(1)()2xxxxe011xxx)1,(),1()0,1(1)1,0()(x)(x00)(x01拐点极大值21)21,1(e0拐点)21,1(e221()2xxe例15、作函数的图形。解：:fD),(偶函数关于y轴对称列表讨论30xxax)(lim2221limxxex0])([limaxxbx2221limxxe02221)(xex得水平渐近线y=0