复旦大学高等数学课件14不定积分的计算3-2

1)()(xfxF§2不定积分显然微分（或导数）逆运算的问题就是：()Fx找一个还函数y=F(x),的导数已知函数一、不定积分的概念1、不定积分的定义：函数f(x)的原函数全体称为f(x)的不定积分。记作CxFdxxf)()(积分常数2)(xF微分运算与不定积分的运算是互逆的.)(xf求导积分2、不定积分法（积分法）:求f(x)的不定积分，只需求一个原函数F(x)，然后加任意常数C即可。这种求已知函数的原函数全体的方法，称为不定积分法。3455xxCxdxx554211arctanxxCxdxxarctan1124xdx例1、求解：211dxx例2、求解：4xdxdy3Cxxf223)()1,2(),(yx5C2352yx例3、设曲线通过点(2,1)，曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的三倍，求此曲线方程。解：设曲线方程为y=f(x),即f(x)是3x的一个原函数2332xdxxC又∴所求曲线方程为5xy0()yFxC不定积分的几何意义：一族积分曲线y=F(x)+C63、基本积分公式:基本积分表)1(1)1(1CxdxxCxxdxln)2(由基本求导公式及不定积分的定义直接推出。Caadxaxxln1)3()1,0(aaCedxexx特别地7Cxxdxsincos)5(Cxxdxtansec)6(2Cxxdxcotcsc)7(2Cxxdxcossin)4(Cxxdxxsectansec)8(Cxxdxxcsccotcsc)9(Cxdxxarcsin11)10(2Cxdxxarctan11)11(2Cchxshxdx)12(Cshxchxdx)13(84、不定积分的性质:1)()()fxdxfxdxxfdxxfd)(])([Cxfdxxf)()(Cxfxdf)()(、2)设函数f和g的原函数都存在，是两个常数，则dxxgxf)]()([dxxgdxxf)()(证：CxGdxxg)()(()()fxdxFxC设.,gGfFgfGF)(CxGxFdxxgxf)()()]()([dxxgdxxf)()(91(2)()xxdxx例4、计算421xdxx例5、计算221sincosdxxx例6、计算2xxedx例7、计算10说明：以上几例被积函数都需要进行适当的变形，才能使用基本积分表。思考题1,0()sgn0,01,0xfxxxx符号函数(,)在内是否存在原函数？为什么？11二、换元积分法xdx2cos问题Cx2sin解决方法利用复合函数，设置中间变量。过程dtdx21xdx2cosdttcos21Ctsin21Cx2sin212tx令12CuFduuf)()()]([)]([)]([xdxFxdFCxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduufdxxxf)()]([在一般情况下：()()Fufu设()ux如果可微由此得到第一类换元法的定理13定理CxF)]([为第一类换元公式（凑微分法）.实质dxxxf)()]([))(()]([xdxfor)]([)]([xdxf()(),fuduFuC设是可微函数dxxxf)()]([则()gxdx凑成某一已知函数的微分形式以便用基本积分公式求得积分。148(32)xdx例8、计算例9、计算24xxdx31xedxx例10、计算211dxx例11、计算15dxaxaxadxax)11(21122Caxaxaln21Cxaxaaxadxln2122同理：可作为一般的常用积分公式可作为一般的常用积分公式161(12ln)dxxx例12、计算221dxax例13、计算解：dxxa221dxaxa22211axdaxa2111Caxaarctan1可作为一般的常用积分公式1721825dxxx例14、计算dxeeexxx11)1(dxeexx1)2(11xdxe例15、计算dxex11解：18213(21)221xdxxx211xdxxx例16、计算解：原式注意：一般地，形如不定积分的方法2AxBdxxpxq例17、计算223xdxxx19221dxax2111dxaxaaxdax211Caxarcsin例18、计算解：原式可作为一般的常用积分公式例19、计算2132dxxxarctan(1)xdxxx例20、计算20注意：利用第一类换元法（凑微分）求不定积分是常用的方法，但需要一定的技巧，如：同加、减一项；同乘、除一个非零代数式；拆项等。且需要选择适当的变量代换，这就要多练习，熟能生巧。21三、第二类换元法?11dxxududx2问题解决方法变量代换方法过程2uxdxx11uduu211ux令再应用凑微分及积分公式即可求出22定理CuGduuug)()()]([CuGduuug)()()]([)()]([)(uuguG)]([1xGdxddxduuG)(dxduuug)()]([dxdududxug)]([)]([ug)(xg1设函数g连续，具有连续导数，存在且可导，而且CxGdxxg)]([)(1则证明：1()ux∴对即证。23实质dxxg)(duuug)()]([CuG)()(ux变量代换用积分公式CxG)]([1)(1xu变量代回()gxdx一开始便对作变量代换，使其简化。由此得到，第二类换元积分法公式：24注意：31(1)dxxx例21、计算解：6xt令当被积函数含有两个或两个以上的,,nklxxxt时，可设（n为最小公倍数）.tx14211dxxx例22、计算解：当分母变量的幂较高时，可设倒代换,251xedx例23、计算换元法解决被积函数中含有三角函数的、或在计算中需三角代换的例子。32sincosxxdx例24、计算26说明：xdxxnmcossinxdxxkm12cossin)(sin)sin1(sin2xdxxkmsincosmnxx当被积函数含有时，1）当m、n中至少有一个为奇数时，关于sinx的多项式2）当m、n都是偶数时，可降低次数，1）2）均是使被积函数与积分变量成为同名函数的方法。27sincosxdxx)(coscos1xdxCxcosln22tan1sinxdxx例25、计算tanxdx例26、计算解：原式可作为常用积分公式Cxxdxsinlncot同理可作为常用积分公式282coscosxdxxxxd2sin1)(sinCxxsin1sin1ln21sec(sectan)sectanxxxdxxxxxxxdtansec)tan(secCxxtanseclnsecxdx例27、计算解：1）原式2）原式可作为常用积分公式Cxxxdxcotcsclncsc同理29说明：221)ax,22t22cosaxat222)ax,22t22secaxat以下几例均使用三角代换消去根式。当被积函数中含有（一般规律如下）sin,xat令tan,xat令223)xasec,xat令3(0,)(,),22ttaaxtan2230tdtadx2sec21secsecatdtattdtseclnsectanttCCaxaax22lnCaxx22lntax22ax221(0)dxaxa例28、计算tanxat令解：∴原式可作为常用积分公式31tdttadxtansecsectantanattdtattdtseclnsectanttCCaaxax22lnCaxx22lntax22ax221(0)dxaxa例29、计算secxat令解：∴原式可作为常用积分公式3221965dxxx例30、计算例31、计算224(0)axdxax解：原式taxtdtadxsin)1(cos说明：积分中为了去掉根式不一定都采用三角代换，需根据被积函数的情况来定。22(2)3axdxxx224axdxx33txdttdx1)3(12224axdxx思考题(ln)(ln1)pxxxdx计算34四、分部积分法?2dxexx问题利用函数乘积的求导法则。解决思路为分部积分公式。设u(x)和v(x)都是连续的导函数，dxuvuvdxvu则vduuvudv即证：vuvuuvvuuvvudxuvuvdxvu即证。意义35步骤化为udv()fxdx1）将积分udv2）利用分部积分公式求2xxedx例32、计算说明：分部积分法的关键在于能否正确地选择u与dv.lnxxdx例33、计算36sinxexdx例34、计算arcsinxdx例35、计算例36、计算2(1)xxedxx372)ln,nxxdx,arcsinxdxxn3)sin,xexdxcosxexdxarctannxxdx等.ndvxdx而两者都可选作u.说明：选择u与v的一般规律如下：1),nxxedx,sinxdxxncosnxxdx等形式,nux一般设sinxdvedxxdx、、而cos.xdxlnarcsinarctanuxxx、、一般设等382sin2xxedx例37、计算2xe().xfxdx例38、已知f(x)的一个原函数为，求例39、计算()xfxdx22xadx例40、计算39五、有理函数的积分定义：说明：凡形如（P(x)、Q(x)为二个多项式）()()PxQx的函数称为有理函数。有理函数的原函数是由有理函数、对数函数和正切函数组成的初等函数。()mPx设P(x)为m次多项式，记为，()nQx设Q(x)为n次多项式，记为，()()PxQx()()mnPxQx即为40假定分子与分母没有公因式，1）mn，此有理函数为真分式，mn2），此有理函数为假分式。任何一个假分式都可化成一个多项式和一个真分式之和。因此，有理函数不定积分的关键是真分式分式之的积分。下面讨论真分式的不定积分：41122()kkAAAxxx（）()()PxQx假设为真分式，分解为：1）若Q(x)有一个k重实根，则可分解为：12,,,kAAA为待定系数；,.2）若Q(x)有一对k重共轭复根2()kxpxq即Q(x)必有因子240pq其中，则分解为kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB)()(22222211(1,2,,)iiBCik、其中为待定系数，当k=1时，分解为qpxxCBx242说明)()kAbxa2)()kBxCcxpxq1k1k1.部分分式方法虽然普遍适用于有理函数的积分，但计算量大，应灵活运用；2.有理函数化为部分分式后，只出现下列三类情况：a)多项式221(1)(1)xdxxx例41、计算