复旦大学高等数学课件17反常积分3-5

1§5反常积分Rieman积分限于处理有限区间上的有界函数，而如果问题涉及无穷区间或无界函数时，就需要把积分概念扩充，这就引出了反常积分。一、无穷限的反常积分定义1设函数f定义于且在任意有限区间[,)a，[a,b]上可积，如果存在，lim()babfxdx则称此极限为f(x)在无穷区间上的[,)a反常积分。记为()afxdx()afxdxlim()babfxdx且称此反常积分收敛，否则称为发散。2baadxxf)(lim定义2(,]b，设函数f定义于且在任意有限区间lim()baafxdx[a,b]上可积，如果存在，(,]b则称此极限为f(x)在无穷区间上的反常积分。()bfxdx记为()bfxdx且称此反常积分收敛，否则称为发散。定义3设函数f定义于，如果f在(,)(,],a[,)a上的反常积分均收敛，则称f在(,)上反常可积（收敛）.记为()fxdx()fxdxadxxf)(adxxf)(且称此反常积分收敛，否则称为发散。32211sin.dxxx例1、计算反常积分例2、计算反常积分0pttedt（p0的常数）.411lim1bpbxppbpb11lim11111ppp11limbbdxxbblnlim1pdxx例3、讨论反常积分的敛散性。解：1p当时，原式当p=1时，原式∴当且仅当p1时，11pdxx收敛，111;1pdxxp且1p当时，此反常积分发散。作为结论。5说明],(b),(adxxf)(babdxxf)(lim)()(aFFbdxxf)(baadxxf)(lim)()(FbFdxxf)()()(FF[,)a一般地，设f在上F是f的一个原函数，则由反常积分和Newton-Leibniz公式得：的反常积分收敛，6例5、计算反常积分2411.122dxxxx例4、计算反常积分2.45dxxx7二、比较判别法对原函数在区间端点的值取极限以确定反常积分的敛散性，在许多问题中并不可行。这是因为原函数不是初等函数的形式是经常发生的。那么是否直接根据被积函数的形式来判定反常积分的敛散性呢?下面介绍反常可积性时最常使用的比较判别法：8定理（比较判别法）[,)a设f和g均是上的函数，且在任何有限区间[a,b]上可积。()()[,)fxgxxa如果()agxdx则当收敛时，(),afxdx()afxdx均收敛；()afxdx当发散时，(),agxdx()afxdx均发散。931cos1xdxxx例6、讨论反常积分的敛散性。10定理0)(limCxfxpx设函数f在上有定义（a0），且在[,)a任何有限区间[a,A]上可积。adxxf)(则发散。（极限审敛法）1,p1)如果()()aafxdxfxdx则和均收敛；1,p2)如果lim()0()pxxfxC或说明lim()0pxxfxC1,p1)如果()0,fx()afxdx则收敛；lim()0pxxfxC1,p2)如果()0,fx()afxdx则发散。112111arcsin2dxxx例7、讨论反常积分3/2211xdxx例8、判别反常积分的敛散性。1ln(1)pxdxx例9、判别反常积分的敛散性。12二、无界函数的反常积分badxxf)(badxxf)(lim0定义10,(,)aa对函数f在中无界，[,]ab在上可积，且0lim()bafxdx存在，则称此极限为f的反常积分，记为()bafxdx此时也称反常积分收敛；否则，称相应的反常积分发散。13badxxf)(lim0定义20,(,)bb对函数f在中无界，[,]ab在上可积，且0lim()bafxdx存在，则称此极限为f的反常积分，记为badxxf)(()bafxdx此时也称反常积分收敛；否则，称相应的反常积分发散。定义3如果acb，函数f在U(c)中无界，()()cbacfxdxfxdx但和均收敛，()bafxdx则称反常积分收敛，且badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(()bafxdx否则，称反常积分发散。14110lim1pxppp11lim101111ppp101limdxx)ln(lim010pdxx例11、讨论反常积分的敛散性。解：1p当时，原式当p=1时，原式∴当p1时，10pdxx收敛；当时，1p10pdxx发散。120arcsin1xdxx例10、计算反常积分作为结论。15定理()(),fxgx（比较判别法）[,]ab设函数f和g均在任何上可积，0其中，在a点附近无界，且()bagxdx则当收敛时，(),bafxdx()bafxdx均收敛；()bafxdx则当发散时，(),agxdx()afxdx均发散。16定理()bafxdx则发散。（极限审敛法）[,]ab设函数f在任何区间上可积，0其中，lim()()0pxaxafxC1,p1)如果()()bbaafxdxfxdx则和均收敛；1,p2)如果lim()()0()pxaxafxC或说明lim()()0pxaxafxC1,p1)如果()0,fx()afxdx则收敛；lim()()0pxaxafxC1,p2)如果()0,fx()afxdx则发散。1710ln(1)pxdxx1ln(1)pxdxx10ln(1)lim(0)ppxxxxxxx)1ln(lim01∴仅当p-11时，即p2时，10ln(1)pxx收敛；综上所述仅当时，12p0ln(1)pxx收敛。0ln(1)pxdxx例12、判别反常积分的敛散性。解：原式当p1时收敛，18说明1）定积分的一系列运算法则，同样适用于反常积分；2）有时通过变量代换，可以把反常积分化为有限积分计算，使其更容易。20(1)xxxedxe例13、计算反常积分60cossindxxx例14、计算反常积分例15、计算Euler积分2200ln(sin),ln(cos).xdxxdx19综合练习221ln(1).xxdxx1、计算3022arctan.(1)xdxx2、计算31ln1xdxx3、讨论的敛散性。221()2xxe4、求曲线绕其渐进线旋转所得的旋转体体积。