复旦大学高等数学课件22向量的外积与混合积

12平面解析几何是通过坐标法,把平面上的点与一对有序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，它是在三维坐标系中，用代数方法研究空间曲面和曲线性质的一个数学分支。3§1向量的外积与混合积一、空间直角坐标系横轴xy纵轴z竖轴原点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。即以右手握住z轴，右手的四个手指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。4空间直角坐标系共有八个卦限ⅦOxy面Oyz面Ozx面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧxyoz5特殊点的表示:(,,)Pxyzxyzo(,0,0)Dx(0,,0)Ey(0,0,)Fz)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC,,,DEF,,,CBA)0,0,0(O空间的点1-1对应有序数组（x,y,z）坐标轴上的点坐标面上的点6二、向量的概念及性质具有大小和方向的量。向量表示：空间上的向量:1、向量的定义OMaxiyjzk(,,)axyz有向线段（长度和方向）xyzoijkaM),,(zyx说明：1）本书所研究的向量，只考虑其大小和方向，不考虑其起点；2）分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量；,,ijk3aR3）R3中向量的坐标表示：12MM),,(121212zzyyxx72、向量的模定义:说明：232221xxxxnkkxx12nxRx设是上的任意向量，定义的长度为称为x的模或范数。1xx当时，称为单位向量。1）在空间三维坐标系中：2）模为零的向量为零向量，0零向量的方向是任意的。负向量为x3）向量12212121(,,)MMxxyyzz的模为22212212121()()()MMxxyyzz83、向量的方向余弦cos,cos,cosxyzo1M2MPQRx设非零向量与三坐标轴的正向的夹角,,,称为方向角，x称为向量的方向余弦。说明：1）方向余弦表示向量的方向；2）向量是与cos,cos,cosx方向相同的单位向量；92322212cosxxxx2322213cosxxxx123,,xxxx3）如1222123cosxxxx则xyzo1M2MPQR(cos,cos,cos)表示线段OM距离原点O一个单位的点。,0,0.0104、向量的运算法则yxyx),,(332211yxyxyx)axyyx)()()bxyzxyz123(,,)xxxx123(,,)yyyy设1）加法（平行四边形法则）xy即满足)cxyxyyxyx11),,(332211yxyxyxyxxy)(yx2）减法yx即3）数乘为任意实数，则x),,(321xxx满足)()ax)(xx)()()bxxx)(yxyx125、向量的内积(点积)1）定义:yx),(yxnkkkyx1说明：),(xxxnkkx12,nxyR对任意，xy与的内积为从定义可知，内积是只有大小没有方向的的量（即数量），所以也称数量积。332211yxyxyx三维空间：123123(,,)(,,)xxxxyyyy设xy则132）任意两向量之间的夹角定义:yxyx),(cos0,cosxyxyxy结论：xy为与的夹角。yx称为在方向上的投影。两向量的内积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。3）内积的重要性质：0yxyx1122330xyxyxy即14例1、设空间两点：.12(2,2,5),(1,6,7)PP求：1）向量在三个坐标轴上的投影；12PP2）向量的模；12PP3）向量的方向余弦；12PP4）与向量方向一致的单位向量；12PP122,2,1MM5）向量在向量上的投影；12PP122,2,1MM6）向量在向量上的投影向量。12PP156、向量的外积(叉积)1）定义:yx321321yyyxxxkjikyyxxjyyxxiyyxx212113133232zxyyx123(,,)xxxx123(,,)yyyy设2）外积模长的定义:3,xyR对任意，yxsinyxxyyxz16定理:x∥y0yxor0sinyxyx00yx0yx0sin3）外积的方向:yyxxyx,3,xyR对任意，证：x∥y00xy又0or即x∥y注意：三维空间中：x∥y)0(yx对应分量成比例，即312123xxxyyy174）外积的几何意义:xyyxzxyxy是一个与和所决定的平面垂直的向量。,,xyxy构成一个右手系：x右手伸平（竖），四指指向方向，再顺势yxy向方向弯曲，则大拇指所指的方向就是的x方向，其长度就是其模，在数值上正好等于以和为邻边的平行四边形的面积。y182,3aijkbijk,ab例2、设试在决定的平面内求与正交（垂直）的单位向量。aABCD(1,1,2)(5,6,2)AB、(1,3,1)C例3、在顶点为和的三角形中，求AC边上的高BD.197、向量的混合积1）定义:),,(321yyyy123(,,)zzzz321321321zzzyyyxxx),,(321xxxx对任意向量()xyz称,,xyz为的混合积。,,xyz2）的混合积的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积，,,xyzxzyyx()xyz是将在zxy方向上的投影与相乘。xy200332211332211332211adadadacacacababab),,,(),,,(321321bbbaaa3,,xyzR0)(zyx3）任意共面等价于3R中任意4个点123(,,),ccc123(,,)ddd共面。),,,(),,,(321321bbbaaa4）3R中任意4个点123(,,),ccc123(,,)ddd构成的四面体体积为33221133221133221161adadadacacacabababV符号的选择须与行列式的符号一致。