复旦大学高等数学课件25多元函数微分学

1第七章多元函数微分学2多元函数微分学是一元函数微分学的推广,两者有着相似之处,但也有本质的差异。应对照一元函数性质来学习多元函数的微分学。3§1多元函数的极限与连续一、点邻域、内点、开集、区域等概念1、邻域的定义0P2000(,),PxyR设0,记为0(,),UP2200{(,)|()()}xyxxyy即||0PPP),(0PU称),(0PU为点P0的δ邻域.说明:,0,nxR(,)Ox),(),(xydyxO邻域的x存在使得与点P0距离小于的点P(x,y)的全体，设记称为42、内点、边界点的定义x说明:(,),UPD(,),PxyDDP(,),OxS0.S2）S的内点全体称为S的内部，2,DR1）设,nSR对于如果存在δ﹥0,使得则称P为D的内点。如果存在δ﹥0,使得则称为S的内点。记作5(,)(\),nOxRS说明:DP.S(,)OxS对于任何的δ0，(,),UPD2(,)(\),UPRD2DR3）对于,δ0，点P的任意邻域(,),UP且有则称P为D的边界点。均有且则称x为S的边界点。4）S的边界点全体称为S的边界，记作63、开集、闭集的定义,SSnR,,nxySR,nSR设如果S中的每一点均为S的内点，则称S为开集。如果则称S为闭集。折线：中首尾彼此相接的有限条线段组成。连通：如果任意两点都有一条完全落在S中的折线将x和y连接起来，则称S为连通。74、区域的定义nRxRxxD,2xyoxRxxD,2xyo2R}41|),{(22yxyx}41|),{(22yxyx是R2中的一个开区域。1）中的连通开集称之为开区域；简称区域。如：对δ0，2）开区域连通它的边界组成的集合，称为闭区域。如：对δ0，是R2中的一个闭区域。8nR(0,),SO0,xyo}0|),{(yxyx2R3）S是的一个区域，如果存在使得则称S为有界闭集。否则S为无界闭集。如：9二、多元函数1、多元函数的定义),(yxfz()zfPRDf:Dxyx()()RffxxD设D为R2中的一个点集，如果按法则f,对D中每个点P(x,y)，均有确定的实数z与之对应，则称f是以D为定义域的二元函数。记为：或也可记为：即称为函数f的值域。10说明:1）类似地可定义三元函数、n元函数nR)(xfy1(,,).TnnxxxR),,(1nxxfy设D为中的一个点集，如果按法则f,对D中每个点x,均有确定的实数y与之对应，则称f是以D为定义域的n元函数。记为：或其中2）多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。222arcsin(3)(,)xyfxyxy例1、求的定义域。112、二元函数的几何意义fDyxyxfzzyxfG),(),,(),,()(二元函数z=f(x,y)的定义域Df是Oxy平面上的一个平面点集，其图形是空间直角坐标系Oxyz中的一个曲面。12xyzsinxyzo2222azyx显然，当自变量的个数多于两个时，难以手绘，所以分析与代数方法尤为重要。133、多元线性函数定义,,R,,nxyR()()()fxyfxfynR设f是定义在上的函数，如果对任意和任意均有则称f是上的nR线性函数。21212()32(,)TfxxxxxxR例2、是一个R2上的线性函数。14三、多元函数的极限二元函数极限定义2DR0,0,(,),PxyD220000()()PPxxyy(,)fxyAAyxfPP),(lim0Ayxfyxyx),(lim),(),(00设f是定义在上的一个函数，P0是D的一个内点或边界点，A是某个常数，如果对任意存在使得当一切且时，都有成立，则称A为二元函数f在记作或二重极限点P0处的极限，15nDR00xx()fxA),,(1nxxx),,(0010nxxxAxxfnxxxxnn),,(lim1),,(),,(0011n元函数极限定义设f是定义在上的一个函数，x0是D的一个内点或边界点，A是某个常数，如果对0,0,,xD任意存在使得当一切且时，有成立。则称A为二元函数f在点x0处的极限，0lim()xxfxA记作或16(,)(0,0)xy22),(yxxyyxf例3、讨论当时，函数的极限是否存在？说明:1）定义中P→P0的方式是任意的。如在R2中，只有当P以任何方式趋于P0时，极限都相同，极限才存在。0lim(,)PPfxy172）由于二元函数极限以任何方式趋近，所以当P以某一特殊方式（即特定方向）趋于P0时有极限，不能确定此极限存在。如：当P以不同方式趋于P0时，有不同的值，或当P以某一方式趋于P0时，极限不存在，则函数极限不存在。3）二元函数的极限运算法则与一元函数的极限运算法则类似。18四、多元函数的连续性),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx二元函数连续性定义设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义如果则称f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续；如果f(x,y)在D的每一点上均连续，则称f(x,y)是D上的连续函数。19nR,0Dx)()(lim00xfxfxxTnxxx),,(1Tnxxx),,(0010多元函数连续性定义设函数f定义于中的区域D上，如果则称f在x0处连续；如果f在D的每一点上均连续，则称f(x,y)是D上的连续函数。20说明:11(,,),nnxxxxx1）多元函数在某点连续时，其极限值=函数值；2）多元连续函数四则运算后仍保持连续性；3）一般地，由的分量的基本初等函数经过有限次的四则运算以及基本初等函数的复合所得到的函数属于n元初等函数，在其定义域上是连续的；4）多元初等函数在其定义域内是连续的。21二元函数极限常用方法(,)(0,0)2lim11xyxyxy22(,)(1,0)ln()limyxyxexy例4、求例5、求22200sin()limxyxyxy例6、求22例7、求21lim1xxyxyax说明:对二元函数极限的计算，可参照求一元函数)0,0(),(0)0,0(),(11),(21yxyxeyxfyx例8、讨论函数的连续性极限的解题思路，如四则运算法则、无穷小替代、两个重要极限、变量代换等。23五、有界闭区域上连续函数性质最大最小值定理12,,nxxDR12()()(),fxfxfx.xDnR设f是中有界闭区域D上的连续函数，则f必能在D上取到最大值和最小值，即存在使得介值定理nR设f是中有界闭区域D上的连续函数，M和m分别是f在D上最大值和最小值，则对于介于m和M间的任何实数c，必有,cD().cfc使得