复旦大学高等数学课件28隐函数微分法及其应用

2012/2/221§4隐函数微分法及其应用隐函数存在定理(,)0Fxy设函数F(x,y)在点的某邻域),(000yxP0(,)UP有定义，而且001)(,)0,Fxy),(0PO2)在中F及其偏导数连续，003)(,)0,yFxy,xyFF则，在中唯一确定隐函数f，0),(00xx使得1)(,())0,Fxfx00(,),xxx)(00xfyxyFdydxF2)f在中可微，且),(00xx2012/2/222隐函数的求导公式xyFdydxF当隐函数f存在时,由F(x,y)=0,两边对x求导得))((xfy0dxdyFFyxyxFFdxdy2012/2/223(,,)0Fxyz隐函数存在定理0001)(,,)0,Fxyz0003)(,,)0,zFxyz1)(,,(,))0,Fxyfxy0(,),POP000(,);zfxy,xzFzxF.yzFzyF设函数F(x,y,z)在点的某邻域),(0PO有定义，而且0000(,,)Pxyz),(0PO2)在中F及其偏导数连续，,,xyzFFF则，在中唯一确定二元隐函数f，0),(00xx使得2)f在中可微，且),(0PO2012/2/224例1、求方程所确定的隐函数y=f(x)0122yx在点(0,1)的一阶导数和二阶导数。例2、求由方程1coscoscos222zyx所确定的隐函数z=f(x,y)的全微分dz.例3、设求(,),zfxyzxyz,zx,xy.yz2012/2/225(,)0zzFxyyx所确定，其中F具有连续偏导数。证明zzxyzxyxy例4、设z=z(x,y)由方程求,,.uuduxy例5、设u=f(x,z)而z是由方程z=x+yg(z)所确定的x、y函数，f、g都有连续的导数，2012/2/226综合练习1、设，其中z=z(x,y)是由方程sin()xzueyz222coscoscos1xyz所确定的隐函数，求.uy2、设F(x,y)具有连续的偏导数吗，已知方程(,)0,xyFzz求dz.