复旦大学高等数学课件31二重积分的计算

1§2二重积分的计算重积分计算的基本思想:化为二次定积分进行计算,具体如下：化为累次积分,通过逐次计算定积分,求得其值。二重积分计算:2一、直角坐标系下二重积分的计算1、如果积分区域D：x—型区域12(,),()()xyaxbxyx)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xyφ1(x),φ2(x)为区间[a,b]上的连续函数，3(,)Dfxyd的值等于以D为底，曲面z=f(x,y)为高的曲顶柱体的体积，用平行于Oyz的平面截曲顶柱体，应用“已知平行截面面积，求空间区域体积”的方法求。zyx()Ax(,)zfxy1()yx2()yxabx21()()()(,)xxAxfxydy(,)DVfxyd()baAxdx21()()(,)bxaxfxydydx21()()(,)bxaxdxfxydy截面A(x):是一个曲边梯形412(,),()()xycydyxy)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD(,)Dfxyd21()()(,)dycydyfxydx说明ddxdy2、如果积分区域D：y—型区域ϕ1(x),ϕ2(x)为区间[c,d]上的连续函数，直角坐标系下：面积元素5Dyx2y1xy)1,1()2,21()2,2(1D2D22Dxdy2121122xxdxdyy22221xxdxdyy221112xxdxy2221xxdxy21312()2xxdx221()2xxdx276422Dxdy例1、计算，D由y=x,xy=1,y=2围成。解：10x—型区域（先对y积分后对x积分）6Dyx2y1xy)1,1()2,21()2,2(22Dxdy22121yyxdydxy322113yyxdyy2511()33ydyy276420y—型区域（先对x积分后对y积分）说明1)积分次序选择得好，能化繁为简，化难为易。2)积分区域具有可加性。7(,),xyaxbcyd(,)Dfxyd(,)bdacdxfxydy(,)dbcadyfxydx12()()bdacfxdxfydy3、如果积分区域D：矩形域表明：此时二重积分与积分的先后次序无关。12(,)()()fxyfxfy若时，(,)Dfxyd8二重积分计算步骤:1)画草图2)确定积分限3)确定一种积分次序4)计算9例2、计算2,{11,01}.DyxdDxy1D2D3D2yx2012/6/4例3、改变的次序。2113(3)20010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy992yx1(3)2yx(1,1)1D2D例4、计算积分22201lnlnln.eexxeyxxIdydxdydxee解：lnxxdxe无法用初等函数表示，∴积分时须考虑积分次序，1:012Dyex22:ln2Deyeyx0xy2e1D12e2Dxye21Idx0lnxexxdye201lnxexxydxe21lnxdx21lnxx211xdxx2ln211011说明1)二重积分的计算与积分次序的选择有关，应依据积分区域D的形状，被积函数f(x,y)的特点；2)如果按照某种给定的或选取的顺序是不容易的、或无法用初等函数表示出来时，需改变积分次序；3)改变积分次序的步骤。124、求空间区域的体积例5、求由马鞍面z=xy和平面z=x+y,x+y=1,x=0,y=0所围成的空间区域的体积。0xyz0x1xyzxy0yzxyD13例6、求其中及y=122(),:4DIxydDxyx所围成的区域。解：()Dxyd1022()yydyxydx3140()Dxyd120[()yydyxydx1()Dxydxdy2()Dxydxdy2()]yyxydx错!!25正确!!!2yx24yx1D2D5、利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，1）若区域D关于x轴对称则(,)Dfxydxdy2）若区域D关于y轴对称可以简化二重积分的计算。12(,)(,)(,)Dfxydxdyfxyfxy0(,)(,)fxyfxy其中D1为D位于x轴一侧的部分；则(,)Dfxydxdy12(,)(,)(,)Dfxydxdyfxyfxy0(,)(,)fxyfxy其中D1为D位于y轴一侧的部分；1415解：()DIxydDDxdxdyydxdy12II1:I∵D关于y轴对称，且被积函数关于x是奇函数,10I2:I∵D关于y轴对称，且被积函数关于x是偶函数222DIydxdy1022yydyydx2525I例6、求其中及y=122(),:4DIxydDxyx所围成的区域。152yx24yx1D2D163）若区域D关于y=x对称，且f(x,y)关于x,y也对称,即(,)(,),fxyfyx则1(,)2(,)DDfxydxdyfxydxdy其中D1为D位于y=x的一侧部分。说明在利用对称性时，必须同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域关于轴和点的对称性两个因素。17例7、计算24[tancos()],Dxyyxydxdy在0≤x≤π的部分所围。:sin,sin,Dyxyx二、二重积分的变量代换法二重积分的换元是从原变量(x,y)到新变量(u,v)的一个变换映射。18定理设f是Oxy平面中闭区域D上的连续函数，变换φ:(,)(,)xxuvyyuvOuv平面上的闭区域D’且1）x(u,v),y(u,v)在D’上具有连续的一阶偏一对一地映射为区域D,导数，2）在D’上φ的Jacobi行列式(,)(,)DxyDuvxxuvyyuv0则有(,)Dfxydxdy(,)[(,),(,)](,)DDxyfxuvyuvdudvDuv19例8、设0,0,qpba22,,ypxyqx求由,xyaxyb所围成的平面区域D的面积。解：区域D的面积为DAd作变量代换2:yupuqDxvxyavb0xyDpxy2qxy2axybxy0uvpqabD矩形域(,)(,)DDxydudvDuvDAd1(,)(,)DDuvdudvDxy20(,)(,)DuvDxyuuxyvvxy222yyxxyx23yx3u1(,)(,)DuvDxy13u1(,)(,)DDuvAdudvDxy13bqapdvduuln3baqp说明变量代换后积分区域简便，被积函数易求。例9、计算,:0,0,2yxyxDedxdyDxyxy围成。三、极坐标系下二重积分的计算cossinxryr0),(yxPr:D12(,)()()rrrr(,)Dfxyd(,)(cos,sin)(,)DDxyfrrdrdDr222xyr直角坐标和极坐标的关系相当于一个变量代换2122xxryyrcossinsincosrrrdrdrd(,)(,)DxyDr又说明1）当区域如图时，Do1()rr2()rrDoD2()rr1()rr(,)Dfxyd21()()(cos,sin)rrdfrrrdr23()rroD0()rr(cos,sin)Dfrrrdrd()0(cos,sin)rdfrrrdr020()rrDo()rr(cos,sin)Dfrrrdrd2()00(cos,sin)rdfrrrdr2）当区域如图时，3）当区域如图时，2422222().xyxyaIedxdy例10、计算例11、计算22222,:3.DIxydxdyDxyx0y231D2D25说明x0yraa2:D02cos22ra02sin0rbx0yrbb222:2Dxyax1）当区域cossinxryr设22:2Dxyby2）当区域cossinxryr设:D26例12、计算22222,:,DIxydDxyb22xyby所围成的区域。解：0y1D2Dxb2b22xy∵被积函数在D中有定义且连续，22Dxyd122Dxyd222Dxyd2022bdrrdrsin200bdrrdr322()33b27说明22(),().yfxyfx1）在区域相减时，定要考虑被积函数在减去的区域中是否有定义、连续，否则不能用相减的方法，只能分区域。2）被积函数中有根式相减时，应尽量利用对称性。3）极坐标的适用范围积分区域：圆形、环形、扇形、弧线等；被积函数：28例13、计算22arctan,19,DydDxyx：,0yxy所围成的第一象限区域。例14、求曲线和222222()2()xyaxy222xya所围成图形的面积。1D29例15、计算22222222,{(,)(),0}.(1)DdxdyDxyxyxyxxy：211()()()()1bxbnnaaadxxyfydybyfydyn例16、证明