复旦大学高等数学课件34方向导数和梯度

§5方向导数、梯度方向导数多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率，而许多实际问题中常常还需要掌握函数在某点处沿某一指定方向的变化率。例如，为了预测某地的风向和风力，必须掌握该地气压沿各个方向的变化率。这就引出了方向导数的概念。定义7.5.1设f是定义于nR中某区域D上的函数，点DP0，l为一给定的非零向量，P为一动点，向量PP0与l的方向始终一致。如果极限||||)()(lim000||||0PPPfPfPP存在，则称此极限为函数f在0P处沿l方向的方向导数，记作lf。对于可微函数而言，不仅有关于各个自变量的偏导数，而且有沿任何方向的方向导数，这些方向导数还可以用偏导数来表示。下面我们就来证明这一结论，并导出计算公式。为了便于刻画方向，先介绍方向余弦的概念。设l是一个n维非零向量，||||0lll，即0l是与l同向的单位向量。取i0，使)cos,,(cos10nl。显然，1coscos212n。称ncos,,cos,cos21为向量l的方向余弦。例如，对3R中向量kji543a，有255)4(3||||222a。取单位向量kjiaaa21254253||||0，即得a的方向余弦为253cos，254cos，21cos。定理7.5.1若函数f在点0P处可微，向量l的方向余弦为ncos,,cos,cos21，则函数f在点0P处沿l方向的方向导数存在，且nPnPPPxfxfxflfcoscoscos00002211。证因为f在0P处可微，向量),,(10nxxPP与l同向，||)(||)()(011000PPoxxfxxfPfPfnPnP。这样||||||)(||||||||||lim||||)()(lim0000110||||000||||0000PPPPoPPxxfPPxxfPPPfPfnPnPPPPPnPnPxfxfcoscos0011因此0Plf存在，且nPnPPPxfxfxflfcoscoscos00002211。证毕例7.5.1设函数zyxzyxf23),,(，向量kjl34。求函数f在点)1,0,1(0P处沿l方向的方向导数。解显然，f是处处可微的，它在0P处的三个偏导数为03)1,0,1(22)1,0,1(yxxf，02)1,0,1(3)1,0,1(yxyf，1)1,0,1(zf。又向量l的三个方向余弦分别为0cos，54cos，53cos。所以在0P处沿l方向的方向导数为53coscoscos)1,0,1()1,0,1()1,0,1()1,0,1(zfyfxflf。下例说明，一个函数即使在某一点处连续，可偏导，且沿所有方向的方向导数都存在，也不一定在该点可微。例7.5.2设.0,0,0,2),(2222222yxyxyxxyyxf由于||2|),(|222222yyyxyxyyxxyyxf，所以f在)0,0(点连续（见图7.5.1）。f在)0,0(点沿方向)sin,(cos||||ll（为l与x轴正向的夹角）的方向导数为||||)0,0()sin||||0,cos||||0(lim0lllltfttfft22220sincos2sincossincos2limt。且易知0)0,0()0,0(yxff。注意，这个函数在)0,0(点并不可微。否则的话，由定理7.5.1，就得到f在)0,0(点沿各方向的方向导数皆为零的谬误。图7.5.1图像全景数量场的梯度如果在空间区域D内的每一点P，都对应着某物理量的一个确定的值)(Pu，就称在这空间区域里确定了该物理量的场。如果所对应的是数量，就称这个场为数量场；如果所对应的量是向量，就称这个场为向量场。例如，在地球表面的每一个地点),,(zyx，每一个时刻t，均有一个确定的温度T，即),,,(tzyxfT.这就形成了一个温度场，又如在空间某点处放置一个点电荷，它就在空间形成一个电位场。温度场、电位场、以及密度场等等，都是数量场；而引力场、速度场等都是向量场。设函数f定义于nR的区域D上，或者说f是区域D上的一个数量场。我们的问题是在点DP处f的方向导数沿哪个方向取得最大值，即沿哪个方向数量场的变化率最大？前面已经指出，如果向量l的方向余弦为ncos,,cos1，那末f在点P处沿l方向的方向导数为nnxfxflfcoscos11。记n维向量nxfxf,,1g，又记l方向的单位向量为0l，则)cos,,(cos10nl，于是),(0lglf。上式右端表示向量g与0l的内积。由Schwarz不等式，|||||||||||||),(|00glglglf。另一方面，当且仅当g与0l同向时||||),(0glg。所以，当且仅当0l与g同向时，lf最大，而且2112||||maxniixflfg，这里的n维向量g实际上就是下面要讨论的梯度。定义7.5.2设f是nR中区域D上的数量场，如果f在DP0处可微，称向量0,,,21Pnxfxfxf为f在0P处的梯度，记作)(0Pfgrad。由前面的讨论可知，如果f在0P处可微，0l是与l同向的单位向量，则),(0lflfgrad。当fgrad与0l同向时，lf达到最大，即f在0P处的方向导数在其梯度方向上达到最大值，此最大值即梯度的范数||||fgrad。这就是说，沿梯度方向，函数值增加最快。同样可知，方向导数的最小值在梯度的相反方向取得，此最小值即||||fgrad，从而沿梯度相反方向函数值的减少最快。例7.5.2设在空间直角坐标系的原点处有一个点电荷q，由此产生一个静电场，在点),,(zyx处的电位是rqV，其中222zyxr。这样，V是)}0,0,0{(\3R上的一个数量场，其梯度为rzyxrqVkji2grad)(3kjizyxrq。由此可见，这个静电场的电场强度E与电位V的关系是VgradE。根据梯度的定义，不难验证它具有下列运算性质：1．0cgrad，其中c为常数；2．gfgfgradgradgrad)(，其中,为常数；3．fggfgfgradgradgrad)(；4．2ggffggfgradgradgrad，其中0g；5．gufgfgradgrad)()(，其中)(xgu，nRx。等值面的法向量在稳定的温度场中，温度相等的点组成一张曲面，称为等温面。气压场中，大气压强相同的点组成一张曲面，称为某压面。一般地，设有3R中的一个数量场：),,(zyxf，Dzyx),,(。函数f取值相同的点组成的曲面称为等值面。等值面的方程为czyxf),,(，其中c是某常数。例如222),,(zyxzyxf的等值面是一个球面。当169),,(22yxzzyxf时，等值面1),,(zyxf如图7.5.2所示，它是一张抛物面。图7.5.2以下我们假设f有连续偏导数，且其偏导数不同时为0。由上一节关于曲面切平面的讨论可知，在等值面czyxf),,(上的点0P处，其中一个法向量为0,,Pzfyfxfn，这个量恰为)(0Pfgrad，因此，||||fnfgrad。又记||||0nnn，即0n为单位法向量，则有0nnffgrad，这就是说，梯度方向为等值面的一个法线方向，梯度大小即f沿等值面的一个法线方向的方向导数。值得注意的是，因为等值面及其法向与坐标选择无关，所以梯度与坐标的选取无关。更一般地，nR上数量场的梯度与坐标的选取无关。势量场对于给定的空间区域nDR上的数量场f，其梯度fgrad是D上的一个向量场。反过来我们有以下概念。定义7.5.3设V是区域D上的向量场，如果存在某数量场U，使得UgradV，则称该向量场V为势量场，称U为V的一个势函数。显然，当势函数存在时，它并不是唯一的。例7.5.3引力场是一个势量场。设在坐标原点处有质量m，由此产生一个引力场。引力场的方向指向原点，对单位质量质点的引力大小为2rkm，其中k为引力常数，222zyxr。这样，引力场可以表述为)(),,(3kjiFzyxrkmzyx。容易验证：函数rkmzyxU),,(是它的一个势函数。实际上333,,),,(rkmzrkmyrkmxUUUzyx，因此UgradF。