复旦大学高等数学课件37常微分方程的概念

第十章常微分方程1常微分方程是数学的一个重要分支，以微积分为理论基础，运用相当广泛。如：医学工程学、理论流行病学、生物统计学。2§1常微分方程的概念一、问题的提出假定一个细胞的质量是m,在一个理想的环境中生长，它的质量是时间t的函数m=m(t)，当t=0时，m=m0,且细胞的生长速度与质量成正比,即,dmamdt细胞的生长:a为确定的常数。上式是一个既含未知函数m(t)，又含未知函数导数的方程。dmdt3用积分的方法求解:dmadtmdmadtm0(0)mmlnmatCatCme()atmtCe任意常数0(0),mm0,mC0()atmtme当t=0时，4二、基本概念.zxyx2()0,txdtxdx23,xyyye微分方程:既含有未知函数,又含未知函数导数、微分或偏导数的方程。,yxy如:常微分方程:微分方程中的未知函数只是一个自变量的函数的方程。阶:微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数。5微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数。微分方程的通解：微分方程的解中含有任意的相互独立的常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。即：一阶微分方程的通解中含一个任意常数，()atmtCe二阶微分方程的通解中含二个任意常数，n阶微分方程的通解中含n个任意常数。6微分方程的特解：微分方程的不包含任意常数的解。初始条件：用来确定任意常数的条件。n阶常微分方程的一般形式：()(,,,,)0nFxyyy且满足如果一个函数在区间(a,b)上n阶可导，()yx()(,(),(),,())0,nFxxxx那么，称是该方程在区间(a,b)上的解。()yx积分曲线--解的图形奇解：不在通解中的解。7n阶线性常微分方程:()(1)011()()()()()nnnnaxyaxyaxyaxyfx其中为已知函数，01(),(),,()naxaxax当f(x)=0时,称该方程为齐次线性微分方程，否则称为非齐次线性微分方程。当01(),(),,()naxaxax为常数01,,,,naaa()(1)011()nnnnayayayayfx则称n阶常系数线性微分方程。8初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题。过定点的积分曲线；00(,)xxyfxyyy一阶:二阶:0000(,,)xxxxyfxyyyyyy过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。9