复旦大学高等数学课件38一阶常微分方程

§2一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式：00(,)()dyfxydxyxy其定解存在且唯一（有下面定理）。定理（解的存在与唯一性定理）：如果f(x,y)和在矩形区域(,)fxyy00(,)|,xyxxayyb上连续，那么存在一个0h≤a,其定解在上0xxh有唯一解y=φ(x),使得()(,()),xfxx00().xy一、变量可分离方程()()dygxhydx一般形式即(,)()()fxygxhyx,y完全分离。解法：1)分离变量(),()dygxdxhy2)两边积分1()()dygxdxhy()().HyGxC此方程的通解(GS):C:任意常数()0,hy奇解()0.hy常见类型的一阶常微分方程的解法例1、求解常微分方程的定解问题:sinln2dyxyydxye例2、求微分方程的通解。2()dydydyxaydxdxdx例3、求微分方程的通解。()()0fxyydxgxyxdy总量（即饱和量）为Nm，则相对净增长率为1,mNN如果在有限生存资源下，能够维持人口生存的最大则人口相对增长速率正比于，1mNNN这时，描述人口增长的方程为001()mdNNkNdtNNtN有限资源下单一群体自然增长模型（Logistic模型）群体增长的条件是复杂的，如细菌、物种、人口增长等。如人口增长：为可分离变量微分方程，1mdNNkNdtN,1mdNkdtNNN,()mmNdNkdtNNN11mdNkdtNNN两边同时积分得lnln(),mNNNktC,ktCktmNeCeNN00(),NtN000,ktmNCeNN0()0()11mkttmNNtNeN有限资源下单一群体自然增长模型为：1、定义0,若对于任何(,)(,),kfxyfxy有(,)dyfxydx此时的微分方程则称函数f(x,y)为k次齐次函数,称为齐次微分方程。齐次微分方程的一般形式:dyydxx2、解法作变量代换,yux,yxu即dyduuxdxdx()u二、齐次方程()duuudxx即可分离变量的方程()0uu当时，()dudxuux解出方程后再用代入,yux即为原方程的通解。注意分离变量时,若时，()0uu0dudxuC∴原方程的通解为.yCx若有根()0uuuayax是原方程的一个解。例4、求解微分方程(cos)cos0.yyxydxxdyxx例5、求解微分方程(1)()0.xyeydxyxdy结论利用变量代换变为可分离变量的微分方程。例6、若曲线上任一点处的切线在y轴上的截距等同于同点处法线在x轴上的截距,求该曲线的方程。111222dyaxbycdxaxbyc3、形如1)当时,120cc即为的齐次方程；dyydxx2)当不全为零时,12,cc①若时,11220abab作变换xXyY的微分方程，(＊)代入(＊)dydYdxdX1111122222()()aXbYabcaXbYabc从线性方程组111222abcabc解出,.1122dYaXbYdXaXbY即dyydxx使(＊)式变为形如的齐次方程，②若时,11220abab即两行对应成比例，2211abab,也即22axby11(),axbyⅰ)若全为零，12,bb那原方程为1122dyaxcdxaxc为变量可分离方程；ⅱ)若不全为零,12,bb可作变换11,uaxby不妨设10,b11,dudyabdxdx111(),dyduadxbdx111()duabdx111112()axbycaxbyc由(＊)式12ucuc即可化为可分离变量的方程(),dugudx此微分方程总可变为可分离变量的微分方程且可推广到111222().dyaxbycfdxaxbyc例7、求通解(321)(43)0.xydxxydy1、定义(,),uxy若存在函数(,)(,)(,),duxyfxydxgxydy使得(,)(,)0fxydxgxydy则称方程为全微分方程。其解(,)uxyC((,)0)duxy221(,)(),2uxyxy如0xdxydy(,)duxyxdxydy全微分方程其解22.xyC也称直接凑全微分法。四、全微分方程2、定理(,)(,)fxydxgxydy是某个函数的全微分(,)(,)fxygxyyx为判断是否是全微分方程的条件、方法。如果是全微分方程，则可用1）凑全微分公式的方法3）第二类曲线积分的方法（不要求）2）积分因子的方法例8、求微分方程通解(sin)cos,xxeymxyeymym是常数。解:(cos)(sin)0xxeymydxeymxdy(,)fxy(,)gxy(,)(cos)xfxyeymyyysinxeym(,)(sin)xgxyeymxxxsinxeym=∴原方程为全微分方程；1）凑全微分公式法:(sin)(cos)xxeymxdyeymydx(sin)cosxxeymxyeymycossin0xxeydxeydymydxmxdy()cos(cos)()0xxdeyedymydxxdy(cos)()0xdeydmxy(cos)0xdeymxy.cos.xGSeymxyC(,)(,)fxygxyyx当不满足时，虽(,)(,)0fxydxgxydy不是全微分方程，2、积分因子法但如能找到一个函数(,),xy使得(,)(,)(,)(,)0xyfxydxxygxydy为全微分方程，从而求得其通解，此方法称为积分因子法，(,)xy称为积分因子。即(,)(,)(,)(,)(,),xyfxydxxygxydyduxy问题:如何求方程的积分因子?两种方法：观察法:凭观察凑微分得到(,),xy一些常用二元函数的全微分公式：例9、求微分方程通解20.ydxxdyyxdx例10、求微分方程通解22222)()0.xxyxdxxyydy（()()dyfxygxdx一阶线性常微分方程的标准形式:当g(x)=0时,一阶齐次线性常微分方程;一阶非齐次线性常微分方程。五、一阶线性微分方程当g(x)≠0时,1)当g(x)=0时,()0dyfxydx显然变量可分离，()dyfxdxy()dyfxdxy()fxdxCyeln()yfxdxC().fxdxGSyCeC:任意常数。一阶齐次线性常微分方程通解公式()()dyfxygxdx()()dygxdxfxdxyy两边积分()ln()gxydxfxdxy=()CCxln()()yxfxdx()().fxdxxGSyee非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:()()fxdxCxe2）当g(x)≠0时,常数变易法把齐次线性方程通解中的任意常数变易为待定函数的方法。确定函数()Cx()()fxdxyCxe将两边对x求导,()()fxdxyCxe()()[()]fxdxCxfxe将代入原微分方程,,yy()()[()]fxdxCxfxe()()()fxdxfxCxe()gx()()yfxygx由()()fxdxCxe即得()()()fxdxCxgxe两边积分()()()fxdxCxgxedxC()().[()]fxdxfxdxGSyegxedxC()()()()fxdxfxdxfxdxCeegxedx对应齐次方程通解非齐次方程特解xyoxPQ3xy)(xfy例12、如图所示，平行与y轴的动直线被曲线)(xfy3(0)yxx与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x).例11、求tansec,dyyxxdx(0)0y的特解PS.Bernoulli方程()()ndyfxygxydx当n≠0,1时，方程两端除以yn,111()()nndyfxgxydxy令11nuy1(1)ndudyndxydx(1)()(1)()dunfxungxdxn=0,1时，为线性微分方程；为关于u的一阶线性微分方程。例13、求432dyxydxxy的通解。例14、求coscossin2sinyyyyxy的通解。例15、一曲边梯形的曲边方程为()(()0)yfxfx底边位于区间[0,x]上，其面积与f(x)的(n+1)次幂成正比(n0),又(0)0,(1)1,ff求f(x).