复旦大学高等数学课件39二阶线性微分方程

1§3二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程一般形式:22()()()dydypxqxyfxdxdx当f(x)=0时,二阶齐次线性微分方程;二阶非齐次线性微分方程。n阶线性微分方程()(1)11()()()()nnnnypxypxypxyfx当f(x)≠0时,二阶线性微分方程解的结构:1、二阶齐次线性微分方程解的结构:()()0ypxyqxy定理1:若y1(x)和y2(x)是二阶齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合12()()yxyx也是该二阶齐次线性微分方程的解。、为常数，问题:12()()yyxyx是否一定是通解?2定理2:若y1(x)和y2(x)是()()0ypxyqxy在I上的两个线性无关的解，是该二阶齐次线性微分方程的通解。则:1122()()yCyxCyx为常数12CC、如0,yy12cossinyxyx21tanyxy常数12.cossinGSyCxCx32、二阶非齐次线性微分方程解的结构:定理:非齐次线性微分方程的通解等于该方程的一个特解加上相应的齐次线性微分方程的通解yyy证明:22()()()dydypxqxyfxdxdx设yyy22()()0dydypxqxydxdx22()()()dydypxqxyfxdxdx422()()()()()()dyydyypxqxyyfxdxdx两式相加得yy为非齐次线性微分方程的解，y又是相应齐次线性微分方程的通解，包含两个任意常数，yy中也包含两个任意常数，yy为非齐次线性微分方程的通解。5解的叠加原理:若y1(x)和y2(x)分别是下列线性微分方程212()()()dydypxqxyfxdxdx222()()()dydypxqxyfxdxdx则12()()yxyx是线性微分方程2122()()()()dydypxqxyfxfxdxdx的解。的解,60ypyqy()(1)11()nnnnypypypyfx()ypyqyfx定义:n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式12,,,nppp为常数。为常数；,pq二、二阶常系数齐次线性微分方程为常数。,pq7二阶常系数齐次线性微分方程解法-----特征方程法0ypyqy将其代入上方程,得,xye设2()0,xpqe0,xe20pq为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。特征方程法与原微分方程比较：81)若20pq有两个不同的实根，记为12&,∴原微分方程的两个特解:11(),xyxe22(),xyxe12,12()12()()xyxeyx常数则原微分方程的通解:1212.xxyCeCe92)若20pq有两个相同的实根，12,2p记为得到一个特解1(),xyxe须找一个与y1(x)线性无关的特解,设为y2(x),即12()()yxyx常数,设2()(),xyxuxe代入原微分方程0,ypyqy并简化2[()(2)()()()]0xuxpuxpquxe0,u(),uxx取2(),xyxxe则原微分方程的通解:12().xyCCxe103)若20pq有一对共轭复根,i1,i即2,i∴原微分方程的两个特解:11()xyxe(),ixe22()xyxe(),ixe显然y1(x)与y2(x)线性无关,通解为:()()12,ixixyCeCe复数形式，涉及复数运算，重新组合，变为实数形式。由解的线性性得：11()()1[]2ixixee1[()]2xxixieee1{[cossincos()sin()]2xexixxixcosxex也是原微分方程的特解；同理()()1[]2ixixeei1{[cossincos()sin()]2xexixxixisinxex也是原微分方程的特解；且cossinxxexex常数，则原微分方程的通解:12(cossin)xyeCxCx12特征方程法由常系数齐次线性微分方程的特征方程的根确定其通解的方法。例1、求22560dydyydxdx通解。例2、求690yyy通解。13例3、求40yy满足(0)0(0)1yy特解。n阶常系数齐次线性微分方程解法()(1)110nnnnypypypy标准形式12,,,nppp为常数,其特征方程为1110nnnnppp它在复数范围内恰n有个根。同样有:141)若是实的单重根，k个线性无关的解；2)若是实的k重根，则是微分方程的21,,,,xxxkxexexexexe则是微分方程的解；3)若是单重共轭复根，i则和是微分方程的解。cosxexsinxex154)若是k重共轭复根，i则cos,xexsin,xexcos,xxexsin,xxex…1cos,kxxex1sin,kxxex是微分方程的2k个线性无关的解，∴n阶常系数齐次线性微分方程的通解1122()()()()nnyxCyxCyxCyx16(5)(4)(3)220yyyyyy例4、求通解。17思考题:22lnyyyyy求通解。()ypyqyfxyyy标准形式由解的结构定理非齐次的通解齐次的通解非齐次的特解常数变易法求特解三、二阶常系数非齐次线性微分方程18例5、求2212xdydyyedxdxx通解。19由于非齐次的一个特解与非齐次线性微分方程中的f(x)的形式有着重要的关系，如多项式、指数函数，正弦及余弦函数求若干次导数后不改变函数的形式。()()xnfxuxe1、型()ypyqyfx二阶常系数非齐次线性微分方程对应齐次方程:0ypyqy通解结构:yyy常见类型:()nux()xnuxe方法:待定系数法n次多项式特征根?20设非齐方程特解为(),xyvxe代入原方程得2()(2)()()()()nvxpvxpqvxux1)若不是特征方程的根，即20,pqv(x)必是n次多项式，()(),nvxvx记();xnyvxe可设2)若是特征方程的单根，但20,p()vx必是n次多项式，记()(),nvxxvx可设();xnyxvxe20,pq即213)若是特征方程的二重根，2()(2)()()()()nvxpvxpqvxux且20,p()vx必是n次多项式，记2()(),nvxxvx可设2();xnyxvxe综上讨论:(),ypyqyfx()(),xnfxuxe可设()mxnyxvxen次多项式012m不是根是单根是重根代入原方程用待定系数法求得特解。20,pq即22例6、求35621yyyxx通解。23例7、求23(34)xyyyxe通解。()()cos()sinxxnnfxuxexoruxex2、型(0)n次多项式设非齐方程特解为[()cos()sin]mxnnyxevxxvxx1)若不是特征方程的根时，i0,m2)若是特征方程的单根时，i1.m24例8、求sin3yyxx通解。25sin32cosyyxxx求通解。例9、设函数连续，且满足()x00()()(),xxxxettdtxtdt求().x26例10、验证函数363()13!6!(3)!nxxxyxn(,)x满足微分方程xyyye利用此结果求30(3)!nnxn的和函数。