复旦大学高等数学课件41条件概率与事件的独立性

1§2条件概率与事件的独立性一、条件概率定义：设A与B是试验E的样本空间的两个事件，且()0,PA则称在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为条件概率，简称B对A的条件概率。记为()(/)()PABPBAPA注意：1）条件概率是一随机事件的概率，因此条件概率满足概率公理化定义中的三个条件，具有概率的一般的性质；2）条件概率与的区别：(/)PAB()PA2例1、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用分别表示甲、乙两厂的产品，B表示合格品。AA、试写出有关事件的概率；并求从市场上买到一个灯泡是甲乘法公式设E是随机试验，是它的样本空间，A，B，Ai（i=1,2，…，n）是E的事件（或的子集），且()0PA121,()0nPAAA则有：1）()()(/)PABPAPBA12()nPAAA2）121312()(/)(/)PAPAAPAAA121(/)nnPAAAA注意：乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式。厂生产的合格灯泡的概率。3求在例1中，从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。例2、10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先乙次，丙最后，求甲抽到难签；甲乙都抽到难签；甲没有抽到难签而乙抽到难签；甲乙丙都抽到难签的概率。4例3、人活到不同年龄段的死亡率如下：年龄段～10～20～30～40～50～60～70～8080合计死亡率（%）3.230.651.211.844.319.6918.2127.2833.58100.00试求一个60岁的人在70岁死亡的概率。5二、全概率公式和逆概率公式定义：设E是随机试验，是它的样本空间，若12,,nAAA是E的两两互不相容（互斥）事件，即（）ijijAA且1niiA（即n个事件中至少要发生一12,,nAAA个，至多也只能发生一个），,1,2,,ijn()0iPA则对任一事件B（属于E）有1()()(/)niiiPBPAPBA称为全概率公式。62）如何转化，关键是寻找，使12,,nAAA12nBBABABA，再利用一次加法公式和一次乘法公式即可得到全概率公式。3）寻找可供参考的方法：12,,nAAA全概率公式中的条件可以等价地写成“事件B能且仅能与之一同时发生”或12,,nAAA“把完备事件组看成导致B发生的一组12,,nAAA原因，而这些原因的概率是已知的或能求出的。”注意：1）全概率公式的作用在于，直接求一个较复杂的事件B的概率比较困难，但在附加条件下，iA求条件概率(/)iPBA却比较容易，所以说是一种“化整为零”的方法，化复杂为简单的方法。7例4、某地区统计，较胖体型者占10%，较瘦体型者占8%，中等体型者占82%，又知较胖体型者患高血压的概率为0.2，较瘦体型者患高血压的概率为0.05，中等体型者患高血压的概率为0.1.问该地区的居民患高血压的概率。8例5、某工厂有四条流水线，生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05、0.04、0.03、0.02，现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？但该次品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问厂方应如何处理这件次品的经济责任才合理？9Bayes公式（逆概公式）设E是随机试验，是它的样本空间，若12,,nAAA是E的两两互不相容（互斥）事件，即（）ijijAA且，1niiA,1,2,,.ijn()0iPA则对任一事件B（）有Bayes公式：()0PB1()(/)(/)1,2,,()(/)iiinjjjPAPBAPABinPAPBA例4中，如果已经知道一个居民患有高血压，问他是较胖体型的概率是多少？例5中，厂方应如何处理这件次品的经济责任才合理？10注意：1）在全概和逆概公式中的是导致试验结果12,,nAAA的各种原因。ⅰ）是各种原因的概率，称为()(1,2,,)iPAin先验概率，一般是由实际经验给出的，是已知的。ⅱ）称为后验概率，它反映了试验之后各种(/)iPAB原因发生的概率的新结果，是(1,2,,)iAin()iPA的修正值。2）凡是已知试验结果，要找某种原因发生的可能性，即已知信息，问信息来自何方的问题，可用Bayes（逆概）公式解决。11如，若是病人可能患的n种不同疾病，在诊断12,,nAAA前，先检验与这些疾病有关的某些指标（如体温、血压、白血球、转氨酶含量等），若检查结果病人的某些指标偏离正常值了（即B发生了），从概率的角度考虑，若(/)iPAB大，则病人患病的可能也较大。iA但要用Bayes公式计算出，要把过去病史中(/)iPAB得到的先验概率值代入（医学上称为病人()iPA()iPAiA的发病率）。12例6、已知一人群中，男性占60％且其中的5％是色盲患者，女性占40％且其中的0.25％是色盲患者。现从人群中任意挑选一个人，问1）此人是色盲患者的概率；2）若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。13例7、癌症的早期诊断、治疗是提高疗效的关键。近年来，甲胎蛋白免疫检测法（简称AFP法）被普遍应用于肝癌的普查和诊断。设A：肝癌患者；B：AFP检验反应为阳性；且已知，在人群中肝癌的发病率一般只有；(|)0.04PBA；今有一人AFP检验结果为阳性，现问该人患肝癌的可能性有多少？AFP检验方法的真阳性率为，假阳性率为(|)0.94PBA()0.0004PA14三、事件的独立性如果成立，(/)()PBAPB即事件A发生与否不影响事件B发生的概率，则称事件A与事件B相互独立，()()()PABPAPB且有事件的相互独立性可以推广到有限多个事件的情况：设是n个事件，12,,nAAA1）若对任意，(1)kkn121kiiin任意1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA有则称事件相互独立。12,,nAAA1212()()()iiiiPAAPAPA121iin2）若对任意，有则称事件两两相互独立。12,,nAAA15注意：12,,nAAA1）事件相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立。反之2）事件的独立性常常不是根据定义来判断，而是根据实3）事件相互独立，则12,,nAAA11()nniiiiPAPA1111()nniiiiPAPA5）互不相容（互斥）、互逆（对立）、相互独立的区别。4）若事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也相互独立。BABA问题来判断。16例8、甲、乙、丙各自向同一目标射击一次，已知它们的命中率分别为0.7，0.8和0.75，求目标被击中2次的概率。例9、假定每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此混合血清含有肝炎病毒的概率。17四、重复独立实验定义：做n次的重复试验E，每次试验的结果相互独立，Bernoulli试验：重复试验E只有两个结果A和，A为一个Bernoulli试验。Bernoulli概型：一次Bernoulli试验或独立重复地进行若干次Bernoulli试验的概率模型。n重Bernoulli概型：n次Bernoulli试验中，事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为，则()nPk()(1)kknknnPkCpp0,1,,kn称为重复独立试验。18显然，n次试验中所有互不相容的结果（A发生0次，1次，2次，…，n次）有0()1nnkPkBernoulli概型中重要事件的概率：1）n次Bernoulli试验中A恰好发生（出现）k次，则()(1)kknknnPkCpp2）将Bernoulli试验独立重复进行下去，直到A首次出现为止。记：“首次A出现在第k次试验”k则kAAAA()(1)(1)kPppp1(1)kpp1,2,k称为几何分布。19例10、节能灯使用寿命在6000h以上的0.8，求5个节能灯在使用6000h后，最多只有一个坏了的概率。例11、对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病的治愈率p=0.8，有10个患此病的病人同时服用这种药，求其中至少6个病人治愈的概率。20例13、某人进行射击，每次中靶的概率为p，设各次射击中靶与否彼此独立，用表示首次中靶时射击的次数，试求()Pn例12、某场比赛进行五局，并以五局三胜决定胜负。若已知甲方在每一局中的胜率为0.6，问甲方在比赛中获胜的概率是多少？若采用三局两胜制，或九局五胜制，问甲方在比赛中获胜的概概率是多少？你从此计算中会得出什么结论？