复旦大学高等数学课件42一维随机变量

1§3随机变量一、随机变量的概念直观意义：用数值来描述随机试验的结果，即每一个试验结果对应一个数，依随机试验的结果而取值的变量为随机变量。用大写的X、Y…或小写的等表示。、定义：设E是随机试验，是它的样本空间，如果对于每一个样本，都有唯一的实数值与之()X对应，则称实值变量为一随机变量，简记为X()X（一般用大写X、Y…或小写）.、2注意：1）随机变量是定义在样本空间上的实值集函数，与微积分中讨论的实函数有本质的区别。2）随机变量是随机事件的数量化。即每个事件都可以用一个随机变量来描述。3）引入随机变量的重要意义。例如：抛硬币试验：规定正面向上事件以1表示，反面向上事件以0表示。在E中，，定义在上的0,1随机变量，它只能取值1或0，则1(0)2P1(1)2P3二、随机变量的分布函数定义：设是一个随机变量，x是任意实数，则称函数()FxPx为的分布函数。注意：定义中的表示事件“随机变量取值不大于x”x随机变量的分布函数F(x)是以事件的概率x定义的函数，它是自变量x的取值在内的(,)一个普通函数，其值域为[0,1].4分布函数F(x)具有如下性质：1)0()1Fxlim()0xFxlim()1xFx且2)()Fx单调不减，即若，则有12xx12()()FxFx3)()Fx右连续，00lim()()xxFxFx12214)PxxPxPx21()()FxFx5三、随机变量的概率分布设是随机变量，则它的取值规律（即可能取哪些值，取这些值的概率分别是多少？）称为的概率分布（简称分布），通常用分布律或分布密度来描述分布。随机变量的概率分布，完全描述了随机变量的统计规律和各种特征。随机变量的分类随机变量离散型随机变量连续型随机变量混合型随机变量奇异型随机变量6四、离散型随机变量及其概率分布1、定义：若随机变量的取值是有限的或可数的，则称为离散型随机变量。2、离散型随机变量的概率分布（函数）或分布律设离散型随机变量的所有可能取值，(1,2,)kxk事件的概率为，kx(1,2,)kkPxpk这里，且01kp11kkp则称(1,2,)kkPxpk为随机变量的概率分布（函数）或分布律。通常用表格形式表示：1x2xkxkp1p2pkp…………7注意：定义中的一定满足，且，kp01kp11kkp是离散型随机变量的概率函数必须具备的性质。即凡满足这两个条件的函数(1,2,)kkPxpk一定是某个离散型随机变量的分布律。3、离散型随机变量的分布函数分布式为{}(1,2,)kPkpk的离散型随机变量的分布函数为：()kkxxPx()FxPx112101kiipppp112231kknxxxxxxxxxxxxx其中求和是对所有满足不等式kxx的k求和。8例1、将三个小球随机地投入四个盒子，以表示盒子球的最大数目，求的分布律及2.P例2、设10件产品中恰好有2件次品，现接连进行非还原抽样，直到取到正品为止。求：1）抽样次数的分布；2）的分布函数；3），，.3.5P2P13P94、常见的离散型随机变量分布有：1）0-1分布（二点分布）应用：凡试验只有两个结果，常用0-1分布。如：设随机试验中事件A发生的概率为p，若A发生10令若A不发生则服从两点分布，分布律为：1Pp01Ppq0,1pq102）二项分布二项分布产生于n重Bernoulli试验，即在n重Bernoulli(,)Bnp试验中，事件A每次发生的概率为p，不发生（发生）的A概率为1-p，则n次实验中A发生的次数服从二项分布，记为(,)Bnp，其分布律（即概率分布）：Pk(1)kknknCpp0,1,2,,kn其中01p，且0()nkPk0(1)1nkknknkCpp一般适用于11例3、独立射击5000次，命中率为0.001，求：命中次数不少于一次的概率。启示：小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件。思考：最可能命中次数及相应的概率？123）Poisson分布()P其分布律（概率分布）：!kPkek0,1,2,k0即()P（服从参数为的Poisson分布），001!kkkpkek应用1：某个时段内：13Poisson分布可近似代替.(,)BnplimnPklim(1)kknknnCpp!kek设np即用Poisson分布近似代替.(,)Bnp利用Poisson分布再求例3.(,)Bnp在中，当n足够大，p很小时：14应用2：Poisson分布常用来描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型。例4、已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为2的泊松分布。而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为0.1，求落到仪器重要部位的粒子数的概率分布。15例5、设一只昆虫所生虫卵数为随机变量,已知且每个虫卵发育成幼虫的概率为p，,X(),XP设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立。求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数Y的概率分布。164）几何分布在Bernoulli试验中，每次试验事件A发生的概率为p，记为A首次发生时的实验次数，则几何分布，分布律：Pk1(1)kpp1,2,01kp175）超几何分布设有一批同类产品共N件，其中次品M件(MN)①现从中抽取n件，试求取出的n件中所含的次品数的分布律。解：设：所含的次品数，()PkknkMNMnNCCC0,1,2,,klmin,lMn超几何分布则有limknkMNMnNNCCC(1)kknknCpp超几何分布的极限是二项分布NMpNnk可证明：当时，（，不变），18②如果n件是有放回取出的。试求取出的n件中所含的次品数的分布律。解：这相当于一个Bernoulli试验，次品数的概率为事件的概率{}kMpN()1knkknMMPkCNN0,1,2,,klmin,lMn(,)Bnp19例6：如果在时间t分钟内，通过某交叉路的汽车数量服从参数与t成正比的Poisson分布。已知，一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆汽车通过的概率。例7：若一年中某类保险者里面每个意外死亡的概率为0.005，现有1000个这类人参加人寿保险，试求在未来一年中，在这些保险者里面：1）有10人死亡的概率，2）死亡人数不超过15个概率。20五、连续型随机变量及其概率分布定义：设F(x)随机变量的分布函数，若对任意的x，存在则称为连续型随机变量，()0x，使得()()xFxtdt()x为的概率（分布）密度或密度函数。注意：分布函数与密度函数的几何意义21概率密度（分布密度）的性质：1)()0x2)()1xdx3)对任意的ab，Pab()baxdx4)分布函数F(x)在上连续；(,)5)若在x处连续，则()x()()Fxx6)对于任意的实数c，0Pc注意：1）性质6）表明：对连续型随机变量，总有PxPx222）性质6）、3）的含义：随机变量落在区间[a,b]内的概率等于区间[a,b]上曲线下的曲边梯形的面积，如图()yx所示。且由此，性质3）可改为：PabPabPabPab()baxdx0xyab()x()()FbFa23例8、设随机变量的密度函数为102()0Axxx其他求：1）A值；2）的分布函数F(x)；3）1.52.5P24常见的连续型随机变量分布有：1）均匀分布若随机变量在[a,b]上的密度函数为1()0axbxba其他~[,]Uab则（区间为[a,b]上的均匀分布），其分布函数为：0()()1xaxaPxFxaxbbaxb可见ξ落在[a,x]的概率为，体现了等可能性。xaba25(,)(,),cdab~[,]XUabPcXd则1dcdxbadcba例9、设随机变量在[2,5]上服从均匀分布，现对进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。应用：262）指数分布()E若随机变量密度函数为0000xbaexx则()E（为参数的指数分布）其分布函数为：()()xFxtdt()()0axbaexbxxb()10axbexbxb01000xbaexx应用：（a0,b均为常数）27例10、某种型号的灯泡使用时间（小时）为一随机变量，其概率密度为1500010()500000xxexx求3个这种型号的灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率。283）正态分布（又称Gauss分布）2(,)N若随机变量密度函数为22()21()2xxe(,)x其中为常数，且，、0则称这种分布为正态分布，2(,)N2(,)N其分布函数为：()()xxtdt22()212txedt(,)x注意：29其对应的分布函数当时的正态分布称为标准正态分布01、(0,1)N其对应的密度函数2201()2xxe(,)x00()()xxtdt2212txedt1)()0x2)()1xdx3)()x在，在，在时达到(,][,)x极（最）大值.1()2x说明的取值密集在的附近。即表示取值的集中位置（均值），表示集中程度（方差）。正态分布具有如下性质：2(,)N304)()x的图形关于对称，说明落在与xxx的相应等长区间上的概率相等。5)设，作变换，2(,)N则~(0,1)N表明，任何一个通过变换均可使服2(,)N从标准正态分布.(0,1)N6)若，则的分布函数与2(,)N()x(0,1)N的分布函数有如下关系：0()x0()xx由此，对任意ab，有Pab()baxdx()bxdx()axdx()()ba0b0a31具有如下性质：(0,1)N01)()x的关于y轴对称，即00()()xx02)()x在时达到极（最）大值.0x1(0)23)()1xdx22112xedx即222xedx称为概率积分。22xedx4)PxPx00()1()xx5)表(0,1)N注意：附表中仅列出时的函数的数值，而对于0x0()x0x时的数值，利用对称性00()1()xx即可求得。32例11、设随机变量~(108,9)N求：1）101.1117.6P2）求常数a，使得0.90Pa例12、某种电池的寿命，其中小时，2(,)N30035小时，1)求电池寿命在250小时以上的概率；2）求使寿命在与之间概率不小于0.9的x.xx3）求常数a，使得0.01Paa