复旦大学高等数学课件43随机变量的数字特征

2012/10/311§5随机变量的数字特征一、问题的提出例如：考察射击手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小。又如：有一大批产品，其中15%为一等品，75%为二等品，10%为三等品。一、二、三等产品的单价分别为10元、8元和6元。有人要采购一批这种产品，但来不及检验，该如何定价？随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特征。但是在实际中，一方面得到随机变量分布函数（分布律或分布密度）相当困难；另一方面，许多实际问题只需要知道随机变量的某些特征即可。此时，我们关心的是描写随机变量的某些特征的数字，即数字特征。2就上两例来说，我们需要引入能反映随机变量重要特征的统计指标，随机变量的数学期望（均值）、方差（均值的偏离程度）。设随机变量所有可能取的值为，但预期123,,xxx1233xxx取值的平均数一般不等于，因为取每个值的概率一般不同，概率大的值取到的机会多，概率小的值取到的机会少，所以不能对随机变量所能取的每个值同等对待，必须考虑其相应的概率。例：假定对作n次独立观察，取值的次数123,,xxx分别为，123,,mmm123mmmn，那么取值的平均数为多少呢？二、数学期望2012/10/312012/10/313定义1：设离散型随机变量的分布律为()1,2,iiPxpi若级数绝对收敛，则称此级数的收敛值为1iiixp随机变量的数学期望（简称期望）或均值。记为1iiiExp就上例，取值的平均数为312123mmmxxxnnn其中是事件在n次观察中出现的频率，由概率imn{}ix的统计定义，当n充分大时，()iiimppxn所以，随机变量真正的平均数为112233xpxpxp4定义2：设连续型随机变量的分布密度为，()x若绝对收敛，()xxdx则称为()xxdx的数学期望。记为()Exxdx注意：1）一个随机变量的期望存在与否取决于级数1iiixp()xxdx或广义积分是否绝对收敛，所以并不是任何随机变量都存在数学期望。2012/10/312012/10/3152）一个随机变量的期望是一个常数，它表示的是随机变量取值的平均，是以概率为权的加权平均值；它反映了随机变量得一大特征，即随机变量取值集中在期望值附近。3）计算时需要已知随机变量的分布律或分布密度。例：设离散型随机变量的概率函数为1()1,2,(1)Pkkkk由于级数1||kkkxp1(1)kkkk111kk发散，所以，不存在。E2012/10/316随机变量函数的数学期望：设r.v.X的分布律为(),1,2,kkPXxpk1().kkkEYfxpr.v.Y=f(X)，如级数绝对收敛，1()kkkfxp则r.v.Y=f(X)的数学期望1）离散型2）连续型设r.v.X的概率密度函数φX(x)，r.v.Y=f(X)，如广义积分绝对收敛，()()Xfxxdx则r.v.Y=f(X)的数学期望()().XEYfxxdx2012/10/317随机变量数学期望的性质：1）设，则cEEcc2）若k为常数，则()EkkE3）若b为常数，则()EbEb由2）、3）得()EabaEb4）若两个随机变量、，则()EEE可推广至有限个1212()nnEXXXEXEXEX5）若随机变量、相互独立，则()EEE可推广至有限个：若、、…相互独立，则1X2XnX1212()nnEXXXEXEXEX2012/10/318常见分布的数学期望1）二点分布（0-1分布）分布律：1Pp01Ppq0,1pq10(1)Eppp2012/10/3192）二项分布Pk(1)kknknCpp0,1,2,,kn分布律：0()nkEkPk0(1)nkknknkkCpp0!(1)!()!nknkkknppknk11(1)!(1)(1)!()!nknkknnpppknk1111(1)nkknknknpCpp110(1)nkknknknpCppnp2012/10/31103）Poisson分布()P分布律：!kPkek0,1,2,k00()nkEkPk0!knkkek11(1)!knkek0!knkekee4）指数分布()E密度函数:0()00xexxx()Exxdx00xdx0xxedx0()xxde00[|]xxxeedx01|xe12012/10/3111例1、设十只同种电器元件中有二只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉还取一只。求：在取到正品之前，已取出的废品数X的概率分布及其数学期望EX.返回解：设:iA从10只中任取一只，第i次取到废品。由题意，在取到正品前，X的可能取值为0,1,2.1(0)()pXpA18110CC4512(1)()pXpAA121()(/)pApAA118211109CCCC8452012/10/3112123(2)()pXpAAA121312()(/)(/)pApAApAAA1118211111098CCCCCC14520kkkEXxp4810125454529返回2012/10/3113例2、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求EX.（设产品是否为次品是相互独立的）解：设2012/10/3114例3、据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98，因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需缴纳保险费100元。若在10年内因事故死亡，公司赔偿a元，应如何定a，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司期望总收益多少？2012/10/3115例4、已知某型号电子管的使用寿命X为连续型随机变量，其密度函数为21000()0Cxxx其它1）求常数C；2）计算(2000)PX3）已知一设备装有3个这样的电子管，每个电子管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500天只有一个损坏的概率。2012/10/3116三、随机变量的方差与标准差在许多实际问题中，只知道随机变量的均数是不够的，还需知道随机变量的取值在均数左右波动的大小（即离散程度）。随机变量与其数学期望之差，称为E()E的离差。因为()EE()EEEEE0所以不宜用离差的数学期望来表示随机变量取值的离散程度。2012/10/31171、定义：随机变量的离差的平方的数学期望称为的方差，记为2(),DEE且称为的()D均方差或标准差。1）离散型随机变量：21()iiiDxEp()1,2,iipxpi2）连续型随机变量：dxxExD)()(22012/10/3118注意：由定义公式计算方差是繁复的，常常用下重要公式：22)()(EED证：2)(EED22(2())EEE222()EEEE22)()(EE2E计算：122)(iiixpxE离散型随机变量：连续型随机变量：dxxxE)(222012/10/31192、方差的性质：1)()0Dc22)()DkkD3)()DcD由2）、3）得2().DkckD4)若随机变量、相互独立，则().DDD可推广至有限个相互独立的随机变量、、…，1X2XnX则nnDXDXDXXXXD2121)(2012/10/3120常见分布的方差：1）二点分布（0-1分布）分布律：1,Pp01,Ppq0,1.pq10(1)Eppp22210(1)Eppp22()()DEE2pppq212）二项分布Pk(1)kknknCpp0,1,2,,kn分布律：二项分布的r.v.ξ可看作是n个独立的0-1分布的r.v.的和，即r.v.ξ是重复独立地做n次Bernoulli试验中事件A出现的次数。所以设事件A每次出现的概率为p,设ξi取值为：1i第i次试验中A出现0第i次试验中A不出现1,in01i分布，且ξi相互独立，12n表示在n次独立试验中事件A出现的次数，1()niiEE1niiEnp1()niiDD1niiDnpq2012/10/312012/10/31222）均匀分布设r.v.ξ～U[a,b],则ξ的概率密度为1()0axbxba其他则()Exxdx1baxdxba2ab22()Exxdx21baxdxba223aabb22()()DEE223aabb2()2ab2()12ba分布期望概率密度区间[a,b]上的均匀分布1,()0,axbfxba其它E(),0()0,xexfx其它N(,2)22()21()2xfxe参数为p的0-1分布(1)(0)1PXpPXp方差B(n,p)()(1)0,1,2,,kknknPXkCppknP()()0,1,2,!kePXkkkppqnpnpq2ab2()12ba12122012/10/31232012/10/3124例5、求例1、2的DX.解：例1已求得4(0)5pX8(1)45pX1(2)45pX29EX222481012545452220kkkEXxp41522()()DXEXEX241()154588405返回2012/10/3125例6、设连续型r.v.X的概率密度φX(x)为：102()20Xxx其它求Y=1-X的概率密度函数，EY,DY.解：()()YFyPYy(1-)PXy(1-)PXy1-(1-)PXy1011-2ydx1(1)2y11y当y≤-1时，()1;YFy当y≥1时，()1.YFy111().20Yyy其它2012/10/3126()YEYyydy1112ydy022()()YEYyydy12112ydy1322()()DYEYEY13