复旦大学高等数学教案03Taylor公式

1教案一元函数的Taylor公式教学内容用简单的函数近似表示较复杂的函数是一种经常使用的数学方法，Taylor公式提供了用多项式逼近函数的一条途径，是微积分的重要工具之一，也是后继课程“函数的幂级数展开”一节的基础，它们在理论上和应用中都起着重要的作用。在这节中主要讲解以下几方面的内容：（1）带Peano余项的Taylor公式和带Lagrange余项的Taylor公式；（2）Maclaurin公式；（3）具体函数的Taylor展开方法和用Taylor公式作近似计算的方法。教学思路和要求（1）Taylor公式是一元微分学学习中的一个难点，初学者往往对于其“复杂”形式产生畏惧，因而对这部分的内容只是死记硬背，不能达到深刻领会的效果。因此要讲清楚这个问题的来龙去脉，使学生能从形式上的公式看清它的本质，进而提高其领会能力。（2）Taylor公式与基本初等函数xe，xsin，xcos，)1(x和)1ln(x等的Taylor公式是本节内容的基础和重点。（3）虽然一些基本初等函数的Taylor公式是从定义直接推导出来的，但一般来说直接利用定义计算具体函数的Taylor公式往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的计算方法，提高他们的计算能力。（4）对于具体函数的Taylor公式的计算到多少阶，学生们往往只能根据习题要求来做，但在实际应用中，计算一个函数的Taylor公式到多少阶是要灵活掌握的。因此有必要在讲Taylor公式的应用时，在这方面加以适当引导，发挥他们的主观能动性。教学安排一．问题的引入我们已经知道，如果f在0x处可微，那末在0x邻近就有)(xf=)(0xf+f(0x))(0xxo(|x-0x|)。这意味着当我们用一次多项式)(0xf+f(0x))(0xx近似代替)(xf时，其精确度对于0xx而言，只达到一阶，即误差为o(|x-0x|)。为了提高精确度，必须考虑用更高次数的多项式作逼近。由于多项式是一类比较简单的函数，借助于近似多项式研究函数的性态无疑会带来很大的方便。而且，在实际计算中，由于多项式只涉及加、减、乘三种运算，以它取代复杂的函数作运算也将有效地节约工作量。二．问题的探索我们的讨论从下面的问题开始：设函数f在0x处n阶可微，试找出一个关于0xx的n次多项式，nnxxaxxaa)()(0010，2使这个多项式与f之差是比nxx)(0高阶的无穷小。首先，如果成立着（*）))(()()(000nniiixxoxxaxf，我们来讨论一下多项式各项的系数ia与f的关系。在（*）式两边令0xx，利用f在0x的连续性，得)(00xfa。把0a代入（*）式，移项后得00)()(xxxfxf))(()(10110nniiixxoxxa，在上式两边再令0xx，由f(0x)的定义可得10)(axf。把0a，1a代入（*）式，移项后得20000)())(()()(xxxxxfxfxf=))(()(20220nniiixxoxxa，在上式两边令0xx，右边的极限为2a，左边的极限为0limxx20000)())(()()(xxxxxfxfxf=0limxx)(2)()(00xxxfxf=21)(0xf。因此，2a=21)(0xf。依此类推，可得),(!10)(xfkakk,,2,1,0nk其中，记)()()0(xfxf。三．定理的叙述和证明定理1（带Peano余项的Taylor公式）设函数f在0x处有n阶导数，则)(xfoxxxfiniii000)())((!1(nxx)(0)。证记)()(xfxRniiixxxfi000)())((!1，则有0)()()()(0)(000xRxRxRxRn。反复应用L’Hospital法则，可得0limxxnxxxR)()(0=0limxx10)()(nxxnxR=0limxx20))(1()(nxxnnxR=„„=0limxx)(!)(0)1(xxnxRn=!1n0limxx00)1()1()()(xxxRxRnn3=!1n0)(0)(xRn。因此，)(xRnxxo)(0。定理2（带Lagrange余项的Taylor公式）设函数f在点0x的某邻域内1n阶可微，则在此邻域内成立)(xf1000)1(000)()))((()!1(1))((!1nnniiixxxxxfnxxxfi，其中10。证记)()(xfxRniiixxxfi000)())((!1,则有0)()()(0)(00xRxRxRn，)()()1()1(xfxRnn.利用Cauchy中值定理，可得10010)()()()()(nnxxxRxRxxxR=nxnR))(1()(011，其中1介于0x与x之间，从而nnxnxRRxxxR))(1()()()()(010110=1022)()1()(nxnnR，其中2介于0x与1之间，从而介于0x与x之间。依此类推，即得10)()(nxxxR=)!1()()1(nRn=)!1()()1(nfn，其中介于0x与x之间。记)(00xxx，必有10。这样1000)1()()!1())(()(nnxxnxxxfxR。四．两点讨论（1）带Lagrange余项的Taylor公式是Lagrange中值定理的推广。（2）如果函数f的1n阶导数在),(ba中有界：Mxfn|)(|)1(,),(bax,0x),(ba那末，在),(ba中有如下的余项估计：|)(|xR10||)!1(nxxnM。五．定理的一个常用形式：Maclaurin公式如果0x=0，那末带有以上两种余项形式的Taylor公式又称为Maclaurin公式，此即xffxf)0()0()()(!)0()(nnnxoxnf和xffxf)0()0()(nnxnf!)0()(+1)1()!1()(nnxnxf（10）。由此得到近似公式：4xffxf)0()0()(nnxnf!)0()(。六．具体函数的Taylor公式及其应用（1）根据定义求xe，xsin，xcos，)1(x和)1ln(x的Taylor公式。);(!!2!112nnxxonxxxe);()!12()1(!5!3sin212153nnnxonxxxxx);()!2()1(!4!21cos12242nnnxonxxxx);(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx)()1(432)1ln(1432nnnxonxxxxxx。（2）利用上述公式求简单的初等函数Taylor公式。例1求3231)(xxxf的带Peano余项的3阶Maclaurin近似。解3231xx=312)3(1xx=)()3(!323113131)3(!213131)3(311332222xoxxxxxx=1-)(32332xoxxx。例2把函数xxsinln在0x=0处展开至6x的项。解利用),(!7!5!3sin8753xoxxxxx),(32)1ln(332uouuuu得到xxsinln=))](!7!5!3(1ln[7642xoxxx=25427642)(!5!321)(!7!5!3xoxxxoxxx+)()(!3316332xoxox=)(283518066642xoxxx。5（3）利用Taylor公式计算极限例3求limcosexxxx0242。解这是个00待定型的极限问题。如果用L'Hospital法则，则分子分母需要求导4次，limcosexxxx0242limsinexxxxx02324（仍为00型）limcoseexxxxxx022222212（仍为00型）limsineexxxxxxx023232422（仍为00型）limcoseeexxxxxxx0222423624112222。但若采用Taylor公式，则.121)(121lim)(2!2121)(!4!21limecoslim44404422244204202xxoxxxoxxxoxxxxxxxx计算过程就简洁得多了。（4）利用Taylor公式作近似估计和计算例4在区间21,0上用一个四次多项式作为函数31xx的近似，并估计误差。解对31)1(x写出其三阶Maclaurin公式：631)1(x=223!241311xx-33!3741)(33xRx，其中3/13443)1(3!410741)(xxR，210。由此可得4323811492311xxxxxx，21,0x，其误差可估计为3/13453)1(3!410741)(xxxR0045.0635213!41074554。注意，若在41,0运用上述四阶Maclaurin公式，则其误差可估计为)(3xxR00014.0)12(35413!41074554。例5求37的近似值，要求精确到小数点后第五位。解37=2136116136。如果用21)1(x的2阶Maclaurin公式21)1(x=3252)1(16181211xxxx来计算，其误差不会超过53105.03611616。它保证了小数点后面的5位有效数字。因此23618136121163708275.6。七．习题1．（1），（2）2．（2），（4）3．6．8．（提示：将00型不定式中分子与分母按Taylor公式展开至适当阶数。）