复旦大学高等数学教案10线形变换及其矩阵表示

教案线形变换及其矩阵表示教学内容线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换，它有着深刻的几何学和物理学背景，是一个经常使用的数学工具，在数学理论研究和实际应用中起着重要作用。在这节中主要讲解以下几方面的内容：（1）线性变换的概念、乘积变换和可逆变换的概念；（2）线性变换的矩阵表示；（3）在不同基下的表示矩阵之间的关系；（4）在线性变换下坐标的变化情况。教学思路和要求（1）线性空间与线性变换这部分内容，由于其抽象性较强，所以首先要把其背景讲清楚，再抽象其理论定义。因此在教学安排上先从简单的几何变换入手，引导学生理解线性变换的概念的深刻含义，以及应有的形式。（2）线性变换的概念、线性变换的矩阵表示是本节内容的重点；（3）线性变换在不同基下的表示矩阵之间的关系也是要求必须掌握的内容；（4）为了使学生理解线性变换的矩阵表示的方法，可以先从向量空间上入手，便于理解；（5）要通过例子来引导学生学会计算表示矩阵以及不同基下的表示矩阵之间的关系等。教学安排一．几个简单的几何变换复杂的几何变换可以归结为简单的几何变换的累积，而任何几何图形的变换，说到底是点的变换。我们先从2R谈起。容易发现，若给定了一个2×2矩阵22211211aaaaA，则对平面上任意点（即向量）yxx，通过矩阵与向量的乘法运算22211211aaaaAxxyxyx，可以唯一确定了平面上的一点x。x可以看成是由x经过某种变换得到的点，而这个变换的规律显然由矩阵A所确定。例5.2.1问以下矩阵对2R上的任意点x，由xxiA（5,4,3,2,1i）确定了什么样的变换？（1）10011A；（2）01102A；（3）003A；（4）cossinsincos4A；（5）00015A。解（1）由于对任意点yxx，有x1001yxyx，所以1A确定的变换将任意一个点x变成它关于x轴对称的点x（见图5.2.1）。（2）由于对任意点yxx，有x0110yxxy，所以2A确定的变换将任意一个点x变成它关于直线xy对称的点x（见图5.2.2）。（3）由于对任意点yxx，有x00yxyx，所以3A确定的变换将任意一个点x变成在它与原点连线上，与原点距离伸缩为||倍的点x，当0时，x与x在原点同侧；当0时，x点在原点另一侧；当0，x为原点（见图5.2.3）。（4）对任意点yxx，将其记为sincosrr，则有x4Ayxxcossinsincossincosrr)sincoscos(sin)sinsincos(cosrr)sin()cos(rr，所以4A确定的变换将任意一个点x绕原点旋转了角度的点x（见图5.2.4）。（5）由于对任意点yxx，有x0001yx0x，所以5A确定的变换将任意一个点x变成它在x轴上的投影点x（见图5.2.5）。在上面的讨论中，变换由矩阵A确定，因此称Ayxxx图5.2.1yxy=xxx图5.2.2yxxx图5.2.3yxxx图5.2.4yxxx图5.2.5为变换矩阵。其中，1A与2A确定的变换称为反射变换或镜像变换，3A确定的变换称为相似变换（称为相似比），而4A确定的变换称为旋转变换，5A确定的变换称为射影变换，它们都属于最简单的几何变换。从这几个具体例子容易归纳出：（1）设1x和2x都是平面上的点，若对它们的线性组合11x22x作上述变换，可以先对1x和2x作上述变换后再线性组合，即1(iA1x2)2x=1)(1xiA2)(2xiA。也就是说，由矩阵确定的变换都满足线性运算规则。（2）如需要先将x关于直线y=x作对称，再旋转角度，则有xcossinsincosx0110cossinsincos0110x，也就是说，由矩阵确定的变换可以复合，复合的变换矩阵恰是各个变换矩阵的乘积。（3）有些变换可以通过相反的过程再变换回去，即变换是可逆的，有些则不可逆。如上面由1A—4A确定的变换都是可逆的，而5A确定的变换不可逆。而通过观察发现，恰恰1A—4A都是可逆矩阵，而5A是不可逆矩阵。因而可以设想，若矩阵A不可逆，那么A确定的变换不可逆；若A可逆，那么A确定的变换可逆，且确定逆变换的矩阵正是1A。显然，借助矩阵会给讨论问题带来很大方便。于是自然要问，既然有一个矩阵就决定了一个变换，那么什么样的变换才可以通过矩阵来表示？进一步，这样的变换有哪些更一般的性质？下面来回答这些问题。二．线性变换及其矩阵表示定义5.2.1设U，V是K上的线性空间，K为R或C，A是U到V的映射，即对于任意xU，存在唯一的像zV，使得A(x)=z。若A满足线性性质，即对于任意x，yU及，K，成立A(x+y)=A(x)+A(y)，则称A为线性空间U到V上的一个线性变换。特别地，从线性空间U到其自身的线性变换称为U上的线性变换。显然，例5.2.1中的五个变换都是2R上的线性变换。几个最简单的线性变换是：（1）线性空间U上的恒等变换（单位变换）I：对于任意xU，I(x)=x。（2）线性空间U到V上的零变换0：对于任意xU，0(x)=0。例5.2.2证明求导运算D=dxd是nP的上的线性变换。证对与nP中的任意元素)(xpp，)(xp是不超过n次的多项式，于是D(p)=dxd[)(xp]是不超过1n次的多项式，即D(p)nP。对于任意)(xp，)(xqnP及，R，由求导运算法则，D(p+q)=dxd()()(xqxp)=dxd[)(xp]+dxd[)(xq]=D(p)+D(q)，由定义，D是nP上的线性变换。例5.2.3求定积分运算L)(fbadxxf)(是],[baC到R上的线性变换。实际上，L的线性性质就是定积分的线性性质。例5.2.4设映射A：33RR定义为Txxxxxxxxx212323222221321,,),,()(AxA。则对于R，有)(||)()(,)()(,)()()(212223222221xAxATxxxxxx。显然，当0x且0时，)()(xAxA，因此A不是线性变换。定义5.2.2设A是线性空间U到V的线性变换，B是线性空间V到W上的线性变换，称复合变换B(A(x))，xU，为B和A的乘积变换，记为BA。显然BA是U到W上线性变换。定义5.2.3设A是U上的线性变换，若存在U上的线性变换B使得BA(x)=x，AB(x)=x，xU，即BA和AB都是恒等变换，则称A是可逆变换，B称为A的逆变换，记为B=A–1。线性变换有下列性质（其证明作为习题留给读者）：定理5.2.1设A是线性空间U到V上的任意一个线性变换，则成立（1）A(0)=0，A(x)A(x)；（2）若kjj1}{a是U中一组线性相关的向量，则{Akjj1}a也是V中一组线性相关的向量；（3）将U中所有向量在线性变换A下的象记为A(U)，即A(U)={yV|y=A(x),xU}，则A(U)是V的线性子空间（称为A的象空间）；（4）将V中零向量在线性变换A下的原象记为N(A)，即N(A)={xU|A(x)=0}，则N(A)是U的线性子空间（称为A的核空间）。注意，在定理5.2.1的（2）中，若kjj1}{a是U中一组线性无关的向量，则{Akjj1)}(a不一定是V中一组线性无关的向量，事实上零变换就是这样。例5.2.5线性变换A：23RR定义为Txxxxxxx)2,2(),,()(3221321AxA，求N(A)和A(3R)。解0xA)(等价于.02,023221xxxx其解为Tc)1,2/1,1(x，其中c为任意常数。因此N(A)}|)1,2/1,1({RccT。对于任意221),(RTyy，由于线性方程组2321212,2yxxyxx的增广矩阵21120021yy与系数矩阵120021的秩皆为2，所以它有解。这说明A为满射，即A(3R)2R。下面讨论线性变换与矩阵的关系（下面的所提到的nR中的向量，皆指列向量）。由例5.2.1不难推断，任意一个mn矩阵A，必确定mR到nR上的一个线性变换A。事实上，这个线性变换A可以如下定义：xxAA)(，xmR。反之，若A是mR到nR上的线性变换，则存在mn矩阵A，使得xxAA)(，xmR。事实上，若分别记mR和nR上的自然基为},,,{21meee和}~,,~,~{21neee。因为)(ieAnR，记niiiniiinnniiiiaaaaaaaaa2121212211)~,,~,~(~~~)(eeeeeeeA（mi,,2,1），并记mn矩阵nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211。则对于mmTmxxxxxxeeex221121),,,(mR，有.))(,),(),(()()()()()(2122112211xxeAeAeAeAeAeAeeeAxAAxxxxxxmmmmm那么，一般有限维线性空间之间的线性变换与矩阵有什么联系呢？设mii1}{a和njj1}{b分别是m维线性空间U和n维线性空间V中的一组基，A是U到V上的线性变换。设U中向量x用mii1}{a表示的形式为x11a22amma，两边作用线性变换A，由线性变换的性质得，A(x)1A(1a)2A(2a)mA(ma)。这就是说，线性变换由其对一组基的变换规律完全决定。由于对于mi,,2,1，A(ia)V，因此它可以用基njj1}{b线性表示，记A(ia)),,,(21nbbbiniiaaa21，mi,,2,1。于是，若记nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211，则))(,),(),((21maAaAaA),,,(21nbbbnmnnmmaaaaaaaaa212222111211An),,,(21bbb。所以)()()()(2211mmaAaAaAxA))(,),(),((21maAaAaAm21),,,(21nbbbmA21。这就是说，线性变换A由mn矩阵A=mnija唯一确定，称A为线性变换A在基mii1}{a和njj1}{b下的表示矩阵。顺便地，我们得到：当x在基mii1}{a下的坐标为Tm),,,(21时，)(xA在基njj1}{b下的坐标便是ATm),,,(21。特别地，当U和V分别为mR和nR时，且基都取为自然基时，便从以上讨论得到：例5.2.6设2R上的线性变换A将任意给定的向量x绕原点逆时针旋转角度，求A在自然基{e