复旦大学高等数学教案13Green公式和Stokes公式

教案Green公式和Stokes公式教学内容Green公式、Stokes公式和Gauss公式都反映了某“区域”上的积分与其边界上的积分之间关系。无论是结论的形式，抑或推导的过程，它们与Newton-Leibniz公式是一脉相承的，而且最终可以表成统一的形式；同时，它们也和Newton-Leibniz公式一样，在各类理论或实际问题中有着广泛的应用。本节介绍Green公式Stokes公式，具体内容如下：（1）Green公式及其证明；（2）Stokes公式及其证明；（3）利用Green公式和Stokes公式计算曲线积分。教学思路和要求（1）首先介绍区域或曲面边界的诱导定向的概念，进而引出Green公式和Stokes公式，这是课程的重点；（2）对简单形式的区域证明Green公式和；（3）对简单形式的有向曲面证明Stokes公式；（4）讲解利用Green公式和Stokes公式计算曲线积分的方法，这也是课程的重点。教学安排一．Green公式先介绍单连通区域的概念。设D为一平面区域。如果D内任何一条闭曲线都可以在不触及边界的过程中连续地收缩成一点，就称D为单连通区域；否则，称为复连通区域。通俗地说，单连通区域就是不含有“洞”的区域，复连通区域中含有“洞”。例如，单位圆盘}1|),{(22yxyx是单连通的，而圆环}21|),{(22yxyx是复连通的。对于平面区域D，其边界D的正向规定如下：当观察者沿D的这个方向行进时，区域D在他近旁的部分总是处于他的左侧。例如，对于圆环}21|),{(22yxyxD，D的一部分：}2|),{(22yxyx的正向是逆时针方向；另一部分：}1|),{(22yxyx的正向则是顺时针方向。定理8.8.1（Green公式）设平面有界闭区域D的边界由有限段光滑的曲线构成，二元函数P，Q在D上具有连续一阶偏导数，则有DDdxdyyPxQQdyPdx，其中D取正向。证先讨论单连通区域的情况。如果区域D同时可以表示为以下两种形式：}),()(|),{(21bxaxyyxyyxD}),()(|),{(21dycyxxyxyx，则称这类区域为“标准区域”（见图8.8.1）。yd)(2xyy)(1yxx)(2yxxc)(1xyyOabx此时，由计算可得DxyxybadyyPdxdxdyyP)()(21badxxyxPxyxP))](,())(,([12abbadxxyxPdxxyxP))(,())(,(21DdxyxP),(。同理可得DyxyxdcdxxQdydxdyxQ)()(21dcdyyyxQyyxQ)]),(()),(([12cddcdyyyxQdyyyxQ)),(()),((12DdyyxQ),(。两式合并就得到所需求的结果。一般地，可以把由分段光滑曲线围成的单连通区域分割为有限个“标准区域”的并。例如，图8.8.2所示的区域可由光滑曲线AB将D分割成“标准区域”1D与2D的并。由对“标准区域”证得的Green公式得到11DDQdyPdxdxdyyPxQ，22DDQdyPdxdxdyyPxQ。注意1D与2D的公共边界AB的方向：作为1D的一部分是从A到B，作为2D的一部分是从B到A，两个方向恰好相反。将上面两式的两端分别相加，便得DDQdyPdxdxdyyPxQ。当D须分为更多个“标准区域”的情况可以类似证得，不再赘述。再设D是有有限个洞的复连通区域，例如，图8.8.3所示的区域。以光滑曲MNLl图8.8.3yxOAD1BD2图8.8.2图8.8.1线连结其外边界L上的点M和内边界l上的点N，它把D割成一个单连通区域。沿其边界的正向作积分，利用单连通区域的Green公式DNMlMNLQdyPdxdxdyyPxQDlLQdyPdxQdyPdx。当D中有更多个“洞”的情况也可类似证得，不再赘述。证毕Green公式的一个直接应用，是可以由它导出用曲线积分计算平面区域面积的关系式。推论8.8.1设D为一有界平面区域，其边界为分段光滑的闭曲线，则D的面积为DDDydxxdyydxxdyA21，其中D取正向。例8.8.1计算椭圆12222byax（0a，0b）所围区域的面积。解椭圆L：12222byax的参数方程为,sin,cosbyax20，设其定向取逆时针方向。于是，2022)sincos(2121dababydxxdyALabdab202。例8.8.2计算曲线积分dyexdxxxyyL)8()14(cos3，其中L是圆周422yx，定向取逆时针方向。解由Green公式dyexdxxxyyL)8()14(cos343cos22)14()8(yxydxdyyxxyxex=16)48(422yxdxdy。例8.8.3计算Dydxdye2，其中D是以)0,0(O，)1,1(A，)1,0(B为顶点的三角形区域（图8.8.4）。解令0P，2yxeQ，则2yeyPxQ。取D的定向逆时针方向，则由Green公式得DDyydyxedxdye22dyxeOAy2edxxex1121102。例8.8.4计算第二类曲线积分Lxxdymyedxmyye)cos()sin(，其中L为圆222)(ayax（0a）的上半圆周部分，方向为从点)0,2(aA，到原点)0,0(O（图8.8.5）。解为了使用Green公式以简化运算，作自O至A的有向线段OA，把L与OA合并就得一条定向为逆时针方向的有向闭曲线，记其所围区域为D。利用Green公式可得dymyedxmyyexxOAL)cos()sin(Dxxdxdymyyeymyex)sin()cos(Damdxdym22。再计算沿OA的曲线积分，因为OA的方程为0y，ax20:，所以OAxxdymyedxmyye)cos()sin(=00020adx。代入前面的式子即得2)cos()sin(2amdymyedxmyyeLxx。例8.8.5计算曲线积分LyxydxxdyI22，其中L为一条分段光滑，且不经过原点的简单闭曲线（即不自交的闭曲线），方向为正向。解记22yxyP，22yxxQ。当022yx时，P，Q及其一阶偏导数均连续，且yPyxxyxQ22222)(。当L所围的区域D不包含原点时，由Green公式知，0I。当L所围的区域D包含原点时，取适当小的0r，使圆周l：222ryx位于D内，以逆时针方向作为l的正向。于是，由L和l所围的复连通区域1D不包含原点。1D的边界是有向闭曲线lL，其中l与l方向相反。由Green公式，yABOx图8.8.4xOyA图8.8.5022yxydxxdylL，即lLyxydxxdyyxydxxdy2222lyxydxxdy22。因为l的参数方程为trxcos，trysin，所以lLyxydxxdyyxydxxdy2222dttrtrtrtrtrtr202222sincos)sin(sincoscos220dt。在这个例子中利用Green公式来改变积分路径的方法，在下一节还将加以讨论。Green公式可以看作Newton-Leibniz公式在二维空间的推广。为说明这一点，设f在],[ba上具有连续导函数，]1,0[],[ba（其图形的四个定点依次记为A，B，C，D，见图8.8.6）。利用Green公式可得dyxfdxdyxf)()(，即得babadxxfdydxxf)()(10dyxfDACDBCAB)(dyxfDABC)(0110)()(dyafdybf)()(afbf。这就是Newton-Leibniz公式。二．Stokes公式在Green公式基础上建立起来的Stokes公式，揭示了第二类曲面积分与以该曲面边界曲线为路径的第二类曲线积分之间的内在关系，可视作Green公式的一个自然推广。设是具有分段光滑边界的光滑的有向曲面，今按右手规则确定的边界的定向：即右手的四指按的正向弯曲时，姆指指向的法向。称的这个定向为的诱导定向。定理8.8.2(Stokes公式)设为光滑的有向曲面，其边界为分段光滑闭曲线。如果三元函数P，Q，R在及其边界上具有连续一阶偏导数，则RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRyOxDCAB图8.8.6dSzyPxQyxRzPxzQyR),cos(),cos(),cos(nnn，其中按诱导定向。证为避免复杂的论述，只讨论曲面可以同时作如下三种描述的情况，即}),(),,(|),,{(xyyxyxzzzyx}),(),,(|),,{(zxxzxzyyzyx}),(),,(|),,{(yzzyzyxxzyx。不失一般性，设的定向取作上侧（见图8.8.7）。先把空间3R中沿的第二类曲线积分dxzyxP),,(化为平面上沿xy的第二类曲线积分，再应用Green公式化为二重积分得xydxyxzyxPdxzyxP)),(,,(),,(xydxdyzPPyzy)(。注意到上侧的法向量n的方向余弦为：221),cos(yxxzzzxn，221),cos(yxyzzzyn，2211),cos(yxzzzn，从而有向面积微元的投影间满足关系dSzzdxdyzyy),cos(ndzdxdSy),cos(n。再把前面得到的二重积分转化为第二类曲面积分，则有dxdyzyxPdxdyyxzyxPyyxy),,()),(,,(，dxdyyxzzyxPdxdyyxzyxzyxPyzyzxy),(),,(),()),(,,(dzdxzyxPz),,(。因此，xydxdyzPPdxzyxPyzy)(),,(dxdyPdzdxPyz。同理可证dydzQdxdyQdyzyxQzx),,(。dzdxRdydzRdzzyxRxy),,(。三式相加，即得Stokes公式。证毕注对是Oxy平面上区域的特殊情况，Stokes公式就是Green公式。为便于记忆，定理中Stokes公式用第二类曲面积分和第一类曲面积分描述的两种形式又可分别表示为zOxyΣΣxy图8.8.7RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdSRQPzyxzyx),cos(),cos(),cos(nnn。上述积分号后两个行列式均应按第一行展开，并把x与Q的“乘积”理解为xQ等等。例8.8.6计算第二类曲线积分Lydzxdyzdx253，其中L是平面2